人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（九）2-1-1椭圆及其标准方程探究导学课型word版含答案 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(九) 椭圆及其标准方程 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.椭圆 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选 D.因为 a=5，点 P 到一个焦点的距离为 2，所以点 P 到另一个焦点的距离为 2× 5-2=8. 2.(2015·珠海高二检测)椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中 点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的 ( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 【解析】选 A.不妨设 F1(-3，0)，F2(3，0)，由条件知 P ，即|PF2|= ，由椭圆 定义知|PF1|+|PF2|=2a=4 ，|PF1|= ，|PF2|= ， 即|PF1|=7|PF2|. 3.已知椭圆过点 P 和点 Q ，则此椭圆的标准方程是 ( ) A. +x2=1 B. +y2=1 或 x2+ =1 C. +y2=1 D.以上都不对 【解析】选 A.设椭圆方程为：Ax2+By2=1(A>0，B>0)， 由题意得 解得 4.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( ) A.(0，+∞) B.(0，2) C.(1，+∞) D.(0，1) 【解析】选 D.先将方程 x2+ky2=2 变形为 + =1. 要使方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，需 >2， 即 00).且焦距为 6，则实数 m 的值为__________. 【解析】若椭圆的焦点在 x 轴上，则 a2=25，b2=m2， 因为 a2=b2+c2， 即 25=m2+9，所以 m2=16， 因为 m>0，所以 m=4. 若椭圆的焦点在 y 轴上， 则 a2=m2，b2=25， 由 a2=b2+c2， 所以 m2=25+9， 所以 m2=34，因为 m>0，所以 m= . 综上可得 m=4 或 m= . 答案：m=4 或 m= 【误区警示】忽视焦点位置，导致丢解 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中 x2 和 y2 项分母的大小，如果 x2 项的分母 大于 y2 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上；反之，焦点在 y 轴上.由于本题中 x2 和 y2 项分母 的大小不确定，因此需要进行分类讨论. 【补偿训练】椭圆 + =1 的焦距等于 2，则 m 的值是________. 【解析】当焦点在 x 轴上时，m-15=1，m=16；当焦点在 y 轴上时，15-m=1，m=14. 答案：16 或 14 7.(2015·双鸭山高二检测)已知 F1，F2 是椭圆 C： + =1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点， 且 ⊥ ，若△PF1F2 的面积为 9，则 b=__________. 【解析】因为 ⊥ ， 所以 PF1⊥PF2， 因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2， 所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2， 因此|PF1|·|PF2|=2b2. 由 = |PF1|·|PF2|=b2=9，所以 b=3. 答案：3 8.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 顶点 A(-4，0)和 C(4，0)，顶点 B 在椭圆 + =1 上，则 =____________. 【解题指南】利用正弦定理求解. 【解析】由题意知，A，C 为椭圆的两焦点， 则|AC|=8，|AB|+|BC|=10. 所以， = = = . 答案： 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆上一点 P(3，2)到两焦点的距离之和为 8. (2)椭圆两焦点间的距离为 16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15. 【解析】(1)①若焦点在 x 轴上， 可设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0). 由题意知 2a=8，所以 a=4， 又点 P(3，2)在椭圆上， 所以 + =1，得 b2= . 所以椭圆的标准方程为 + =1. ②若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为： + =1(a>b>0)， 因为 2a=8，所以 a=4. 又点 P(3，2)在椭圆上， 所以 + =1，得 b2=12. 所以椭圆的标准方程为 + =1. 由①②知椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. (2)由题意知，2c=16，2a=9+15=24， 所以 a=12，c=8， 所以 b2=80. 又焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上， 所以所求方程为 + =1 或 + =1. 10.已知圆 B：(x+1)2+y2=16 及点 A(1，0)，C 为圆 B 上任意一点，求 AC 的垂直平分线 l 与线 段 CB 的交点 P 的轨迹方程. 【解题指南】利用椭圆定义先判断 P 的轨迹是椭圆. 