2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1 13页

www.ks5u.com 课时分层作业(八)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A．　　B．　　C．　　D． D　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1.‎ 则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，‎ cos〈，〉＝＝＝－，‎ ‎∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]‎ ‎2．在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)‎ A． B． C． D．1‎ B　[过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得，所以＝，‎ 所以点B到直线A1C的距离||＝.]‎ ‎3．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)‎ A． B． C． D． A　[以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则C(0,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,3,1)，D(0,0,0)，＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)，设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则可得平面D1EC的一个法向量为n＝(2,1,3)，‎ 所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为 sin θ＝cos〈，n〉＝＝＝.]‎ ‎4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)‎ A． B． C． D． C　[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)‎ ‎∵E为AB的中点，‎ ‎∴＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)‎ 设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，‎ 则，即，‎ 可得 可取n＝(2,1,2)‎ ‎∴点E到面ACD1的距离为d＝＝＝.]‎ ‎5.如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为(　　)‎ A． B． C． D． D　[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角CBFD的正切值为.]‎ 二、填空题 ‎6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．‎ 　[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]‎ ‎7．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝‎ ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．‎ 　[作出正四棱锥PA′B′C′D′，如图，‎ 以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A′(1,1,0)，B′(－1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PA′B′的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以平面PA′B′的方程为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以点O到侧面的距离d＝＝.]‎ ‎8.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________．‎ 　[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，‎ ‎∴＝(－1,0,1)，＝.‎ 设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则⇒∴x＝2y＝z.‎ 取y＝1，则n＝(2,1,2)．‎ 又平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，‎ ‎∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.]‎ 三、解答题 ‎9.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面C1DE；‎ ‎(2)求面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.‎ 由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE.‎ ‎(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，DE为y轴正方向，DD1为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则 A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．‎ 设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则 所以可取m＝(，1,0)．‎ 设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则 所以可取n＝(2,0，－1)．‎ 于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值为.‎ ‎10.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，‎ D，B(0,2,0)，‎ ＝，＝(0,1,0)，‎ 设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则 即 取x1＝h，‎ ‎∴n1＝.‎ 由(1)知平面PAC的一个法向量为＝，‎ ‎∴|cos〈n1，〉|＝＝，‎ 解得h＝，‎ 同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，‎ 所以，点A到平面PBC的距离为 d＝＝＝.‎ ‎11．(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　)‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ABC　[以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则可以证明AC1⊥面CB1D1，‎ ‎∴可以作为面CB1D1的法向量，∴C正确．∵＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，∴·＝1－1＝0，‎ ‎∴BD∥面CB1D1即AB正确．又∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝－，∴AD与CB1所成的角为45°，‎ ‎∴D错，故应选ABC.]‎ ‎12.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)‎ A． B． C． D． C　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，‎ ‎|PQ|＝ ‎＝ ‎＝，‎ 当且仅当λ＝，μ＝时，‎ 线段PQ的长度取得最小值，为.]‎ ‎13．(一题两空)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE＝________，这时，点D到面PEC的距离为________．‎ ‎2－　　[设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)，设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.这时，平面PEC的法向量可以取(，1,2)，又因＝(0,0,1)．∴点D到平面PEC的距离为d＝＝＝.]‎ ‎14．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.‎ 　[平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，‎ 则 即3x＝4y＝az，‎ 取z＝1，则u＝.‎ 而cos〈n，u〉＝＝，‎ 又∵a＞0，∴a＝.]‎ ‎15.如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．‎ ‎(1)求证：BD∥平面FGH；‎ ‎(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．‎ ‎[解]　(1)法一：连接GD，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.‎ 在三棱台DEFABC中，‎ AB＝2DE，G为AC的中点，‎ 可得DF∥GC，DF＝GC，‎ 所以四边形DFCG为平行四边形，‎ 则O为CD的中点，‎ 又H为BC的中点，‎ 所以OH∥BD，又OH⊂平面FGH，‎ BD⊄平面FGH，‎ 所以BD∥平面FGH.‎ 法二：在三棱台DEFABC中，‎ 由BC＝2EF，H为BC的中点，‎ 可得 BH∥EF，BH＝EF，‎ 所以四边形BHFE为平行四边形，‎ 可得BE∥HF，‎ 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，‎ 所以GH∥AB，‎ 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED，‎ 因为 BD⊂平面ABED，‎ 所以 BD∥平面FGH.‎ ‎(2)设AB＝2，则CF＝1，‎ 在三棱台DEFABC中，‎ G为AC的中点，‎ 由DF＝AC＝GC，‎ 可得 四边形DGCF为平行四边形，‎ 因此DG∥FC，‎ 又FC⊥平面ABC，‎ 所以DG⊥平面ABC，‎ 在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点，‎ 所以AB＝BC，GB⊥GC，‎ 因此GB，GC，GD两两垂直，‎ 以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，‎ 所以G(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，D(0,0,1)．‎ 可得H，F(0，，1)．‎ 故＝，＝(0，，1)，‎ 设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则 由可得 可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，)，‎ 因为是平面ACFD的一个法向量，＝(，0,0)‎ 所以cos〈，n〉＝＝＝.‎ 所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.‎