2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲点直线平面之间的位置关系课件 46页

第 3 讲 点、直线、平面之间的位置关系 课标要求 考情风向标 1. 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面 的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆ 公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内 . ◆ 公理 2 ：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平 面 . ◆ 公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线 . ◆ 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线平行 . ◆ 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补 . 2. 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过 直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线 面平行、垂直的有关性质与判定 平面的基本性质是研究 立体几何的基础，是高 考主要考点之一，考查 内容有以平面基本性 质、推论为基础的共线、 共面问题，也有以平行、 异面为主的两直线的位 置关系，求异面直线所 成的角是本节的重点 项目 公理 1 公理 2 公理 3 公理 4 图形 语言 1. 平面基本性质即四条公理的 “ 图形语言 ”“ 文字语 言 ”“ 符 号语言 ”列表 项目 公理 1 公理 2 公理 3 公理 4 文字 语言 如果一条直 线上的两点 在一个平面 内，那么这条 直线在此平 面内 过不在一条 直线上的三 点，有且只有 一个平面 如果两个不重 合的平面有一 个公共点，那么 它们有且只有 一条过该点的 公共直线 平行于同一条 直线的两条直 线平行 符号 语言 A ， B ， C 不共 线 ⇒ A ， B ， C 确定平面 α ( 续表 ) ⇒ l ⊂ α P ∈ α ， P ∈ β 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 面 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这 两个角相等或互补 两直线的 位置关系 共面 直线 平行 没有交点 相交 一个交点 异面直线 没有交点 直线与平面 的位置关系 平行 没有交点 相交 一个交点 在平面内 无数个交点 两平面的位 置关系 平行 没有交点 相交 无数个交点 2. 空间线、面之间的位置关系 3. 异面直线所成的角 锐角或直角 (0° ， 90°] 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a ′ 与 b ′. 那么直线 a ′ 与 b ′ 所成的 _______________ ，叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ) ，其范围是 ______________. 1. 在下列命题中，不是公理的是 ( ) A A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在 此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公 共直线 2.(2019 年山西太原期末 ) 已知平面 α 和直线 l ，则 α 内至少有 一条直线与 l ( ) C A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面 解析： 直线 l 与平面 α 斜交时，在平面 α 内不存在与 l 平行的 直线，∴ A 错误； l ⊂ α 时，在平面 α 内不存在与 l 异面的直线，∴ D 错误； l ∥ α 时，在平面 α 内不存在与 l 相交的直线，∴ B 错误 . 无论哪种情形在平面 α 内都有无数条直线与 l 垂直 . 故选 C. 3. 已知直线 a ， b 分别在两个不同的平 面 α ， β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平 面 α 和平面 β 相交”的 ( ) A D A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必 要条件 4. 若 A ∈ α ， B ∈ α ， A ∈ l ， B ∈ l ， P ∈ l ，则 ( ) A. P ⊂ α B. P ∉ α C. l ⊄ α D. P ∈ α 考点 1 平面的基本性质 例 1 ： (1) 设 a ， b ， c 是空间中的三条直线，下面给出四个 命题： ① 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ； ② 若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ∥ c ； ③ 若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④ 若 a ⊂ 平面 α ， b ⊂ 平面 β ，则 a ， b 一定是异面直线 . 上述命题中错误的是 ________( 写出所有错误命题的序号 ). 解析： 由公理 4 知①正确；当 a ⊥ b ， b ⊥ c 时， a 与 c 可以 相交、平行或异面，故②错误；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③错误； a ⊂ α ， b ⊂ β ， 并不能说明 a 与 b “ 不同在任何一个平面内”，故④错误 . 故填 ②③④. 答案： ②③④ (2)(2018 年福建厦门模拟 ) 下列四个命题中，真命题的个数 为 ( ) ① 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这 两个平面重合； ② 两条直线可以确定一个平面； ③ 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④ 若 M ∈ α ， M ∈ β ， α ∩ β ＝ l ，则 M ∈ l . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： 对于①来说，过不共线的三点有且只有一个平面， 因此①正确；对于②来说，若两直线异面，则不能确定一个平 面，因此②不正确；对于③来说，正方体中一个顶点引出的三 条棱，不在同一平面内，因此③不正确；由公理，可知④正确 . 故选 B. 