高考卷 全国统一高考数学卷（文科）（新课标ⅰ） 59页

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ） A．A∩B={x|x＜ } B．A∩B= ∅ C．A∪B={x|x＜ } D．AUB=R 2．（5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩 产量（单位：kg）分别是 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种 农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 3．（5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i） 4．（5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一 点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 5．（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ） A． B． C ． D． 7．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（5 分）函数 y= 的部分图象大致为（ ） A． B ． C． D． 9．（5 分）已知函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ） A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 10．（5 分）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000 和 n=n+1 B．A＞1000 和 n=n+2 C．A≤1000 和 n=n+1 D．A≤1000 和 n=n+2 11．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c= ，则 C=（ ） A． B． C． D． 12．（5 分）设 A，B 是椭圆 C： + =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满 足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞） C ．（ 0 ， 1] ∪ [4 ， + ∞ ） D．（0， ]∪[4，+∞） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则 m= ． 14．（5 分）曲线 y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 ． 15．（5 分）已知α ∈ （0， ），tanα=2，则 cos（α﹣ ）= ． 16．（5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直 径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S﹣ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21 题为必选题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2=2，S3=﹣6． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列． 18．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ，求该四棱 锥的侧面积． 19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从 该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一 天内依次抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次 序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺 寸 9.9 5 10. 12 9.9 6 9.9 6 10. 01 9.9 2 9.9 8 10. 04 抽取次 序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺 寸 10. 26 9.9 1 10. 13 10. 02 9.2 2 10. 04 10. 05 9.9 5 经计算得 = xi=9.97，s= = ≈0.212， ≈18.439， （xi﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中 xi 为抽取的第 i 个 零件的尺寸，i=1，2，…，16． （1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生 产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以 认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进 行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生 产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01） 附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数 r= ， ≈0.09． 20．（12 分）设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求 直线 AB 的方程． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）≥0，求 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ为参数）， 直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）若 a=﹣1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求 a 的取值范围． 2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知集合 A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ） A．A∩B={x|x＜ } B．A∩B= ∅ C．A∪B={x|x＜ } D．AUB=R 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；5J ：集合． 【分析】解不等式求出集合 B，结合集合交集和并集的定义，可得结论． 【解答】解：∵集合 A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜ }， ∴A∩B={x|x＜ }，故 A 正确，B 错误； A∪B={x||x＜2}，故 C，D 错误； 故选：A 【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题． 2．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验 田．这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别是 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解． 【解答】解：在 A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集 中趋势的一项指标， 故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B 可以用来评估这种农作物 亩产量稳定程度； 在 C 中，最大值是一组数据最大的量，故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳 定程度； 在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水 平”， 故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B． 【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础 题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的 合理运用． 3．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i） 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论． 【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数． B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数． C．（1+i）2=2i 为纯虚数． D．i（1+i）=i﹣1 不是纯虚数． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 4．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正 方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行 求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1， 则正方形的边长为 2， 则黑色部分的面积 S= ， 则对应概率 P= = ， 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面 积是解决本题的关键． 5．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知 F 是双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点，P 是 C 上 一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ） A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点 F（2，0），由 PF 与 x 轴垂直，代入即可求 得 P 点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF 的面积． 【解答】解：由双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点 F（2，0）， PF 与 x 轴垂直，设（2，y），y＞0，则 y=3， 则 P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨 AP 丨=1，丨 PF 丨=3， ∴△APF 的面积 S= ×丨 AP 丨×丨 PF 丨= ， 同理当 y＜0 时，则△APF 的面积 S= ， 故选 D． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题． 6．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两 个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ） A． B． C ． D． 