【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第6节抛物线教案 11页

第六节　抛物线 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．‎ ‎(对应学生用书第141页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称 轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心 率 e＝1‎ 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R ‎|PF|＝x0＋ ‎|PF|＝－x0＋ ‎|PF|＝y0＋ ‎|PF|＝－y0＋ 焦半径(其中P(x0，y0))‎ ‎[知识拓展]　已知y2＝2px，过焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，l的倾斜角为θ，如图861，则 图861‎ ‎(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝；‎ ‎(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；‎ ‎(3)＋＝；‎ ‎(4)S△AOB＝；‎ ‎(5)|CD|＝2p，即通径，通径是过抛物线焦点弦中最短的弦．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)‎ ‎(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)‎ ‎(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)‎ A．y＝－1　　 B．y＝－2‎ C．x＝－1 D．x＝－2‎ A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]‎ ‎3．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)‎ A．　 B． C． D．0‎ B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]‎ ‎4．顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．‎ x2＝－8y　[设抛物线的方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8，所以抛物线方程是x2＝－8y.]‎ ‎5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．‎ ‎9　[设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，‎ ‎∴点M到y轴的距离为9.]‎ ‎(对应学生用书第142页)‎ 抛物线的定义及应用 ‎　(1)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4 ，则|QF|＝(　　)‎ A．　　　 B． C．3 D．2‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ ‎(1)C　(2)6　[(1)∵＝4 ，‎ ‎∴||＝4||，‎ ‎∴＝.‎ 如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴|QQ′|＝3.‎ 根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3.‎ ‎(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.‎ 由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.‎ ‎∵点M为FN的中点，PM∥OF，‎ ‎∴|MP|＝|FO|＝1.‎ 又|BP|＝|AO|＝2，‎ ‎∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]‎ ‎[规律方法]　应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.‎ (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．＋1‎ ‎(2)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. ‎ ‎【导学号：79140289】‎ ‎(1)A　(2)y2＝4x　[(1)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．‎ 过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.‎ ‎(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]‎ 抛物线的标准方程与几何性质 ‎　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)将y＝ax2化为x2＝y.‎ 当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.‎ 当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.‎ ‎∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.‎ ‎(2)设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎∵|AB|＝4，|DE|＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D.‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.]‎ ‎[规律方法]　1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.‎ (2)抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.‎ ‎2.研究抛物线的焦点坐标或准线方程，必须把抛物线化成标准方程，正确的求出p.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 (　　)‎ A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ ‎(2)若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎(1)B　(2)B　[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，‎ 所以|MF|＝2p，‎ 由抛物线定义知x＋＝2p，‎ 所以x＝p，所以y＝±p.‎ 又△MFO的面积为4，‎ 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．‎ 所以抛物线的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)由题意知，‎ 抛物线准线方程为x＝－.‎ 设M(a，b)，由抛物线的定义可知，‎ 点M到准线的距离为，‎ 所以a＝1，‎ 代入抛物线方程y2＝2x，‎ 解得b＝±，‎ 所以S△MFO＝××＝.]‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎◎角度1　直线与抛物线的交点问题 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎[解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P.‎ 又N为M关于点P的对称点，‎ 故N，‎ 故直线ON的方程为y＝x，‎ 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, ‎ 解得x1＝0，x2＝.因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．‎ ‎◎角度2　与抛物线弦长或中点有关的问题 ‎　(2017·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ ‎[解]　(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1，‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎[规律方法]　解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.‎ (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式.‎ (3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.‎ 提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.‎ ‎[跟踪训练]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积. ‎ ‎【导学号：79140290】‎ ‎[解]　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，‎ ‎∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.‎ 由得y2－8y－8m＝0，‎ Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，‎ ‎∴x1x2＝＝m2.‎ 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，‎ ‎∴m＝8或m＝0(舍)，‎ ‎∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|‎ ‎＝3＝24.‎