答案： B (3)( 多选 ) 下列推断中，正确的是 ( ) A. A ∈ l ， A ∈ α ， B ∈ l ， B ∈ α ⇒ l ⊂ α B. A ∈ α ， A ∈ β ， B ∈ α ， B ∈ β ⇒ α ∩ β ＝ AB C. l ⊄ α ， A ∈ l ⇒ A ∉ α D. A ， B ， C ∈ α ， A ， B ， C ∈ β ，且 A ， B ， C 不共线 ⇒ α ， β 重合 答案： ABD 【 规律方法 】 直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线 不在平面内，记作 l ⊄ α ，包括直线与平面相交及直线与平面平 行两种情形 . 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和 研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图 和逻辑推理的 依据 . 公理 1 是判断直线在平面内的依据；公理 2 的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据； 公理 3 是证明三 ( 多 ) 点共线或三线共点的依据 . 考点 2 空间内两直线的位置关系 考向 1 两直线位置关系的判定 例 2 ： (1) 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是线段 BC ， CD 1 的中点，则直线 A 1 B 与直线 EF 的位置关系是 ( ) A. 相交 C. 平行 B. 异面 D. 垂直 解析： 如图 D74 所示，直线 A 1 B 与直线外一点 E 确定的平 面为 A 1 BCD 1 ， EF ⊂ 平面 A 1 BCD 1 ，且两直线不平行，故两直线 相交 . 图 D74 答案： A (2) 如图 8-3-1 ，正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别为棱 C 1 D 1 ， C 1 C 的中点，有以下四个结论： ① 直线 AM 与 CC 1 是相交直线； ② 直线 AM 与 BN 是平行直线； ③ 直线 BN 与 MB 1 是异面直线； ④ 直线 AM 与 DD 1 是异面直线 . 图 8-3-1 其中正确的结论为 ________( 注：把你认为正确 的结论序号 都填上 ). 解析： ∵点 A 在平面 CDD 1 C 1 外，点 M 在平面 CDD 1 C 1 内， 直线 CC 1 在平面 CDD 1 C 1 内， CC 1 不过点 M ，∴ AM 与 CC 1 是异 面直线 . 故①错；取 DD 1 中点 E ，连接 AE ，则 BN ∥ AE ，但 AE 与 AM 相交 . 故②错；∵ B 1 与 BN 都在平面 BCC 1 B 1 内， M 在平 面 BCC 1 B 1 外， BN 不过点 B 1 ，∴ BN 与 MB 1 是异面直线 . 故③正 确；同理④正确，故填③④ . 答案： ③④ (3)(2019 年新课标 Ⅲ ) 如图 8-3-2 ，点 N 为正方形 ABCD 的 中心，△ ECD 为正三角形，平面 ECD ⊥ 平面 ABCD ， M 是线段 ED 的中点，则 ( ) 图 8-3-2 A. BM ＝ EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线 B. BM ≠ EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线 C. BM ＝ EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线 D. BM ≠ EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线 解析： 如图 D75 所示， 作 EO ⊥ CD 于 O ，连接 ON ，过 M 作 MF ⊥ OD 于 F ，连 BF ，∵平面 CDE ⊥ 平面 ABCD ， EO ⊥ CD ， EO ⊂ 平面 CDE ，∴ EO ⊥ 平面 ABCD ， MF ⊥ 平面 ABCD ， ∴△ MFB 与△ EON 均为直角三角形 . 图 D75 答案： B 【 规律方法 】 判断直线是否平行比较简单直观，可以利用 公理 4 ；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种 判断方法：①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条 直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导 出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；②在客观题中， 也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面 内不过该点的直线是异面直线 . 考向 2 异面直线所成的角 例 3 ： (1) (2018 年新课标 Ⅱ ) 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为棱 CC 1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ( ) 图 8-3-3 答案： C (2)(2016 年新课标 Ⅰ ) 平面 α 过正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的顶 点 A ， α ∥ 平面 CB 1 D 1 ， α ∩ 平面 ABCD ＝ m ， α ∩ 平面 ABB 1 A 1 ＝ n ，则 m ， n 所成角的正弦值为 ( ) 解析： 如图 8-3-4 ，设平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 ABCD ＝ m ′ ，平 面 CB 1 D 1 ∩ 平面 ABB 1 A 1 ＝ n ′ ， 图 8-3-4 ∵ α ∥ 平面 CB 1 D 1 ， ∴ m ∥ m ′ ， n ∥ n ′. 则 m ， n 所成的角等于 m ′ ， n ′ 所成的角 . 延长 AD ，过 D 1 作 D 1 E ∥ B 1 C ， 连接 CE ， B 1 D 1 ，则 CE 为 m ′. 同理 B 1 F 1 为 n ′. 而 BD ∥ CE ， B 1 F 1 ∥ A 1 B ， 则 m ′ ， n ′ 所成的角即为 A 1 B ， BD 所成的角，即为 60° ， 答案： A 【 规律方法 】 (1) 求异面直线所 成的角常用方法是平移法， 平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作平行线平移；补形平移 . (2) 求异面直线所成的角的三步曲：即 “ 一作、二证、三求 ” . 其中空间选点任意，但要灵活，经常选择 “ 端点、中点、等分 点 ” ，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出 异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解 . 【 跟踪训练 】 1. 