【考点】LS：直线与平面平行的判定．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系 与距离． 【分析】利用线面平行判定定理可知 B、C、D 均不满足题意，从而可得答案． 【解答】解：对于选项 B，由于 AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足 题意； 对于选项 C，由于 AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知 C 不满足题意； 对于选项 D，由于 AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意； 所以选项 A 满足题意， 故选：A． 【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本 题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 7．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大 值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值 即可． 【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图： ，则 z=x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值， 由 解得 A（3，0）， 所以 z=x+y 的最大值为：3． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数 的最优解是解题的关键． 8．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）函数 y= 的部分图象大致为（ ） A． B ． C． D． 【考点】3O：函数的图象．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可． 【解答】解：函数 y= ， 可知函数是奇函数，排除选项 B， 当 x= 时，f（ ）= = ，排除 A， x=π时，f（π）=0，排除 D． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的 特殊点是判断函数的图象的常用方法． 9．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ） A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 【考点】35：函数的图象与图象变化．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得 f（x）=f（2﹣x），进而可得 函数图象的对称性． 【解答】解：∵函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x）， ∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx， 即 f（x）=f（2﹣x）， 即 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称 性是解答的关键． 10．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最 小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000 和 n=n+1 B．A＞1000 和 n=n+2 C．A≤1000 和 n=n+1 D．A≤1000 和 n=n+2 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；49 ：综合法；5K ：算法和程序框图． 【分析】通过要求 A＞1000 时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能 输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定 n=n+2． 【解答】解：因为要求 A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“ ”内不能输入“A＞1000”， 又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0， 所以“ ”中 n 依次加 2 可保证其为偶数， 所以 D 选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 11．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则 C=（ ） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；56 ：三角函数的求值； 58 ：解三角形． 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得 = ， ∴sinC= ， ∵a=2，c= ， ∴sinC= = = ， ∵a＞c， ∴C= ， 故选：B． 【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题 12．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）设 A，B 是椭圆 C： + =1 长轴的两个端点， 若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞） C ．（ 0 ， 1] ∪ [4 ， + ∞ ） D．（0， ]∪[4，+∞） 【考点】K4：椭圆的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；44 ：数形结合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】分类讨论，由要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°， ∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在 x 轴上，tan∠AMO= ≥tan60°，当即可求 得椭圆的焦点在 y 轴上时，m＞3，tan∠AMO= ≥tan60°= ，即可求得 m 的 取值范围． 【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0＜m＜3 时， 假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ， 解得：0＜m≤1； 当椭圆的焦点在 y 轴上时，m＞3， 假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得：m≥9， ∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选 A． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及 数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则 m= 7 ． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量 + 与 垂直，利用 向量垂直的条件能求出 m 的值． 【解答】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1）， ∴ =（﹣1+m，3）， ∵向量 + 与 垂直， ∴（ ）• =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得 m=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量 坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 14．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）曲线 y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 x﹣ y+1=0 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可． 【解答】解：曲线 y=x2+ ，可得 y′=2x﹣ ， 切线的斜率为：k=2﹣1=1． 切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0． 【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 15．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知α ∈ （0， ），tanα=2，则 cos（α﹣ ）= ． 【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值． 【分析】根据同角的三角函数的关系求出 sinα= ，cosα= ，再根据两角差 的余弦公式即可求出． 【解答】解：∵α ∈ （0， ），tanα=2， ∴sinα=2cosα， ∵sin2α+cos2α=1， 解得 sinα= ，cosα= ， ∴cos（α﹣ ）=cosαcos +sinαsin = × + × = ， 故答案为： 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能 力，属于基础题． 16．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S﹣ABC 的体 积为 9，则球 O 的表面积为 36π ． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离． 【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的 表面积． 【解答】解：三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径， 若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S﹣ABC 的体积为 9， 可知三角形 SBC 与三角形 SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为 r， 可得 ，解得 r=3． 球 O 的表面积为：4πr2=36π． 故答案为：36π． 【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间 想象能力以及计算能力． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21 题为必选题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2=2，S3= ﹣6． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列． 【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前 n 项和．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（1）由题意可知 a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1= = ，a2= = ，由 a1+a2=2，列方程即可求得 q 及 a1，根据等比数列通项公式，即可求得{an}的通项 公式； （2）由（1）可知．