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- 2021-06-16 发布
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第7节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响;2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知 识 梳 理
1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点,作图时的一般步骤为:
(1)定点:如下表所示.
x
-
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.
2.函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义
当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示简谐振动时,几个相关的概念如下表:
简谐振动
振幅
周期
频率
相位
初相
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
A
T=
f=
ωx+φ
φ
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径
[常用结论与易错提醒]
1.由函数y=sin x的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩再平移时,要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0,要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值,可先求t=ωx+φ的范围,再结合图象得出y=Asin t的值域.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)将函数y=3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3cos 2x.
(2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为.故当|ω|≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.y=2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2,,- B.2,,-
C.2,,- D.2,,-
解析 振幅A=2,频率f===,初相φ=-.
答案 A
3.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
解析 f(x)====sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期T==π.故选C.
答案 C
4.(2019·金华一中月考)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=cos图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析 因为y=cos=-sin 2x,故要得到函数y=sin=-sin的图象,只需将函数y=-sin 2x的图象向左平移个单位长度即可,故选C.
答案 C
5.(2016·浙江卷)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
解析 因为f(x)=sin2x+bsin x+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-
+c+,f(x)的周期为π;b≠0时,f(x)的周期为2π,即f(x)的周期与b有关但与c无关,故选B.
答案 B
6.如图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象,已知函数图象经过P,Q两点,则ω=________,φ=________.
解析 因为f(x)过一个周期内的关键点P,Q,故T=-(T为最小正周期),即·=,解得ω=2,由f(x)的图象经过点P得sin=1,则+φ=+2kπ(k∈Z),则φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|≤,则φ=-.
答案 2 -
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例1】 设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(2)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解 f(x)=sin ωx+cos ωx
=2=2sin,
又∵T=π,∴=π,
即ω=2,∴f(x)=2sin.
(1)令z=2x+,则y=2sin=2sin z.
列表,并描点画出图象:
x
-
z
0
π
2π
y=sin z
0
1
0
-1
0
y=2sin
0
2
0
-2
0
(2)法一 把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
法二 将y=sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象;再将y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到y=sin 2=sin的图象;再将y=sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sin的图象.
规律方法 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法:
(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;
(2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.
解 (1)∵T==π,ω=2,
又f=cos=,
∴sin φ=-,又-<φ<0,∴φ=-.
(2)由(1)得f(x)=cos,列表:
2x-
-
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
-1
0
描点画出图象(如图).
考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】 (1)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=________,φ=________.
(2)(一题多解)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.
解析 (1)由题图可知,=·=-,得ω=2.
又函数过点,f(x)=2sin(2x+φ),
故2×+φ=2kπ+,k∈Z,得φ=2kπ-,k∈Z,
∵-<φ<,∴φ=-.
(2)由题图可知A=,
法一 =-=,所以T=π,故ω=2,
因此f(x)=sin(2x+φ),又对应五点法作图中的第三个点,
因此2×+φ=π,所以φ=,故f(x)=sin.
法二 以为第二个“零点”,为最小值点,
列方程组解得
故f(x)=sin.
答案 (1)2 - (2)f(x)=sin
规律方法 已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:
(1)五点法,由ω=即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ;
(2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
【训练2】 (1)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),函数f(x)的图象如图所示,则f(2 016π)的值为( )
A. B.-
C. D.-
(2)(2020·镇海中学模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ=________,为了得到g(x)=Acos ωx的图象,需将函数y=f(x)的图象最少向左平移________个单位长度.
解析 (1)由函数的图象可得A=2,T==4×=4π,解得ω=.又图象经过,0=2sin,0<φ<π,φ=,故f(x)的解析式为f(x)=2sin,所以f(2 016π)=2sin=.故选A.
(2)由题图知A=2,T=2=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),把点代入,得sin=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),又-π<φ<0,所以φ=-,所以f(x)=2sin;因为g(x)=2cos 2x=2sin=2sin,所以要得到函数g(x)的图象需将函数f(x)的图象最少向左平移个单位长度.