已知 P 是△ ABC 所在平面外的一点， M ， N 分别是 AB ， 所成角的大小是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析： 如图 D76 ，取 AC 中点 D ，连接 DN ， DM ， 图 D76 答案： A 考点 3 三点共线、三线共点的证明 例 4 ： 如图 8-3-5 ，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分 别是 AB 和 AA 1 的中点 . 求证： (1) E ， C ， D 1 ， F 四点共面； (2) CE ， D 1 F ， DA 三线共点 . 图 8-3-5 证明： (1) 如图 8-3-6 ，连接 EF ， CD 1 ， A 1 B . 图 8-3-6 ∵ E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点，∴ EF ∥ BA 1 . 又 A 1 B ∥ D 1 C ，∴ EF ∥ CD 1 . ∴ E ， C ， D 1 ， F 四点共面 . ∴ CE 与 D 1 F 必相交 . 设交点为点 P ，如图 8-3-6 ， 则由点 P ∈ CE ， CE ⊂ 平面 ABCD ，得点 P ∈ 平面 ABCD . 同理点 P ∈ 平面 ADD 1 A 1 . 又平面 ABCD ∩ 平面 ADD 1 A 1 ＝ DA ， ∴ 点 P ∈ 直线 DA . ∴ CE ， D 1 F ， DA 三线共点 . 【 规律方法 】 证明三线共点的步骤就是先说明两线交于一 点，再证明此交点在另一条线上，把三线共点的证明转化为三 点共线的证明，要证明 D ， A ， P 三点共线，由公理 3 知，只要 证明 D ， A ， P 都在两个平面的交线上即可 . 证明多点共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他 各点均在这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的 直线上 —— 相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作 出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公 共点 . 【 跟踪训练 】 2. 如图 8-3-7 ， α ∩ β ＝ l ， A ， B ∈ α ， C ∈ β ，且 C ∉ l ，直线 AB ∩ l ＝ M ，过 A ， B ， C 三点的平面记作 γ ，则 γ 与 β 的交线必通 过 ( ) 图 8-3-7 A. 点 A C. 点 C 但不过点 M B. 点 B D. 点 C 和点 M 解析： ∵ AB ⊂ γ ， M ∈ AB ，∴ M ∈ γ . 又 α ∩ β ＝ l ， M ∈ l ，∴ M ∈ β . 根据公理 3 可知， M 在 γ 与 β 的交线上 . 同理可知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上 . 故选 D. 答案： D 3. 如图 8-3-8 ， ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 是长方体， O 是 B 1 D 1 的中点， ) 直线 A 1 C 交平面 AB 1 D 1 于点 M ，则下列结论正确的是 ( 图 8-3-8 A. A ， M ， O 三点共线 B. A ， M ， O ， A 1 不共面 C. A ， M ， C ， O 不共面 D. B ， B 1 ， O ， M 共面 解析： (1) 连接 A 1 C 1 ， AC ，则 A 1 C 1 ∥ AC ， ∴ A 1 ， C 1 ， A ， C 四点共面，∴ A 1 C ⊂ 平面 ACC 1 A 1 ， ∵ M ∈ A 1 C ，∴ M ∈ 平面 ACC 1 A 1 . 又 M ∈ 平面 AB 1 D 1 ，∴ M 在平面 ACC 1 A 1 与平面 AB 1 D 1 的交 线上， 同理 O 在平面 ACC 1 A 1 与平面 AB 1 D 1 的交线上 . ∴ A ， M ， O 三点共线 . 答案： A 难点突破 ⊙ 空间中的线面关系 例题： (2018 年新课标 Ⅰ ) 已知正方体的棱长为 1 ，每条棱 所在直线与平面 α 所成的角相等，则 α 截此正方体所得截面面积 的最大值为 ( ) 图 8-3-9 答案： A 【 跟踪训练 】 4.(2019 年上海 ) 已知平面 α ， β ， γ 两两垂直，直线 a ， b ， c 满足： a ⊂ α ， b ⊂ β ， c ⊂ γ ，则直线 a ， b ， c 不可能满足以下哪 种关系 ( ) A. 两两垂直 C. 两两相交 B. 两两平行 D. 两两异面 解析： 如图 D77(1) ，可得 a ， b ， c 可能两两垂直； 如图 D77(2) ，可得 a ， b ， c 可能两两相交； 如图 D77(3) ，可得 a ， b ， c 可能两两异面 . 故选： B. (1) (2) (3) 图 D77 答案： B 1. 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究 点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻 辑推理的依据 . 公理 1 是判断直线在平面内的依据； 公理 2 的 作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公 理 3 是证明三 ( 多 ) 点共线或三线共点的依据 . 2. 正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义， 不要理解成“不在同一个平面内” . 掌握异面直线的两种判断 方法： (1) 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾， 从而否定假设肯定两条直线异面 . (2) 客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一 点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线 . 3. 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移 动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 . 根据空间等角定理 及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可 以选在其中 一条直线上 ( 线面的端点或中点 ) 利用三角形求解 . 4. 平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定成立 . 例 如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“同 时 垂直于一条直线的两条直线平行 ” 等性质在空间都不成立 .