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- 2021-06-16 发布
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必备一 主干知识回扣
技法一 函数性质
1.函数的单调性
(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2)),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.
(2)证明方法:定义法、导数法.
2.函数的奇偶性
(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.
(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
3.函数零点
(1)对于函数y=f(x),x∈D,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(x∈D)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.
函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.
(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.这一定理一般用来证明函数有零点,其逆命题是假命题.
技法二 导数
1.导数的几何意义:f'(x0)表示曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.
2.常见的导数公式:(xn)'=nxn-1;(ax)'=axlna(a>0且a≠1);(ex)'=ex;(logax)'=1xlna(a>0且a≠1);(lnx)'=1x;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.
3.导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x);
f(x)g(x)'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
4.导数与函数的单调性:f'(x)>0⇒函数f(x)在相应区间上为单调增函数;
f'(x)<0⇒函数f(x)在相应区间上为单调减函数.
5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.
(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.
技法三 基本初等函数
1.指数的概念及运算性质:(1)(na)n=a(n∈N*);当n为奇数时,nan=a;当n为偶数时,nan=|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:amn=nam;a-mn=1amn=1nam(a>0,m、n∈N*,且n>1).
2.对数的概念及运算性质:(1)ab=N⇔logaN=b(a>0且a≠1);
(2)对数的运算法则:loga(M·N)=logaM+logaN;logaMN=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(a>0且a≠1);
(3)换底公式:logaN=logbNlogba(a>0且a≠1,b>0且b≠1).
3.指数函数的定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数;
对数函数的定义:一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数;
幂函数的定义:一般地,形如y=xa的函数叫做幂函数.
4.指数函数、对数函数的图象和性质:
指数函数
对数函数
01
01
图象
共同
性质
定义域:R;值域:(0,+∞);
图象过定点(0,1)
定义域:(0,+∞);值域:R;
图象过定点(1,0)
不同
性质
在(-∞,+∞)上是单调增函数
在(-∞,+∞)上是单调减函数
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是增函数
技法四 三角函数
1.任意角的三角函数的定义:sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.
2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tanα=sinαcosα.
3.诱导公式:k·π2±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.
4.三角函数的图象和性质:
三角
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
xx∈R,
x≠π2+kπ,k∈Z
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ,0),k∈Z
kπ+π2,0,k∈Z
kπ2,0,k∈Z
对称轴
x=kπ+π2,k∈Z
x=kπ,k∈Z
没有对称轴
周期性
2π
2π
π
单调
增区间
2kπ-π2,
2kπ+π2,k∈Z
[2kπ-π,2kπ],k∈Z
kπ-π2,
kπ+π2,k∈Z
单调
减区间
2kπ+π2,
[2kπ,2kπ+π],k∈Z
无
2kπ+3π2,k∈Z
特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.
(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.
(3)三角函数的周期:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)都可以利用周期公式T=2πω求解;y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)利用周期公式T=πω求解.
y=|Asin(ωx+φ)|(A>0,ω>0)、y=|Acos(ωx+φ)|(A>0,ω>0)和y=|Atan(ωx+φ)|(A>0,ω>0)的周期都是T=πω;
y=|Asin(ωx+φ)+b|(A>0,ω>0,b≠0)的周期公式是T=2πω.
(4)奇偶性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ+π2,k∈Z.
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ+π2,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ,k∈Z.
(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).
5.三角恒等变换:
(1)两角和与差的三角函数:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;;
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ.
(2)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tanα1-tan2α.
(3)降幂公式:sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2.
6.解三角形:
(1)正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R;
S△ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB.
(2)余弦定理:cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
技法五 平面向量
1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线⇔存在唯一的实数λ,使得b=λa.
(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1、e2称为基底.
3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角.注意:夹角的范围是[0,π];作图时两向量一定要共起点.
(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cosθ.
注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.
技法六 数列
1.等差数列与等比数列:
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
an+1an=q(n∈N*,q为常数)
通项公式
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m,n∈N*,且n>m)
an=a1qn-1=amqn-m(m,n∈N*,且n>m)
前n项和公式
Sn=n(a1+an)2
=na1+n(n-1)2d
Sn=na1,q=1a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,q≠1
常
用
性
质
若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则
am+an=ap+aq
am·an=ap·aq
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…(k∈N*)
是公差为k2d的等差数列
是公比为qk的等比数列(Sk≠0)
证明{an}成等差(比)数列的方法
定义法和等差中项法
定义法和等比中项法
2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.
3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.
技法七 不等式
1.不等式的重要性质:①若a0,则1a>1b,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变;②如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
即若a,b>0,则a+b2≥ab(当且仅当a=b时,取等号).
基本变形:①a+b≥2ab;a+b22≥ab;
②若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,a2+b22≥a+b22.
(2)基本应用:求函数最值
注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积最大.
已知a,b为正数.当ab=p(常数)时,a+b≥2p,当且仅当a=b=p时,a+b取得最小值2p;
当a+b=s(常数)时,ab≤s24,当且仅当a=b=s2时,ab取得最大值s24.
技法八 直线与圆
1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2;
(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:d=|Ax0+By0+C|A2+B2;
(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离公式:d=|C1-C2|A2+B2.
2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把一般方程配方得x+D22+y+E22=D2+E2-4F4(D2+E2-4F>0).
(2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若d>r,则相离;若d=r,则相切;若dr1+r2;☉C1与☉C2相外切⇔d=r1+r2;☉C1与☉C2相交⇔|r1-r2||F1F2|).
(2)第二定义:平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形
范围
x∈[-a,a],y∈[-b,b]
x∈[-b,b],y∈[-a,a]
对称性
关于坐标轴对称、关于坐标原点对称
顶点、
长轴长、短轴长
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b),
长轴长:A1A2=2a,
短轴长:B1B2=2b
A1(0,a),A2(0,-a),
B1(-b,0),B2(b,0),
长轴长:A1A2=2a,
短轴长:B1B2=2b
离心率
焦距与长轴长的比e=ca
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
准线
x=±a2c
y=±a2c
与坐标系
无关的量、式
a2-b2=c2
技法十 空间直线与平面的位置关系
1.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线平行,符号语言:a∥b,b∥c⇒a∥c.
2.直线和平面平行:(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(2)性质定理:若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
3.直线和平面垂直:(1)判定定理:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,符号表示为:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=A⇒a⊥α.
(2)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示为:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
4.平面与平面平行:(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示:a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β.
(2)性质:①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面;
②性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
5.平面与平面垂直:(1)判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,符号表示为:a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.
(2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为:α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂α⇒a⊥β.
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