答案 (1)A (2)-
考点三 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用
【例3】 (2020·浙江名师预测卷二)已知函数f(x)=sin+2cos2.
(1)当f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
解 (1)f(x)=sin+2cos2
=cos 2x+cos+1
=cos 2x-sin 2x+1
=2cos+1,
∴f(x)的最小正周期为T==π,
由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)∵-≤x≤,
∴-≤2x+≤,
∴-≤cos≤1,
∴f(x)的值域为[1-,3].
规律方法 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间和对称性的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综合利用这些性质解决问题,解题时可利用数形结合思想.
【训练3】 已知函数f(x)=2cos x·cos在(a>0)上是减函数.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程;
(2)(一题多解)求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)=2cos x·
=(1+cos 2x)+sin 2x
=sin+.
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令2x+=kπ+,k∈Z,
解得x=+,k∈Z,
所以f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.
(2)法一 由(1)可知f(x)在上是减函数.
因为∈,
所以要使得f(x)在上是减函数,
只需满足解得a≤.
又a>0,所以实数a的取值范围.
法二 因为f(x)在上是减函数,
所以-≤=,即00,|φ|<)在区间上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=-
C.ω=,φ= D.ω=,φ=-
解析 由题图可知T=2=π,所以ω==2,又sin=0,所以-φ=2kπ(k∈Z),即φ=-2kπ(k∈Z),而|φ|<,所以φ=,故选A.
答案 A
2.将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称,则a的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得f(x)=2sin,因为函数f(x-a)=2sin的图象关于y轴对称,所以sin=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.
答案 B
3.函数f(x)=3sinx-logx的零点的个数是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 函数y=3sinx的周期T==4,由logx=3,可得x=.由logx=-3,可得x=8.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=3sinx和y=logx的图象(如图所示),易知有5个交点,故函数f(x)有5个零点.
答案 D
4.(2020·绍兴一中适考)将函数f(x)=2sin-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)的图象关于点对称
B.函数g(x)的周期是
C.函数g(x)在上单调递增
D.函数g(x)在上最大值是1
解析 将函数f(x)=2sin-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),
则得g(x)=2sin-1,故g(x)的最小正周期T==π;又g=2sin-1=-1,即g(x)的图象关于点对称;当x∈时,t=2x+∈且单调递增,则y=2sin t-1在上单调递增,且2sin t-1<2sin -1=1,故选C.
答案 C
5.(2019·天津卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f=( )
A.-2 B.-
C. D.2
解析 因为f(x)是奇函数(显然定义域为R),所以f(0)=Asin φ=0,所以sin φ=0.又|φ|<π,所以φ=0.
由题意得g(x)=Asin,且g(x)的最小正周期为2π,
所以ω=1,即ω=2.所以g(x)=Asin x,
所以g=Asin =A=,所以A=2.
所以f(x)=2sin 2x,所以f=.故选C.
答案 C
6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.因为函数f(x)的图象与直线y
=2的两个相邻交点的距离等于π,则函数f(x)的最小正周期为=π,解得ω=2,则f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故选B.
答案 B
二、填空题
7.(2016·浙江卷)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=________,b=________.
解析 ∵2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x
=+1=sin+1
=Asin(ωx+φ)+b(A>0),∴A=,b=1.
答案 1
8.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为________.
解析 由题意知cos=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z,当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,均满足题意,所以函数f(x)在[0,π]上的零点个数为3.
答案 3
9.已知f(x)=sin (ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=________________________________________________________.
解析 依题意,x==时,y有最小值,∴sin=-1,
∴ω+=2kπ+ (k∈Z).
∴ω=8k+ (k∈Z),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=.
答案
10.已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为________;振幅的最小值为________.
解析 由题意得f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x=·sin(2x+φ),其中tan φ=,所以函数f(x)的最小正周期为=π,=,Δ<0,所以当a=-=-时,取得最小值=,即振幅的最小值为.
答案 π
三、解答题
11.已知函数f(x)=sin ωx+cos,其中x∈R,ω>0.
