高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.2.2 反证法 8页

2.2.2 反证法 明目标、知重点 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题． 1．定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证 明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已 知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 情境导学] 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友 一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问 王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而 这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法—— 反证法． 探究点一 反证法的概念 思考 1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？ 答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确 的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”) 矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法． 思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？ 答 (1)与原题中的条件矛盾； (2)与定义、公理、定理、公式等矛盾； (3)与假设矛盾． 思考 3 反证法主要适用于什么情形？ 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或 很少的几种情形． 探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例 1 已知直线 a，b 和平面α，如果 a⊄ α，b⊂α，且 a∥b，求证：a∥α. 证明 因为 a∥b， 所以经过直线 a，b 确定一个平面β. 因为 a⊄ α，而 a⊂β，所以α与β是两个不同的平面． 因为 b⊂α，且 b⊂β，所以α∩β＝b. 下面用反证法证明直线 a 与平面α没有公共点． 假设直线 a 与平面α有公共点 P，如图所示， 则 P∈α∩β＝b，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点， 这与 a∥b 矛盾．所以 a∥α. 反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法 极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直 接证明时，可考虑用反证法． 跟踪训练 1 如图，已知 a∥b，a∩平面α＝A. 求证：直线 b 与平面α必相交． 证明 假设 b 与平面α不相交，即 b⊂α或 b∥α. ①若 b⊂α，因为 b∥a，a⊄ α，所以 a∥α， 这与 a∩α＝A 相矛盾； ②如图所示，如果 b∥α， 则 a，b 确定平面β. 显然α与β相交， 设α∩β＝c，因为 b∥α， 所以 b∥c.又 a∥b， 从而 a∥c，且 a⊄ α，c⊂α， 则 a∥α，这与 a∩α＝A 相矛盾． 由①②知，假设不成立， 故直线 b 与平面α必相交． 探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证： 2不是有理数． 证明 假设 2是有理数．于是， 存在互质的正整数 m，n， 使得 2＝m n ，从而有 m＝ 2n，因此 m2＝2n2， 所以 m 为偶数．于是可设 m＝2k(k 是正整数)，从而有 4k2＝2n2，即 n2＝2k2， 所以 n 也为偶数．这与 m，n 互质矛盾． 由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数． 反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时， 由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法． 跟踪训练 2 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a， b， c不成等 差数列． 证明 假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，∴a＋c＋2 ac＝4 ac， ∴( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列． 探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明 例 3 若函数 f(x)在区间 a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0 在区间 a，b]上至多有一个实 根． 证明 假设方程 f(x)＝0 在区间 a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为 α≠β ，不妨设α<β，又因为函数 f(x)在 a，b]上是增函数，所以 f(α)0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a、b、c 中至少有一个大于 0. 1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B 2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应先假设这个三角形中( ) A．有一个内角小于 60° B．每一个内角都小于 60° C．有一个内角大于 60° D．每一个内角都大于 60° 答案 B 3．“ab C．a＝b D．a＝b 或 a>b 答案 D 4．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( ) A．a 不垂直于 c B．a，b 都不垂直于 c C．a⊥b D．a 与 b 相交 答案 D 5．已知 a≠0，证明：关于 x 的方程 ax＝b 有且只有一个根． 证明 由于 a≠0，因此方程至少有一个根 x＝b a . 如果方程不止一个根，不妨设 x1，x2 是它的两个不同的根，即 ax1＝b， ① ax2＝b. ② ①－②，得 a(x1－x2)＝0. 因为 x1≠x2，所以 x1－x2≠0，所以应有 a＝0，这与已知矛盾，故假设错误． 所以，当 a≠0 时，方程 ax＝b 有且只有一个根． 呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤是什么？ (1)假设命题结论的反面是正确的；(反设) (2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事 实矛盾；(推缪) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？ 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反 证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定 理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的. 一、基础过关 1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( ) ①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 答案 D 2．否定：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A．a，b，c 都是偶数 B．a，b，c 都是奇数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 答案 D 解析 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：3 个都是奇数，1 个偶数 2 个奇数，2 个偶数 1 个奇数，3 个都是偶数，所以否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a， b，c”中都是奇数或至少有两个偶数． 3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay 或 x0，x1≠1 且 xn＋1＝xn·x2 n＋3 3x2 n＋1 (n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数 n 都满足 xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A．对任意的正整数 n，有 xn＝xn＋1 B．存在正整数 n，使 xn＝xn＋1 C．存在正整数 n，使 xn≥xn＋1 D．存在正整数 n，使 xn≤xn＋1 答案 D 解析 “任意”的反语是“存在一个”． 9．设 a，b，c 都是正数，则三个数 a＋1 b ，b＋1 c ，c＋1 a ( ) A．都大于 2 B．至少有一个大于 2 C．至少有一个不小于 2 D．至少有一个不大于 2 答案 C 解析 假设 a＋1 b <2，b＋1 c <2，c＋1 a <2， 则(a＋1 b )＋(b＋1 c )＋(c＋1 a )<6. 又(a＋1 b )＋(b＋1 c )＋(c＋1 a )＝(a＋1 a )＋(b＋1 b )＋(c＋1 c )≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等 式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于 2. 10．若下列两个方程 x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是________． 答案 a≤－2 或 a≥－1 解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1 或 a>1 3 .Δ2＝ (2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. 证明 用反证法： 假设 a，b，c 不都是正数，由 abc>0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设 a<0，b<0，c>0，则由 a＋b＋c>0， 可得 c>－(a＋b)， 又 a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)， ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab， 即 ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2， ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即 ab＋bc＋ca<0， 这与已知 ab＋bc＋ca>0 矛盾，所以假设不成立． 因此 a>0，b>0，c>0 成立． 12．已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能都大于1 4 . 证明 假设三个式子同时大于1 4 ， 即(1－a)b>1 4 ，(1－b)c>1 4 ，(1－c)a>1 4 ， 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>1 43，① 又因为 0