高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换 word版含解析 4页

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2021-06-16 发布

高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换 word版含解析

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课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换一、选择题 1．cos2π 8 －1 2 的值为( ) A．1 B.1 2 C. 2 2 D. 2 4 答案：D 2．已知 sin π 4 －x ＝3 5 ，则 sin 2x 的值为( ) A.19 25 B.16 25 C.14 25 D. 7 25 答案：D 3．设 a＝1 2cos 6°－ 3 2 sin 6°，b＝ 2tan 13° 1＋tan213° ，c＝ 1－cos 50° 2 ，则有( ) A．a>b>c B．a0，|φ|<π 2 的最小正周期为π，且 f(－x)＝f(x)，则( ) A．f(x)在 0，π 2 上单调递减 B．f(x)在 π 4 ，3π 4 上单调递减 C．f(x)在 0，π 2 上单调递增 D．f(x)在 π 4 ，3π 4 上单调递增答案：A 二、填空题 6．若 cos 2θ＋cos θ＝0，则 sin 2θ＋sin θ＝________. 答案：0 或± 3 7．等腰三角形的顶角的正弦值为 5 13 ，则它的底角的余弦值为________．答案： 26 26 或5 26 26 8．在△ABC 中，若 cos A＝1 3 ，则 sin2B＋C 2 ＋cos 2A 等于________．答案：－1 9 三、解答题 9．若π<α<3π 2 ，化简 1＋sin α 1＋cos α－ 1－cos α ＋ 1－sin α 1＋cos α＋ 1－cos α . 解：∵π<α<3π 2 ，∴π 2<α 2<3π 4 ， ∴cosα 2<0，sinα 2>0. ∴原式＝ sinα 2 ＋cosα 2 2 2|cosα 2|－ 2|sinα 2|＋ sinα 2 －cosα 2 2 2|cosα 2|＋ 2|sinα 2| ＝ sinα 2 ＋cosα 2 2 － 2 sinα 2 ＋cosα 2 ＋ sinα 2 －cosα 2 2 2 sinα 2 －cosα 2 ＝－ sinα 2 ＋cosα 2 2 ＋ sinα 2 －cosα 2 2 ＝－ 2cosα 2. 10．点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α 为何值时，四边形 ABTP 面积最大？解：如图所示， ∵AB 为直径， ∴∠APB＝90°，AB＝1， PA＝cos α，PB＝sin α. 又 PT 切圆于 P 点，∠TPB＝∠PAB＝α， ∴S 四边形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB ＝1 2PA·PB＋1 2PT·PB·sin α ＝1 2sin αcos α＋1 2sin2α ＝1 4sin 2α＋1 4(1－cos 2α) ＝1 4(sin 2α－cos 2α)＋1 4 ＝ 2 4 sin(2α－π 4)＋1 4. ∵0<α<π 2 ，－π 4<2α－π 4<3 4π， ∴当 2α－π 4 ＝π 2 ，即α＝3 8π时，S 四边形 ABTP 最大． 11．设函数 f(x)＝sin2ωx＋2 3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈ 1 2 ，1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点 π 4 ，0 ，求函数 f(x)的值域．解：(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sin ωx·cos ωx＋λ ＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ ＝2sin 2ωx－π 6 ＋λ. 由直线 x＝π是 y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin 2ωπ－π 6 ＝±1. 所以 2ωπ－π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，即ω＝k 2 ＋1 3(k∈Z)．又ω∈ 1 2 ，1 ，k∈Z，所以 k＝1，故ω＝5 6. 所以 f(x)的最小正周期是6π 5 . (2)由 y＝f(x)的图象过点 π 4 ，0 ，得 f π 4 ＝0，即λ＝－2sin 5 6 ×π 2 －π 6 ＝－2sinπ 4 ＝－ 2，即λ＝－ 2. 故 f(x)＝2sin 5 3 x－π 6 － 2，函数 f(x)的值域为[－2－ 2，2－ 2 ]．

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