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  • 2021-06-16 发布

(新课标) 高考数学 1.1 相似三角形的判定及有关性质

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【师说 高中全程复习构想】(新课标) 高考数学 1.1 相似三角形的 判定及有关性质 一、填空题 1.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,AD∶AB=1∶3.若 DE=2, 则 BC=__________. 解析:∵DE∥BC,∴AD AB =DE BC ,即1 3 = 2 BC . 解得 BC=6. 答案:6 2.如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,延长 AE 交 BC 于 F,则BF FC =__________. 解析:如图,过 D 作 DG∥BC 交 AF 于 G, ∵E 是 BD 的中点,∴DG=BF. 又∵DG∥BC,∴DG FC =AD AC =1 2 . ∴BF FC =DG FC =1 2 . 答案:1 2 3.如图,在△ABC 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点,AN、CM 交于点 O,那么△MON 与△AOC 面积的比是__________. 解析:∵M、N 分别是 AB、BC 的中点, ∴MN∥AC,MN=1 2 AC. ∴△MNO∽△CAO. ∴S△MON S△COA = MN AC 2= 1 2 2=1 4 . 答案:1∶4 4.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上一点,∠DBC=∠A,BC= 6,AC=3,则 CD=__________. 解析:∵∠DBC=∠A,∠C=∠C, ∴△CDB∽△CBA. ∴BC AC =CD BC ,即 6 3 =CD 6 . ∴CD=2. 答案:2 5.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且 AB=6,AC=4,AD=12.则 BE=__________. 解析:由于∠B=∠D. ∴∠AEB=∠C,从而得△ABE∽△ADC. ∴AB AD =AE AC 解得 AE=2,故 BE= AB2-AE2=4 2. 答案:4 2 6.如图所示,在▱ ABCD 中,BC=24,E、F 为 BD 的三等分点,则 BM=__________;DN= __________. 解析:∵AD∥BC,BE=EF=FD, ∴BM AD =BE DE =1 2 . ∵AD=BC=24,∴BM=12. ∵AD∥BC, ∴DN BM =FD FB =1 2 . ∴DN=1 2 BM=6. 答案:12 6 7.如图,Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6,且 AD∶BD=3∶2,则斜边 AB 上的中 线 CE 的长为__________. 解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴CD2=AD·BD. 设 AD=3x,那么 BD=2x,AB=5x, ∵CD=6,∴6x2=62. ∴x= 6,AB=5x=5 6. ∵CE 是斜边 AB 上的中线, ∴CE=1 2 AB=5 2 6. 答案:5 2 6 8.如图,D、E 两点分别在 AC、AB 上,且 DE 与 BC 不平行,请填上一个你认为适合的条件: ________________,使得△ADE∽△ABC. 解析:∵∠A=∠A,由两角对应相等,两三角形相似,可添加∠1=∠B 或∠2=∠AED.由两 边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,可添加AE AC =AD AB . 答案:∠1=∠B 或∠2=∠E 或AE AC =AD AB . 9.如图,在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,E 为 AD 上的一点,延长 BE 交 AC 于点 F,若AE AD =1 4 , 则AF AC 的值为__________. 解析:过点 A 作 AG∥BC,交 BF 延长线于点 G. 由AE AD =1 4 ,得AE ED =1 3 , 由△AGE∽△DBE,得AG BD =AE ED =1 3 . 由 D 为 BC 中点,知 BC=2BD,故AG BC =1 6 . ∵△AGF∽△CBF,∴AF FC =AG BC =1 6 .故AF AC =1 7 . 答案:1 7 10.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,且 BC∶AC=2∶3,则 BD∶AD=__________. 解析:由射影定理知 AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,∴BC2 AC2 =BD AD =4 9 . 答案:4 9 三、解答题 11.(2014·苏北模拟)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,点 O 是 AC 边 上一点,连接 BO 交 AD 于 F,OE⊥OB 交BC 边于点 E. 图 1 图 2 (1)求证:△ABF∽△COE; (2)当 O 为 AC 边中点,AC AB =2 时,如图 2,求OF OE 的值; (3)当 O 为 AC 边中点,AC AB =n时,请直接写出OF OE 的值. 解析:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB,∴∠BOA+∠COE=90°, ∵∠BOA+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠COE. ∴△ABF∽△COE; (2)方法一:作 OG⊥AC,交 AD 的延长线于 G. ∵AC=2AB,O 是 AC 边的中点, ∴AB=OC=OA. 由(1)有△ABF∽△COE, ∴△ABF≌△COE,∴BF=OE. ∵∠BAD+∠DAC=90°, ∠DAB+∠ABD=90°,∴∠DAC=∠ABD, 又∠BAC=∠AOG=90°,AB=OA. ∴△ABC≌△OAG,∴OG=AC=2AB. ∵OG⊥OA,∴AB∥OG,∴△ABF∽△GOF, ∴OF BF =OG AB ,OF OE =OF BF =OG AB =2. 方法二: ∵∠BAC=90°,AC=2AB,AD⊥BC 于 D, ∴Rt△BAD∽Rt△BCA. ∴AD BD =AC AB =2. 设 AB=1,则 AC=2,BC= 5,BO= 2, ∴AD=2 5 5,BD=1 5 5. ∵∠BDF=∠BOE=90°,∴△BDF∽△BOE, ∴BD DF =BO OE . 由(1)知 BF=OE,设 OE=BF=x, ∴ 1 5 5 DF = 2 x ,∴x= 10DF. 在△DFB 中 x2=1 5 + 1 10 x2,∴x= 2 3 . ∴OF=OB-BF= 2-1 3 2=2 3 2, ∴OF OE = 2 3 2 1 3 2 =2. (3)OF OE =n. 12.已知在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过点 C任作一直线与 AB、AD 分别交于点 F、E. (1)如图①,DG∥CF 交 AB 于点 G,当 D 是 BC 的中点时,求证:AE ED =2AF FB . (2)如图②,当BD DC =1 2 时,求证:AE ED =3AF 2FB . (3)如图,当BD DC =m n 时,猜想:AE ED 与AF FB 之间是否存在着一定的数量关系?若存在,请写出它们 之间的关系式,并给出证明过程;若不存在,请说明理由. 解析:(1)∵DG∥CF,BD=DC, ∴BG=FG=1 2 BF. ∵FE∥DG,∴AE ED =AF FG .∴AE ED = AF 1 2 BF =2AF BF . (2)过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点,∴AE ED =AF FG . 又BD DC =1 2 , ∴DC=2BD=2 3 BC. ∵DG∥FC,∴FG BF =DC BC =2 3 . ∴FG=2 3 BF,∴AE ED = AF 2 3 BF =3AF 2BF . (3)当BD DC =m n 时,有等式:AE ED =m+n n ·AF FB . 证明如下:如题图,过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点. ∴AE ED =AF FG . 又∵BD DC =m n ,∴BC DC =m+n n . ∵DG∥FC,∴BF FG =BC DC =m+n n . ∴FG= n m+n BF.∴AE ED = AF n m+n BF =m+n n ·AF BF .