利用等比数列前 n 项和公式，即可求得 Sn，分别求得 Sn+1， Sn+2，显然 Sn+1+Sn+2=2Sn，则 Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列． 【解答】解：（1）设等比数列{an}首项为 a1，公比为 q， 则 a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则 a1= = ，a2= = ， 由 a1+a2=2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2， 则 a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n， ∴{an}的通项公式 an=（﹣2）n； （2）由（1）可知：Sn= = =﹣ （2+（﹣2）n+1）， 则 Sn+1=﹣ （2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+3）， 由 Sn+1+Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+2）﹣ （2+（﹣2）n+3）=﹣ [4+（﹣2）×（﹣2） n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]， =﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]， =2Sn， 即 Sn+1+Sn+2=2Sn， ∴Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列． 【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前 n 项和，等差数列的性质，考 查计算能力，属于中档题． 18．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP= ∠CDP=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ，求该四棱 锥的侧面积． 【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁 优网版权 所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系 与距离． 【分析】（1）推导出 AB⊥PA，CD⊥PD，从而 AB⊥PD，进而 AB⊥平面 PAD，由 此能证明平面 PAB⊥平面 PAD． （2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥底面 ABCD，且 AD= ， PO= ，由四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ，求出 a=2，由此能求出该四棱锥的侧 面积． 【解答】证明：（1）∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又 AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面 PAD， ∵AB ⊂ 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD． 解：（2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 O，连结 PO， ∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面 PAB⊥平面 PAD， ∴PO⊥底面 ABCD，且 AD= = ，PO= ， ∵四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ， ∴VP﹣ABCD= = = = = ， 解得 a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ， ∴PB=PC= =2 ， ∴该四棱锥的侧面积： S 侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC = + + + = =6+2 ． 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 19．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检 验员每隔 30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下 面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次 序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺 寸 9.9 5 10. 12 9.9 6 9.9 6 10. 01 9.9 2 9.9 8 10. 04 抽取次 序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺 寸 10. 26 9.9 1 10. 13 10. 02 9.2 2 10. 04 10. 05 9.9 5 经计算得 = xi=9.97，s= = ≈0.212， ≈18.439， （xi﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中 xi 为抽取的第 i 个 零件的尺寸，i=1，2，…，16． （1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生 产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以 认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进 行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生 产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01） 附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数 r= ， ≈0.09． 【考点】BS：相关系数．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与 0.25 的大小作出结论； （2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论； （ii）代入公式计算即可． 【解答】解：（1）r= = =﹣0.18． ∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地 变大或变小． （2）（i） =9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10，606）， 显然第 13 号零件尺寸不在此范围之内， ∴需要对当天的生产过程进行检查． （ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为 =10.02， =16×0.2122+16×9.972=1591.134， ∴剔除离群值后样本方差为 （1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008， ∴剔除离群值后样本标准差为 ≈0.09． 【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题． 20．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐 标之和为 4． （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求 直线 AB 的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；I3：直线的斜率．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5B ：直线与圆；5D ：圆锥曲线的定 义、性质与方程． 【分析】（1）设 A（x1， ），B（x2， ），运用直线的斜率公式，结合条件， 即可得到所求； （2）设 M（m， ），求出 y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条 件：斜率相等，可得 m，即有 M 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为 ﹣1，可得 x1，x2 的关系式，再由直线 AB：y=x+t 与 y= 联立，运用韦达定理， 即可得到 t 的方程，解得 t 的值，即可得到所求直线方程． 【解答】解：（1）设 A（x1， ），B（x2， ）为曲线 C：y= 上两点， 则直线 AB 的斜率为 k= = （x1+x2）= ×4=1； （2）设直线 AB 的方程为 y=x+t，代入曲线 C：y= ， 可得 x2﹣4x﹣4t=0，即有 x1+x2=4，x1x2=﹣4t， 再由 y= 的导数为 y′= x， 设 M（m， ），可得 M 处切线的斜率为 m， 由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得 m=1， 解得 m=2，即 M（2，1）， 由 AM⊥BM 可得，kAM•kBM=﹣1， 即为 • =﹣1， 化为 x1x2+2（x1+x2）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得 t=7． 则直线 AB 的方程为 y=x+7． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程， 运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中 档题． 21．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）≥0，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的 应用．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断， （2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出 a 的范围． 