【数学】2019届一轮复习北师大版理科专题探究课二三角函数与解三角形问题的热点题型学案 11页

高考导航　1.三角函数与解三角形是高考的热点题型，从近五年的高考试题来看，呈现较强的规律性，每年的题量和分值要么三个小题15分，要么一个小题一个大题17分，间隔出现；2.该部分常考查的内容有：(1)三角函数的图像与性质；‎ ‎(2)三角恒等变换与诱导公式；(3)利用正弦定理和余弦定理解三角形；3.在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.‎ 热点一　解三角形(教材VS高考)‎ 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.‎ ‎【例1】 (满分12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.‎ 教材探源　本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.‎ 满分解答　(1)因为△ABC面积S＝，‎ 且S＝bcsin A，1分　(得分点1)‎ 所以＝bcsin A，‎ 所以a2＝bcsin2A.2分　(得分点2)‎ 由正弦定理得sin2A＝sin Bsin Csin2A，‎ ‎4分　(得分点3)‎ 因为sin A≠0，所以sin Bsin C＝.‎ ‎5分　(得分点4)‎ ‎(2)由(1)得sin Bsin C＝，cos Bcos C＝.‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)‎ ‎＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，7分　(得分点5)‎ 又A∈(0，π)，所以A＝，sin A＝，cos A＝，‎ ‎8分　(得分点6)‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9，　①9分　(得分点7)‎ 由正弦定理得b＝·sin B，c＝·sin C，‎ 所以bc＝·sin Bsin C＝8，　②‎ ‎10分　(得分点8)‎ 由①②得：b＋c＝，11分　(得分点9)‎ 所以a＋b＋c＝3＋，即△ABC周长为3＋.‎ ‎12分　(得分点10)‎ ‎　‎ ‎❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.‎ ‎❷得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.‎ ‎❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).‎ ‎ 利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.‎ 第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.‎ 第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.‎ 第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.‎ ‎【训练1】 (2018·西安测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝sin Asin B.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)(一题多解)若c＝2，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积S的值.‎ 解　(1)由已知得sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理可得cos C＝＝－.‎ ‎∵0b＝，∴a＋c∈(，2].‎ 即a＋c的取值范围是(，2].‎ 探究提高　向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎【训练3】 已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，B为锐角且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.‎ 解　(1)∵m∥n，‎ ‎∴2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.‎ 又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，‎ ‎∴2B＝，∴B＝.‎ ‎(2)∵B＝，b＝2，‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得a2＋c2－ac－4＝0.‎ 又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤，‎ 当且仅当a＝c＝2时等号成立，‎ 即S△ABC的最大值为.‎ ‎1.(2017·昆明诊断)函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上最大值和最小值.‎ 解　(1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3.‎ 当y0＝3时，sin＝1，‎ 由题干图像可得2x0＋＝2π＋，‎ 解得x0＝.‎ ‎(2)因为x∈，‎ 所以2x＋∈.‎ 于是：当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎2.(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2).‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值.‎ 解　(1)由asin A＝4bsin B及＝，得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得cos A＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A ‎＝×－×＝－.‎ ‎3.(2018·湖南湘中名校联考)已知函数f(x)＝cos x(cos x＋sin x).‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC的周长.‎ 解　(1)f(x)＝cos x(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋sin.‎ 当sin＝－1时，f(x)取得最小值－.‎ ‎(2)f(C)＝＋sin＝1，∴sin＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，2C＋∈，∴2C＋＝，∴C＝.‎ ‎∵S△ABC＝absin C＝，∴ab＝3.‎ 又(a＋b)2－2abcos ＝7＋2ab，‎ ‎∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋，‎ 故△ABC的周长为4＋.‎ ‎4.(2017·合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝(cos C，cos A)，且n·m＝bcos B.‎ ‎(1)求角B的值；‎ ‎(2)若cos＝sin A，且|m|＝，求△ABC的面积.‎ 解　(1)由m·n＝bcos B，得cos C＋cos A＝bcos B，‎ sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，‎ 即sin(A＋C)＝2sin Bcos B，sin B＝2sin Bcos B，‎ ‎∵0