高中数学第8章函数应用课时分层作业45函数的实际应用含解析苏教版必修第一册 6页

课时分层作业(四十五)　函数的实际应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T． 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)‎ A　　　　B　　　　　C　　　　D B　[水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．]‎ ‎2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)‎ A．8元 B．9元 C．10元 D．12元 C　[设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t．‎ 当t＝100时，100k1＋20＝100k2，‎ 所以k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．]‎ ‎3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A.2020年　　　　 B.2021年 ‎ - 6 -‎ C.2022年　　　　 D.2023年 B　[若2018年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研经费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元.故选B.]‎ ‎4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)‎ A．y＝100x　 B．y＝50x2－50x＋100‎ C．y＝50×2x　　　　 D．y＝100log2x＋100‎ C　[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．]‎ ‎5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为a．若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)‎ A．60 B．75 ‎ C．90 D．100‎ B　[由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝．‎ 设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75．]‎ 二、填空题 ‎6．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．03元，购买饲料每次支付运费300元，则该养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．‎ ‎10　[设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．‎ 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0．03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1．8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．]‎ ‎7．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x - 6 -‎ 万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．‎ ‎18　[利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]‎ ‎8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤______次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)‎ ‎8　[设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%≤0．1%，即≤，‎ 所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7．39，所以n＝8．]‎ 三、解答题 ‎9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用‎88 ℃‎热水冲的速溶咖啡，放在‎24 ℃‎的房间中，如果咖啡降温到‎40 ℃‎需要20 min，那么降温到‎32 ℃‎时，需要多长时间？‎ ‎[解]　由题意知40－24＝(88－24)·，‎ 即＝，解得h＝10．‎ 故T－24＝(88－24)·，‎ 当T＝32时，32－24＝64·，‎ 即＝，解得t＝30，‎ 因此，需30 min可降温到‎32 ℃‎．‎ ‎10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，‎ ‎(1)求每年砍伐面积的百分比；‎ ‎(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？‎ ‎(3)今后最多还能砍伐多少年？‎ - 6 -‎ ‎[解]　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(030，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t - 6 -‎ ‎＝3．5时，y＝11．31<12，故经过1．5个月并不能使浮萍的面积达到‎12 m2‎，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝‎1 m2‎，再经过一个月时，面积增加4－2＝‎2 m2‎，故④不正确；当浮萍面积为‎2 m2‎时，t1＝1，当浮萍面积为‎3 m2‎时，t2＝log2 3，当浮萍面积为‎6 m2‎时，t3＝log2 6，而1＋log2 3＝log2 6，故⑤正确．]‎ ‎2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26．7，天狼星的星等是－1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)‎ A． 1010．1　　　　 B． 10．1‎ C． lg 10．1　　　　 D． 10－10．1‎ A　[根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26．7，m2＝－1．45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，把m1与m2的值分别代入上式得，－1．45－(－26．7)＝lg，得lg ＝10．1，所以＝1010．1，故选A．]‎ ‎3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．‎ 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．‎ ‎60,16　[因为组装第A件产品用时15分钟，‎ 所以＝15， ①‎ 所以必有4