高二数学人教a必修5练习：1-2-1解三角形的实际应用举例word版含解析 10页

课时训练 3 解三角形的实际应用举例 一、测量中的距离问题 1.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的 倾斜角改为 30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( ) A.5 B.5 3 C.10 3 D.10 答案:D 解析:如图,在 Rt △ ABC 中,AC=10,∠ACB=60°. ∴AB=5 3 ,BC=5, 在 Rt △ ABD 中,∠ADB=30°,∴BD=15. ∴CD=BD-BC=10. 2.(2015 福建宁德五校联考,14)一艘船以 15 km/h 的速度向东航行,船在 A 处看到灯塔 B 在北偏东 60°处;行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到灯塔 B 在北偏东 15°处,这时船与灯塔的距离为 km. 答案:30 2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得 B=75°-30°=45°, 在 △ ABC 中,根据正弦定理得, 㔠 sin 㔠 sin∠㔠 ,即 60 2 2 㔠 1 2 ,∴BC=30 2 km, 即此时船与灯塔的距离为 30 2 km. 3.(2015 福建厦门高二期末,15)如图,某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°,一条笔直公路 AB,其中 B 在 A 城南偏东 40°,B 与 C 相距 31 千米.有一人从 B 出发沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此 时 C,D 之间的距离为 21 千米,则 A,C 之间的距离是 千米. 答案:24 解析:由已知得 CD=21,BC=31,BD=20, 在 △ BCD 中,由余弦定理得 cos∠BDC= 212+202 - 312 2×21×20 =- 1 7 . 设∠ADC=α,则 cos α= 1 7 ,sin α= 4 3 7 . 在 △ ACD 中,由正弦定理,得 AC= 21sin sin60 °=24. 二、测量中的高度与角度问题 4.如图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别是β,α(α<β),则 A 点距离 地面的高度 AB 等于( ) A. sinsin sin ( - ) B. sinsin cos ( - ) C. sincos sin ( - ) D. cossin cos ( - ) 答案:A 解析:在 △ ACD 中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得 AC= sin sin ( - ), ∴在 Rt △ ACB 中,AB=ACsin β= sinsin sin ( - ) . 5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部 的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 m C.10 3 m D.10 6 m 答案:B 解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°, ∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理知 㔠 sin∠㔠 㔠 sin∠㔠 , ∴AC= 㔠 · sin∠㔠 sin∠㔠 =20 3 (m), ∴在 Rt △ ABC 中,AB=AC·sin∠ACB=30(m). ∴旗杆的高度为 30 m. 6.当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前 往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 n mile C 处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方 向沿直线前往 B 处救援,则 sin θ的值等于( ) A. 21 7 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 7 14答案:D 解析:根据题目条件可作图如图: 在 △ ABC 中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠ CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700, ∴BC=10 7 . 再由正弦定理得 sin∠㔠 㔠 sin∠㔠 , ∴sin∠ACB= · sin∠㔠 㔠 = 20×sin120 ° 10 7 21 7 . 又 0°<∠ACB<90°, ∴cos∠ACB= 2 7 7 , ∴sin θ=sin(30°+∠ACB) =sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB = 1 2 × 2 7 7 + 3 2 × 21 7 5 7 14 . 7.某海岛周围 38 n mile 有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东 60°方向,航行 30 n mile 后 测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船 触礁的危险(填“有”或“无”). 答案:无 解析:由题意在 △ ABC 中,AB=30 n mile,∠BAC=30°, ∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得 BC= sin∠㔠 ·sin∠BAC= 30 sin15 °·sin 30°= 15 6 - 2 4 =15( 6 + 2 ). 在 Rt △ BDC 中,CD= 2 2 BC=15( 3 +1)>38. ∴无触礁的危险. 8.如图,在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有 一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2 海 里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ 其中 sin 26 26 , 0 ° < < 0 ° 且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为 AB=40 2 ,AC=10 13 ,∠BAC=θ,sin θ= 26 26 ,0°<θ<90°, 所以 cos θ= 1 - 26 26 2 5 26 26 . 由余弦定理得 BC = 2 + 㔠 2 - 2 · 㔠 · cos =10 5 ,所以该船的行驶速度为 v= 10 5 2 3 =15 5 (海里/小时). (2)设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在 △ ABC 中,由余弦定理得 cos∠ABC= 2+㔠2 - 㔠2 2 · 㔠 =( 40 2 ) 2+ ( 10 5 ) 2 -( 10 13 ) 2 2×40 2×10 5 3 10 10 , 所以 sin∠ABC= 1 - cos 2 ∠㔠 1 - 10 10 10 . 在 △ ABQ 中,由正弦定理得 AQ= sin∠㔠 sin ( 45 °- ∠㔠 ) 40 2× 10 10 2 2 ×2 10 10 =40. 因为 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt △ QPE 中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15× 5 5 =3 5 <7. 故该船会进入警戒水域. (建议用时:30 分钟) 1.如图,已知两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )的位置. A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° 答案:B 解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°. 又∵AC=BC, ∴∠A=∠CBA= 1 2 (180°-80°)=50°. ∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°, ∴∠ABD=60°-50°=10°. ∴灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°的位置. 2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B 两点(点 A,B 与树根部在同一直线上),从 A,B 两点分别 测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A,B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( ) A.(30+30 3 ) m B.(30+15 3 ) m C.(15+30 3 ) m D.(15+3 3 ) m 答案:A 解析:设树高为 h,则由题意得 3 h-h=60, ∴h= 60 3 - 1 =30( 3 +1)=(30 3 +30)(m). 3.一艘客船上午 9:30 在 A 处,测得灯塔 S 在它的北偏东 30°,之后它以 32 n mile/h 的速度继续沿正北 方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时测得船与灯塔 S 相距 8 2 n mile,则灯塔 S 在 B 处的( ) A.北偏东 75° B.东偏南 75° C.北偏东 75°或东偏南 75° D.以上方位都不对 答案:C 解析:根据题意画出示意图,如图, 由题意可知 AB=32× 1 2 =16, BS=8 2 ,∠A=30°. 在 △ ABS 中,由正弦定理得 sin sin ,sin S= sin 16sin30 ° 8 2 2 2 , ∴S=45°或 135°, ∴B=105°或 15°, 即灯塔 S 在 B 处的北偏东 75°或东偏南 75°. 4.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°方向,与灯塔 S 相距 20 n mile,随后货轮按北偏 西 30°的方向航行 3 h 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) A. 10 3 ( 6 + 2 ) n mile/h B. 10 3 ( 6 2 ) n mile/h C. 10 3 ( 6 + 3 ) n mile/h D. 10 3 ( 6 3 ) n mile/h 答案:B 解析:如图,设货轮的时速为 v,则在 △ AMS 中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ ASM=30°,SM=20,AM=3v. 由正弦定理得 3 sin30 ° 20 sin105 °, 即 v= 20 6sin105 ° = 10 3 ( 6 2 )(n mile/h). 5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二 辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离 d1 与第二辆车与第三辆车的距离 d2 之间的 关系为( ) A.d1>d2 B.d1=d2 C.d1