【数学】2020届一轮复习北师大版第3讲几何概型学案 9页

第3讲　几何概型 ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．‎ ‎2．了解几何概型的意义.‎ 知 识 梳 理 几何概型 ‎(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎(3)公式：‎ P(A)＝.‎ 辨 析 感 悟 ‎1．对几何概型的理解 ‎(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)‎ ‎(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)‎ ‎(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)‎ ‎2．几何概型的计算 ‎(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(×)‎ ‎(5)(2018·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“‎3a－1＜‎0”‎发生的概率为.(√)‎ ‎[感悟·提升]‎ ‎1．一个区别　“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．‎ ‎2．一点提醒　几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量 ‎(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，如(3).‎ 学生用书第186页 考点一　与长度、角度有关的几何概型 ‎【例1】 (1)(2018·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.‎ ‎(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作 射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．‎ 解析　(1)由题意知m＞0，‎ 当m≤2时，满足|x|≤m的概率为＝＝，‎ 解得m＝(舍去)．‎ 当2＜m≤4时，所求概率为＝，∴m＝3.‎ ‎(2)∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，‎ 在Rt△ADB中，AD＝，∠B＝60°，‎ ‎∴BD＝＝1，∠BAD＝30°.‎ 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<‎1”‎，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．‎ 由几何概型的概率公式得P(N)＝＝.‎ 答案　(1)3　(2) 规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎ ‎【训练1】 (1)(2018·淄博二模)设P在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px ‎＋1＝0有实数根的概率为(　　)．‎ A. B. C. D. ‎(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，‎ 在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．‎ 解析　(1)方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，‎ 解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为＝.‎ ‎(2)因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.‎ 答案　(1)C　(2) 考点二　与面积有关的几何概型 ‎【例2】 (1)(2018·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)．‎ A．1－ B.－‎1 C．2－ D. ‎(2)(2018·北京卷)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　(1)依题意知，有信号的区域面积为×2＝，矩形面积为2，故无信号的概率 P＝＝1－.‎ ‎(2)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的 是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D.‎ 答案　(1)A　(2)D 规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.‎ ‎【训练2】 已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积 为××1＋××1＝，则所求概率为＝.‎ 答案　B 考点三　与体积有关的几何概型 ‎【例3】 在棱长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ 审题路线　画出正方体⇒找出以点O为中心且到O点的距离等于1的几何体(球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．‎ 解析　点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1‎ 为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－.‎ 答案　1－ 规律方法 很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．‎ ‎【训练3】 如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，在正方体内 随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________‎ 解析　当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，‎ 解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，‎ 所以所求概率P＝＝.‎ 答案　 ‎1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．‎ ‎2．转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 学生用书第187页 教你审题11——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求 ‎【典例】 (2018·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)．‎ A. B. C. D. ‎[审题]　一审条件：在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB；‎ 二审过程：如何确定△APB的最大边是AB？找出BP＝AB与AP＝AB的“临界点”；‎ 三审结论：要求，利用直角三角中的勾股定理找出AD与AB的关系式．‎ 解析　矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动过程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐渐减小，当P点到P1位置时，BA＝BP1，当P点到P2位置时，AB＝AP2，故点P在线段P1P2上时，△ABP中边AB最大，由已知事件发生的概率为可得P1P2＝CD.在Rt△BCP1中，BP＝CD2＋BC2＝AB2＋AD2＝AB2.‎ 即AD2＝AB2，所以＝.‎ 答案　D ‎[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的判断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”．‎ ‎(2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等知识综合考查，难度稍大．‎ ‎【自主体验】‎ 已知M：定点A(3,1)，在M内任取一点P，使得PA≤的概率等于________．‎ 解析　如图所示，区域M是一个边长为2的正方形，其面积为S＝22＝4；满足PA≤的点P在以点A(3,1)为圆心，为半径的圆内．如图，作出圆A，则扇形ABC的圆心角∠BAC＝，故扇形ABC的面积S1＝×π×()2＝，S△ABC＝S2＝×‎ AB×AC＝××＝1，所以阴影部分弓形的面积S3＝S1－S2＝－1.‎ 所以所求事件的概率为P＝＝＝.‎ 答案　 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，‎ 连接MN，则弦MN的长超过R的概率为 (　　)．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解析　如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝R，‎ 当点N不在半圆弧上时，MN＞R，故所求的概率P(A)＝＝.‎ ‎ 答案　D ‎2．(2018·湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．‎ 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)．‎ ‎　　A.－ B. C．1－ D. ‎ 解析　如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1＝，S扇形OCD＝，‎ ‎∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝－2＝1，‎ 所有阴影面积为π－2.故所求概率P＝＝1－.‎ ‎ 答案　C 二、填空题 ‎3．(2018·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC