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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习苏教版(理)三角函数的图象与性质教案(江苏专用)

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第25课 三角函数的图象与性质 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 正弦函数、余弦函数、‎ 正切函数的图象与性质 ‎√‎ ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).‎ 余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).‎ ‎2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 单调性 递增区间:‎ k∈Z,‎ 递减区间:‎ 递增区间:‎ ‎[2kπ-π,2kπ]‎ k∈Z,‎ 递减区间:‎ ‎[2kπ,2kπ+π]‎ 递增区间 ‎(k∈Z)‎ k∈Z k∈Z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 ‎(kπ,0)k∈Z 对称中心 k∈Z 对称中心 k∈Z 对称轴 x=kπ+(k∈Z)‎ 对称轴 x=kπ(k∈Z)‎ 周期性 ‎2π ‎2π π ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=acos x的值域为[-a,a].(  )‎ ‎(2)函数y=sin x的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.(  )‎ ‎(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(  )‎ ‎(4)y=sin |x|是周期函数.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.函数y=tan 2x的定义域是________.‎  [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,‎ ‎∴y=tan 2x的定义域为.]‎ ‎3.(教材改编)函数f(x)=4-2cos x的最小值是________,取得最小值时,x的取值集合为________.‎ ‎2 {x|x=6kπ,k∈Z} [f(x)min=4-2=2,此时,x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}.]‎ ‎4.函数f(x)=cos的图象关于________.(填序号)‎ ‎①原点对称;       ②y轴对称;‎ ‎③直线x=对称; ④直线x=-对称.‎ ‎① [函数f(x)=cos=-sin 2x是奇函数,则图象关于原点对称.]‎ ‎5.函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是________.‎  [z=x+,函数y=sin z的单调递增区间为(k∈Z),由2kπ-≤x+≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ+,而x∈[-2π,2π],故其单调递增区间是.]‎ 三角函数的定义域与值域 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅱ改编)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为________.‎ ‎(2)函数y=lg(sin 2x)+的定义域为________.‎ ‎(1)5 (2)∪ [(1)∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x ‎=1-2sin2x+6sin x=-22+,‎ 又sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,f(x)取得最大值5.‎ ‎(2)由得 ‎∴-3≤x<-或0<x<,‎ ‎∴函数y=lg(sin 2x)+的定义域为∪.]‎ ‎[规律方法] 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.‎ ‎2.求三角函数最值或值域的常用方法 ‎(1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.‎ ‎(2)化一法:把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.‎ ‎(3)换元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x换成t,转化为二次函数求解.‎ ‎[变式训练1] (1)已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是________.‎ ‎(2)求函数y=cos2x+sin x的最大值与最小值. 【导学号:62172138】‎ ‎(1)3 [∵x∈,∴cos x∈,故y=2cos x的值域为[-2,1],‎ ‎∴b-a=3.]‎ ‎(2)令t=sin x,∵|x|≤,∴t∈,‎ ‎∴y=-t2+t+1=-2+,‎ ‎∴当t=时,ymax=,当t=-时,ymin=,‎ ‎∴函数y=cos2x+sin x的最大值为,最小值为.‎ 三角函数的单调性 ‎ (1)(2017·苏州模拟)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.‎ ‎(2)函数f(x)=sin的单调减区间为________.‎ ‎(1) (2)(k∈Z) [(1)由<x<π得ω+<ωx+<πω+,由题意知⊆,‎ 所以解得≤ω≤.‎ ‎(2)由已知函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间即可.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故所求函数的单调减区间为(k∈Z).]‎ ‎[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法 ‎(1)求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.‎ ‎(2)求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错.‎ ‎2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.‎ ‎[变式训练2] (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.‎ ‎(2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________.‎ ‎(1)(k∈Z) (2) [(1)由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),‎ 得-<x<+(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,‎ ‎∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx是增函数;‎ 当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx是减函数.‎ 由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,‎ 在上单调递减知,=,∴ω=.]‎ 三角函数的奇偶性、‎ 周期性、对称性 角度1 奇偶性与周期性的判断 ‎ (1)在函数:①y=cos|2x|;②y=|cos x|;③y=cos2x+;④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为________.(填序号)‎ ‎(2)函数y=1-2sin2是________函数.(填奇偶性)‎ ‎(1)①②③ (2)奇 [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π.‎ ‎②由图象知,函数的周期T=π.‎ ‎③T=π.‎ ‎④T=.‎ 综上可知,最小正周期为π的所有函数为①②③.‎ ‎(2)y=1-2sin2=cos 2=-sin 2x,所以f(x)是奇函数.]‎ 角度2 求三角函数的对称轴、对称中心 ‎ 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且对任意x∈R,都有f(x)≤f成立,则下列是f(x)图象的一个对称中心的坐标是________.(填序号) 【导学号:62172139】‎ ‎①;②;③;④.‎ ‎① [由f(x)=sin (ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,‎ 即×+φ=+2kπ(k∈Z),‎ ‎∴φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,‎ 得φ=,故f(x)=sin.‎ 令x+=kπ(k∈Z),‎ 得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),当k=0时,f(x)图象的一个对称中心的坐标为.]‎ 角度3 三角函数对称性的应用 ‎ (1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为________.‎ ‎(2)已知函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=对称,则实数a的值为________.‎ ‎(1) (2)- [(1)由题意得3cos ‎=3cos=3cos=0,‎ ‎∴+φ=kπ+,k∈Z,‎ ‎∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.‎ ‎(2)由x=是f(x)图象的对称轴,‎ 可得f(0)=f,‎ 即sin 0+acos 0=sin+acos,‎ 解得a=-.]‎ ‎[规律方法] 1.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.‎ ‎2.求三角函数周期的方法:‎ ‎(1)利用周期函数的定义.‎ ‎(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.‎ ‎(3)借助函数的图象.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再用换元法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t的性质.‎ ‎2.求三角函数值域(最值)的常用方法:‎ ‎(1)将函数变形化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).‎ ‎(2)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题.‎ ‎3.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.‎ ‎2.求y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调区间,要注意ω的正负,只有当ω>0时,才能将“ωx+φ”整体代入相应单调区间.‎ ‎3.利用换元法求三角函数最值时,注意cos x(或sin x)的有界性.‎ ‎4.正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形且最值点在对称轴上;正切函数的图象只是中心对称图形.‎ 课时分层训练(二十五)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、填空题 ‎1.函数y=的定义域为________.‎ (k∈Z) [由cos x-≥0,得cos x≥,∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.]‎ ‎2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f=________.‎ ‎1 [由题设知=π,所以ω=2,f(x)=sin,所以f=sin ‎=sin =1.]‎ ‎3.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是________. ‎ ‎【导学号:62172140】‎ ,k∈Z [由2x+=kπ(k∈Z)得,x=-(k∈Z),‎ ‎∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是,k∈Z.]‎ ‎4.函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是________.‎ (k∈Z) [由f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,2kπ+≤2x≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).]‎ ‎5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有f=f,则f的值为________.‎ ‎2或-2 [∵f=f,‎ ‎∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴,‎ ‎∴f=±2.]‎ ‎6.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________.(填序号) 【导学号:62172141】‎ ‎①y=cos ;‎ ‎②y=sin ;‎ ‎③y=sin 2x+cos 2x;‎ ‎④y=sin x+cos x.‎ ‎① [y=cos =-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故①正确;‎ y=sin =cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故②不正确;‎ ‎③,④均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故③,④不正确.]‎ ‎7.若函数y=cos(ω∈N+)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________.‎ ‎2 [由题意知+=kπ+(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N+,∴ωmin=2.]‎ ‎8.若函数f(x)=sin-cos ωx(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则下列是f(x)的一个单调递增区间的是________.(填序号)‎ ‎①;②;③;④.‎ ‎① [依题意得f(x)=sin ωx-cos ωx=sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为,于是有T==2×=π,ω=2,f(x)=sin.当2kπ-≤2x-≤2kπ+,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z时,f(x)=sin单调递增.因此结合各选项知f(x)=sin的一个单调递增区间为.]‎ ‎9.函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是________.‎ ‎[0,1] [因为y=cos 2x+sin2x ‎=1-2sin2x+sin2x ‎=1-sin2x.‎ 又sin2x∈[0,1],所以1-sin2x∈[0,1].‎ 故y∈[0,1].]‎ ‎10.(2017·如皋中学高三第一次月考)已知函数f(x)=sin x,g(x)=sin,直线x=m与f(x)、g(x)的图象分别交于M、N两点,则MN 的最大值是________.‎  [∵g(x)=sin=cos x,‎ 由题意可知MN=|sin x-cos x|=.‎ ‎∵x∈R,∴|f(x)-g(x)|∈[0,].‎ 故M,N的距离的最大值为.]‎ 二、解答题 ‎11.(2016·北京高考)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx ‎=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,‎ 所以f(x)的最小正周期T==.‎ 依题意,得=π,解得ω=1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin.‎ 函数y=sin x的单调递增区间为(k∈Z).‎ 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎12.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号:62172142】‎ ‎[解] (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin x·cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T==π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin+1.‎ 当x∈时,2x+∈,由正弦函数y=sin x在上的图象知,当2x+=,即x=时,f(x)取最大值+1;‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取最小值0.‎ 综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是________.‎  [由题意cos =sin,‎ 即sin=,+φ=kπ+(-1)k·(k∈Z).因为0≤φ<π,所以φ=.]‎ ‎2.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是________.‎  [依题意得ω=2,所以f(x)=3sin.‎ 因为x∈,所以2x-∈,‎ 所以sin∈,‎ 所以f(x)∈.]‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.‎ ‎[解] ∵f(x)的最小正周期为π,则T==π,∴ω=2,‎ ‎∴f(x)=sin(2x+φ).‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),‎ ‎∴sin(-2x+φ)=sin(2x+φ),‎ 将上式展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 由已知上式对∀x∈R都成立,‎ ‎∴cos φ=0.∵0<φ<,∴φ=.‎ ‎(2)∵f(x)的图象过点时,sin=,‎ 即sin=.‎ 又∵0<φ<,∴<+φ<π,‎ ‎∴+φ=,φ=,‎ ‎∴f(x)=sin.‎ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎4.设函数f(x)=sin2ωx+2sin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x ‎=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)的值域.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+sin 2ωx+λ=2sin+λ,‎ 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=±1.‎ 所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z).‎ 又ω∈,k∈Z,所以ω=.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y=f(x) 的图象过点,‎ 得f=0,‎ 即λ=-2sin=-2sin=-,即λ=-.‎ 故f(x)=2sin-,函数f(x)的值域为[-2-,2-].‎