【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章阅读与欣赏(三)　正弦、余弦定理高考命题趋向三角函数、解三角形学案 5页

正弦、余弦定理高考命题趋向三角函数、解三角形 在高考中正弦定理、余弦定理既可以单独考查(在小题中出现)，也可以综合考查(在小题中出现)，还可以和向量、三角函数、三角形等综合命题(一般放在解答题的第一题)，难度中等，很少有难题．与三角形综合时常用边化角和角化边两种方法．在解决此类问题时，首先应该抓住问题关键，寻求最佳方法，并能触类旁通、学以致用．‎ ‎　已知三角形三边解三角形 ‎ 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角．‎ ‎[点拨]　可以利用比例关系设字母k，将a、b、c用k来表示，为了使用余弦定理求角创造充分条件．‎ ‎【解】 因为a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则设a＝2k，b＝k，‎ c＝(＋1)k(k>0)，由余弦定理得到 cos A＝＝＝，‎ 所以A＝45°；‎ cos B＝＝＝，所以B＝60°；‎ 所以C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.‎ 本题是已知三边求三个角，基本的思路是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，判定此角的取值，求得第一个角；再用正弦定理(或余弦定理的推论)求出第二个角；最后用三角形内角和定理求出第三个角(可先求出最小角，再求出最大角)．　 ‎ ‎　已知两边及其夹角解三角形 ‎ 在△ABC中，已知角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，C＝15°，求角A，B和边c的值．‎ ‎[点拨]　根据条件可先利用余弦定理求出边c，再利用正弦定理求出角A，最后利用三角形内角和定理求出角B．‎ ‎【解】 因为cos C＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝，sin C＝sin 15°＝，又由余弦定理得到c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，所以c＝＝＝－.‎ 由正弦定理＝，得sin A＝＝＝.‎ 因为b>a，则A＝30°，所以B＝180°－A－C＝135°.‎ 对于已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法如下：先利用余弦定理求出第三边，再利用余弦定理的推论或者正弦定理求出第二个角，最后利用三角形内角和定理求出第三角．在本题中由正弦定理求得sin A值后，应该注意根据已知条件中边的关系，对角A的值作出判断，从而避免产生增根．　 ‎ ‎　已知两边及一边的对角解三角形 ‎ 在△ABC中，已知A，B，C所对边的边长为a，b，c，若a＝2，b＝，A＝45°，求边c的长．‎ ‎[点拨]　可以利用余弦定理求边长c，也可先由正弦定理求出B，进而求出C，同时利用正弦定理或余弦定理求出边长c.‎ ‎【解】 法一：在△ABC中，利用余弦定理得到a2＝b2＋c2－2bccos A，则c2－2c－6＝0，‎ 则c＝±3.因为c>0，所以c＝＋3.‎ 法二：在△ABC中，由正弦定理得到 sin B＝＝＝.‎ 由于b