【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x， ∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a）， ①当 a=0 时，f′（x）＞0 恒成立， ∴f（x）在 R 上单调递增， ②当 a＞0 时，2ex+a＞0，令 f′（x）=0，解得 x=lna， 当 x＜lna 时，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减， 当 x＞lna 时，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增， ③当 a＜0 时，ex﹣a＞0，令 f′（x）=0，解得 x=ln（﹣ ）， 当 x＜ln（﹣ ）时，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减， 当 x＞ln（﹣ ）时，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增， 综上所述，当 a=0 时，f（x）在 R 上单调递增， 当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 当 a＜0 时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上单调递减，在（ln（﹣ ），+∞）上 单调递增， （2）①当 a=0 时，f（x）=e2x＞0 恒成立， ②当 a＞0 时，由（1）可得 f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0， ∴lna≤0， ∴0＜a≤1， ③当 a＜0 时，由（1）可得 f（x）min=f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0， ∴ln（﹣ ）≤ ， ∴﹣2 ≤a＜0， 综上所述 a 的取值范围为[﹣2 ，1] 【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思 想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10 分）（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ为参数），直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）若 a=﹣1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；IT：点到直线的距离公式．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4Q：参数法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】（1）将曲线 C 的参数方程化为标准方程，直线 l 的参数方程化为一般方 程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线 C 上的点可以表示成 P（3cosθ，sinθ），θ ∈ [0，2π），运用点到直线距 离公式可以表示出 P 到直线 l 的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以 求出 a 的值． 【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1； a=﹣1 时，直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆 C 和直线 l 的交点为（3，0）和（﹣ ， ）． （2）l 的参数方程 （t 为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆 C 上的任一点 P 可以表示成 P（3cosθ，sinθ），θ ∈ [0，2π）， 所以点 P 到直线 l 的距离 d 为： d= = ，φ满足 tanφ= ，且的 d 的最大 值为 ． ①当﹣a﹣4≤0 时，即 a≥﹣4 时， |5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17 解得 a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a﹣4＞0 时，即 a＜﹣4 时 |5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17 解得 a=﹣16＜﹣4，符合题意． 【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点 在于如何根据曲线 C 上的点到直线 l 距离的最大值求出 a． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）当 a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 分 x＞1、x ∈ [﹣1，1]、x ∈ （﹣∞，﹣1）三类讨论，结合 g（x）与 f（x）的单调 性质即可求得 f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立 ⇔ x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒 成立，只需 ，解之即可得 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x= 的二 次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当 x ∈ （1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得 x= ，g（x）在（1，+∞）上单 调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时 f（x）≥g（x）的解集为（1， ]； 当 x ∈ [﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当 x ∈ （﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（﹣1）=f（﹣1） =2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立，即 x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1] 恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1， 故 a 的取值范围是[﹣1，1]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论 思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． 参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；zlzhan；沂蒙松；maths；铭灏 2016；cst；qiss；whgcn；zhczcb；双曲线；██；wfy814（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．函数的图象与图象变化 【知识点的认识】 函数的图象是函数的表示方法之一，能够直观的反映出函数的定义域与函数的值 域的对应关系，函数的单调性，变化规律．研究和记忆函数性质的直观工具，利 用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用． 函数的图象变化，是函数作图、函数的性质的应用．包括图象的左右平移、上下 平移，对称变换，函数图象的伸缩． 【解题方法点拨】 绘制函数图象的一般方法，一利用描点法，二是利用基本初等函数的图象， 通过函数图象变换的方法作图． 掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质． 利用函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等． 【命题方向】函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之 一． 1．作出函数的图象． 2．利用函数的图象求出函数的解析式，已经解析式中有关物理量． 3．函数与函数的图象的对应关系题目． 4．函数图象的变换题目． 3．函数的图象 【知识点的认识】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、 单调性、周期性、对称性等）． 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）， 描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： y=f（x）a＞0，右移 a 个单位（a＜0，左移|a|个单位） ⇒ y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移 b 个单位（b＜0，下移|b|个单位） ⇒ y=f（x）+b． （2）伸缩变换： y=f（x） y=f（ωx）； y=f（x）A＞1，伸为原来的 A 倍（0＜A＜1，缩为原来的 A 倍） ⇒ y=Af（x）． （3）对称变换： y=f（x）关于 x 轴对称 ⇒ y=﹣f（x）； y=f（x）关于 y 轴对称 ⇒ y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称 ⇒ y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换： y=f（x）去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图，将 y 轴右边的图象翻折到左边 ⇒ y=f （|x|）； y=f（x）留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y=|f（x）|． 【解题方法点拨】 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几 何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称 得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要 先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点， 就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻 找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由 解的个数求参数值． 4、方法归纳： （1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原 则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域； ②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函 数、幂函数、形如 y=x+的函数； ③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧， 来帮助我们简化作图过程． （3）3 种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称 性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： ①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下 降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题； ②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； ③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数 模型来分析解决问题． 4．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 5．