(1)当ω=1时,求f的值;
(2)当f(x)的最小正周期为π时,求f(x)在上取得最大值时x的值.
解 (1)当ω=1时,f=sin +cos
=+0=.
(2)f(x)=sin ωx+cos
=sin ωx+cos ωx-sin ωx
=sin ωx+cos ωx=sin.
∵=π,且ω>0,得ω=2,∴f(x)=sin.
由x∈,得2x+∈,
∴当2x+=,即x=时,f(x)max=1.
12.(2020·绍兴一中模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)≥m在x∈上恒成立,求m的取值范围.
解 (1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,
∴f(x)的最小正周期为T=π.
(2)令2sin-m≥0,
得m≤2sin在上恒成立,
∵x∈,∴-≤2x-≤,
∴-≤sin≤1,∴-1≤2sin≤2,
∴m≤f(x)min=-1,即m的取值范围为(-∞,-1].
能力提升题组
13.已知函数f(x)=asin x+bcos x(a≠0)在x=处得最小值,则函数f是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
D.奇函数且它的图象关于点对称
解析 因为f(x)=sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=,因为函数在x=处取得最小值,所以+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z),所以f(x)=sin,所以f=·sin(2π-x)=-sin x是奇函数,关于点(kπ,0)(k∈Z)对称,当k=1时,f关于(π,0)对称,故选C.
答案 C
14.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点;
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;
③f(x)在单调递增;
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③
C.①②③ D.①③④
解析 已知f(x)=sin (ω>0)在[0,2π]
有且仅有5个零点,如图,其图象的右端点的横坐标在[a,b)上,此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点,所以①正确,②不正确;当x∈[0,2π]时,ωx+∈,由f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω+<6π,得ω的取值范围是,所以④正确;由④知,当x∈时,<ωx+<+<<,所以f(x)在上单调递增,所以③正确.故选D.
答案 D
15.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
解析 法一 f(x)=cos x-sin x=cos,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x+≤π,得-≤x≤.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以解得a≤,所以00,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________.
解析 由得sin ωx=cos ωx,
∴tan ωx=1,ωx=kπ+ (k∈Z).
∵ω>0,∴x=+ (k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取x1=,x2=,则|x2-x1|==.
又结合图形知|y2-y1|==2,
且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为2,
∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=(2)2,
∴+(2)2=12,∴ω=.
答案
17.(2020·浙江新高考仿真卷五)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期,并写出f(x)图象的对称轴方程;
(2)若将函数y=f(x)的图象向右平行移动个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求满足g(x0)≥1的实数x0的集合.
解 (1)f(x)=sin xcos x+cos2x
=sin 2x+(1+cos 2x)
=(sin 2x+cos 2x)+
=sin+,
∴f(x)的最小正周期T=π,
令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
∴f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
(2)由题意得g(x)=sin+=sin 2x+,
g(x0)≥1,即sin 2x0+≥1,sin 2x0≥,
∴+2kπ≤2x0≤+2kπ,k∈Z,
∴+kπ≤x0≤+kπ,k∈Z,
即所求x0的集合为.
18.(2020·浙江新高考仿真卷四)已知函数f(x)=
2cos x(a2sin x+bcos x)(x∈R)的值域为[-1,3].
(1)若函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=对称,求|φ|的最小值;
(2)当x∈[0,π]时,方程|f(x)|=c有四个实数根,求c的取值范围.
解 (1)f(x)=a2sin 2x+bcos 2x+b
=sin(2x+β)+b,其中tan β=,cos β=≥0,
由题意得b-=-1,b+=3,
解得a2=,b=1,tan β=,∴β=+2kπ,k∈Z,
从而f(x)=2sin+1,
∴f(x+φ)=2sin+1,
由y=f(x+φ)的图象关于直线x=对称得
2×+2φ+=kπ+(k∈Z),
∴φ=-(k∈Z).∴|φ|min=.
(2)如图,y=|f(x)|=.
在,,上单调递增,
在,上单调递减,结合f(0)=f(π)=2,
f=1,f=f=0可知c∈(0,1).
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