【解析】如图所示，连接 AP， 因为 l 垂直平分 AC，所以|AP|=|CP|， 所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4. 所以 P 点的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆. 因为 2a=4，2c=|AB|=2， 所以 a=2，c=1，b2=a2-c2=3. 所以点 P 的轨迹方程为 + =1. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1.(2015·长春高二检测)在△ABC 中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC 满足的条 件，就能得到动点 A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ①△ABC 周长为 10 C1：y2=25 ②△ABC 面积为 10 C2：x2+y2=4(y≠0) ③△ABC 中，∠A=90° C3： + =1(y≠0) 则满足条件①②③的点 A 轨迹方程按顺序分别是 ( ) A.C3，C1，C2 B.C2，C1，C3 C.C1，C3，C2 D.C3，C2，C1 【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状. 【解析】选 A.当△ABC 的周长为常数时，顶点 A 到点 B，C 的距离之和为常数，所以轨迹为 椭圆；当△ABC 的面积为常数时，顶点 A 到直线 BC 的距离为常数，所以轨迹为平行于 BC 的 两条直线；当△ABC 中∠A=90°时，轨迹是以线段 BC 为直径的圆，故选 A. 2.设α∈ ，方程 x2sinα+y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则α的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.由题意可知 < ， 所以 sinα>cosα>0， 又因为α∈ ，解得 <α< . 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3.(2015·南昌 高二检 测) 与椭 圆 9x2+4y2=36 有相 同焦点 ，且 b=2 的椭 圆方程 是 __________. 【解析】由 9x2+4y2=36，得 + =1， 所以 =9， =4，得 c1= ， 所以焦点坐标为(0， )，(0，- ). 因 为 所 求 椭 圆 与 9x2+4y2=36 有 相 同 焦 点 ， 设 方 程 为 + =1 ， 则 a2=b2+c2=(2 )2+( )2=25， 所以所求方程为 + =1. 答案： + =1 【一题多解】由 9x2+4y2=36，得 + =1， 设与 9x2+4y2=36 共焦点的椭圆的方程为 + =1. 由 4+k=(2 )2，得 k=16. 所以所求椭圆方程为 + =1. 答案： + =1 4.(2015·哈尔滨高二检测)已知椭圆 +y2=1 的焦点为 F1，F2，设 P(x0，y0)为椭圆上一点， 当∠F1PF2 为直角时，点 P 的横坐标 x0=__________. 【解析】由椭圆的方程为 +y2=1，得 c=2， 所以 F1(-2，0)，F2(2，0)， =(-2-x0，-y0)， =(2-x0，-y0). 因为∠F1PF2 为直角，所以 · =0， 即 + =4，① 又 + =1，② ①②联立消去 得 = ， 所以 x0=± . 答案：± 【延伸探究】若把条件“当∠F1PF2 为直角时”改为|PF1|= + ， 则∠F1PF2=__________. 【解析】由椭圆的方程为 +y2=1， 得 2a=2 ，2c=4，因为|PF1|+|PF2|=2a=2 ， 所以|PF2|= - ， 而|PF1|2+|PF2|2=( + )2+( - )2=16=|F1F2|2，所以∠F1PF2 为直角. 答案：90° 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 5.设椭圆 E： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两 点，满足|AF1|=2|F1B|，且|AB|=3，△ABF2 的周长为 12. (1)求|AF2|. (2)若 cos∠F1AF2=- ，求椭圆 E 的方程. 【解析】(1)|AF1|=2|F1B|，|AB|=3， 所以|AF1|=2，|F1B|=1. 因为 4a=12，所以 a=3， 所以|AF1|+|AF2|=6，所以|AF2|=4. (2)因为|AF1|=2，|AF2|=4，cos∠F1AF2=- ， 所以|F1F2|= =2 ， 所以 c= ，b2=a2-c2=3， 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 6.(2015·南京高二检测)设 F1，F2 分别是椭圆 +y2=1 的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0， -1). (1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求| |·| |的最大值. (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点，且 =λ ，求λ的值. 【解析】(1)因为椭圆的方程为 +y2=1， 所以 a=2，b=1，c= ， 即|F1F2|=2 ， 又因为|PF1|+|PF2|=2a=4， 所以|PF1|·|PF2|≤ = =4， 当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4， 即| |·| |的最大值为 4. (2)设 C(x0，y0)，B(0，-1)，F1(- ，0)， 由 =λ 得 x0= ，y0=- . 又 + =1，所以有λ2+6λ-7=0， 解得λ=-7 或λ=1，又 与 方向相反，故λ=1 舍去，λ=-7. 关闭 Word 文档返回原板块