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查 学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为 包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题 的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上 的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】 例：已知函数 y=xlnx，求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程． 解：k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时，y=0，所以切点为（1，0） ∴切线方程为 y﹣0=1×（x﹣1）， 即 y=x﹣1． 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的 导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家 灵活应用，认真总结． 6．导数在最大值、最小值问题中的应用 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f （x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数的一个极大值，记作 y 极大值=f（x0），是极大值 点． 2、极小值 一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x） ＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值=f（x0），是极小 值点． 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数 值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极 小值，如下图所示，x1 是极大值点，x4 是极小值点，而 f（x4）＞f（x1）． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别 f（x0）式极大值、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 5、求可导函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格．检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号，那么 f（x）在这个根处无极值． 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数 f（x）的图象．图中 f（x1）与 f（x3） 是极小值，f（x2）是极大值．函数 f（x）在[a，b]上的最大值是 f（b），最小值 是 f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如 函数 f（x）= 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值 点附近函数值得出的． （3）函数 f（x）在闭区间[a，b]上连续，是 f（x）在闭区间[a，b]上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数 f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点 的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求 f（x）在[a，b]上的最 大值与最小值的步骤如下： （1）求 f（x）在（a，b）内的极值； （2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b）比较得出函数 f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数 f （x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 7．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 8．等比数列的前 n 项和 【知识点的知识】 1．等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q（q≠0），其前 n 项和为 Sn， 当 q=1 时，Sn=na1； 当 q≠1 时，Sn= = ． 2．等比数列前 n 项和的性质 公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成 等比数列，其公比为 qn． 9．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、 等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn=na1+ n（n﹣1）d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 = （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列 （反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=2n+1， ∴bn= = = = ， ∴Tn= = = ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的 方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求 和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便 是放缩也要往这里面考． 10．数量积判断两个平面向量的垂直关系 【概念】 向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重 合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量 垂直．假如 =（1，0，1）， =（2，0，﹣2），那么 与 垂直，有 • =1×2+1× （﹣2）=0，即互相垂直的向量它们的乘积为 0． 【例题解析】 例：与向量 ， 垂直的向量可能为（ ） A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3） 解：对于 A：∵ ， •（3，﹣4）=﹣ =﹣5，∴A 不成立； 对于 B：∵ ， •（﹣4，3）= ，∴B 不成立； 对于 C：∵ ， •（4，3）= ，∴C 成立； 对于 D：∵ ， •（4，﹣3）= ，∴D 不成立； 故选：C． 点评：分别求出向量 ， 和 A，B，C，D 四个备选向量的乘积，如果乘积 等于 0，则这两个向量垂直，否则不垂直． 【考点分析】 向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为 0，希望大 家熟记这个关系并灵活运用． 11．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 12．极差、方差与标准差 【概念】 用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个 数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差 的算术平方更就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越 大，数据的波动越大． 【例题解析】 例：求数据 98，100，101，102，99 的极差，方差，标准差． 解：极差是：102﹣98=4； 平均数 = （98+100+101+102+99）=100， 则方差是：S2= [（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+ （99﹣100）2]=2； 标准差 S= ． 可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了． 【考点分析】 这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差 的含义和怎么求就可以了． 13．相关系数 【知识点的知识】 1、概念： 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切 地表明两个变量之间相关的程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计 指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指 标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通 过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数． 2 、 相 关 系 数 用 r 表 示 ， 计 算 公 式 为 其中：当 r＞0 时，表明两个变量正相关；当 r＜0 时，表明两个变量负相关；|r| ≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小． 3、残差： 相关指数 R2 用来刻画回归的效果，其计算公式是 在含有一个解释变量的线性模型中，R2 恰好等于相关系数 r 的平方．显然， R2 取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好． 【解题方法点拨】 建立回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系； （3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归 方程： = x+ ）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； （5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或 模型是否适当．当回归方程不是形如： = x+ 时，我们称之为非线性回归方程． 14．几何概型 【考点归纳】 1．定义：若一个试验具有下列特征： （1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表 示； （2）每次试验的各种结果是等可能的． 那么这样的试验称为几何概型． 2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件 A 所 对应的区域用 A 表示（A ⊆ Ω），则 P（A）= 称为事件 A 的几何概率． 15．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 16．同角三角函数间的基本关系 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α=1． （2）商数关系： =tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cos_α，其中 k ∈ Z． 公式二：sin（π+α）=﹣sin_α，cos（π+α）=﹣cos_α，tan（π+α）=tan α． 公式三：sin（﹣α）=﹣sin_α，cos（﹣α）=cos_α． 公式四：sin（π﹣α）=sin α，cos（π﹣α）=﹣cos_α． 公式五：sin（ ﹣α）=cosα，cos（ ﹣α）=sinα． 公式六：sin（ +α）=cosα，cos（ +α）=﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= ． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= ． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α=2sin_αcos_α； （2）C2α：cos 2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α= ． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 对于角“ ±α”（k ∈ Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇 变偶不变”是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数 名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值 的符号”． 17．两角和与差的余弦函数 【知识点的认识】 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= ． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= ． 18．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 19．直线的斜率 【考点归纳】 1．定义：当直线倾斜角α≠ 时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用 小写字母 k 表示，即 k=tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k=tanα（α≠ ） （2）斜率公式：k= ． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜 率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方 向． （2）联系： ①当α≠ 时，k=tanα；当α= 时，斜率不存在； ②根据正切函数 k=tanα的单调性：当α ∈ [0， ）时，k＞0 且随α的增大而增大， 当α ∈ （ ，π）时，k＜0 且随α的增大而增大． 【命题方向】 直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要 概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线 性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题． 常见题型： （1）已知倾斜角范围求斜率的范围； （2）已知斜率求倾斜角的问题． （3）斜率在数形结合中的应用． 20．点到直线的距离公式 【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段 的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为 Ax+By+C=0，直线外某点的 坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d= ． 【例题解析】 例：过点 P（1，1）引直线使 A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条 直线方程． 解：当直线平行于直线 AB 时，或过 AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线 AB 时，所求直线的斜率为 k= =1， 故直线方程为 y﹣1=（x﹣1），即 x﹣y=0； 当直线过 AB 的中点（3，4）时，斜率为 k= = ， 故直线方程为 y﹣1= （x﹣1），即 3x﹣2y﹣1=0； 故答案为：x﹣y=0 或 3x﹣2y﹣1=0． 这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他 告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的 中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例 题还考察了直线表达式的求法，是一个好题． 【考点分析】 正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离 公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离． 21．椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段 A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和 2b， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用 e 表示，即：e= ， 且 0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e 越大越接近 1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近 0，椭圆越圆．当且仅当 a=b 时，c=0，椭圆变为圆，方程为 x2+y2=a2． 5．椭圆中的关系：a2=b2+c2． 22．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 23．直线与抛物线的位置关系 v． 24．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【知识点的知识】 侧面积和全面积的定义： （1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所 得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积． （2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面 积． 柱体、锥体、台体的表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h′为斜高，l 为母线） S 圆柱表=2πr（r+l），S 圆锥表=πr（r+l），S 圆台表=（r2+rl+Rl+R2） 25．球的体积和表面积 【知识点的认识】 1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称 球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面． 2．球体的体积公式 设球体的半径为 R， V 球体= 3．球体的表面积公式 设球体的半径为 R， S 球体=4πR2． 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增 加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键． 26．球内接多面体 【知识点的知识】 1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都 是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球． 球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都 是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球 2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题： （1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系； （3）球自身的对称性与多面体的对称性； （4）能否做出轴截面． 3、球与多面体的接、切中有关量的分析： （1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为 r， 正方体的棱长为 a，则： ①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处； ②正方体的四个顶点都在球面上； ③轴截面就是正方体的对角面； ④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造 一个直角三角形； ⑤球半径和正方体棱长的关系：r= a． 27．直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 用符号表示为：若 a ⊄ α，b ⊂ α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面 内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线 线平行得到线面平行． 28．平面与平面垂直的判定 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 29．参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除） 消元法、三角代换法等．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x=f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y=g（t），那么就是曲 线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持 一致． 30．绝对值不等式的解法 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅ ∅|x|＞a {x|x＞a，或 x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c ⇔ ﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c ⇔ ax+b≥c 或 ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1、解绝对值不等式的基本方法： （1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； （2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值 符号的普通不等式； （3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元 二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段 法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利 用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到 A（a），B（b）两点的距离之和 不小于 c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就 可以得出不等式的解． 4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=” 成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=” 成立的条件是 ab≤0，左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|．