【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第9节函数与方程学案 8页

第九节　函数与方程 ‎[最新考纲]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．‎ ‎1．函数的零点 ‎(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎(3)零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．‎ ‎(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系 Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a＞0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 有关函数零点的3个结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)‎ ‎(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－‎4ac＜0时没有零点．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎124.4‎ ‎33‎ ‎－74‎ ‎24.5‎ ‎－36.7‎ ‎－123.6‎ 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)‎ A．2个　　　 B．3个　　　‎ C．4个　　　 D．5个 B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]‎ ‎2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) ‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ C　[由题意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，‎ f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，‎ f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，‎ ‎∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]‎ ‎3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．‎ ‎1　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]‎ ‎4．函数f(x)＝x－x的零点个数为________．‎ ‎1　[作函数y1＝x和y2＝x的图像如图所示．‎ 由图像知函数f(x)有1个零点．]‎ 考点1　函数零点所在区间的判定 ‎　判断函数零点所在区间的方法 ‎(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．‎ ‎(2)零点存在性定理．‎ ‎(3)数形结合法，画出相应函数图像，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断．‎ ‎　1.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ B　[由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]‎ ‎2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)‎ A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，‎ 由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；‎ 又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，‎ 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________.‎ ‎5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且 f ＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.]‎ ‎　(1)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．‎ 考点2　函数零点个数的判断 ‎　函数零点个数的讨论，基本解法有 ‎(1)直接法，令f(x)＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．‎ ‎(2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．‎ ‎(3)图像法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数．‎ ‎　(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎(2)函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎(1)B　(2)D　(3)C　[(1)由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.‎ ‎(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.‎ ‎(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．‎ 当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．‎ 根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]‎ ‎　(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图像在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(2)图像法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．‎ ‎　1.函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ B　[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，‎ 可得|log0.5x|＝x.‎ 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x.‎ 在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．‎ ‎3　[依题意得由此解得 由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，‎ 该方程等价于 ①‎ 或 ②‎ 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.]‎ 考点3　函数零点的应用 ‎　根据函数零点的情况求参数的3种常用方法 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解．‎ ‎　根据函数零点个数求参数 ‎　已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(0,1)∪(9，＋∞)　[设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图像如图所示．‎ 由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，‎ 所以 有两组不同解，‎ 消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，‎ 所以Δ＝(3－a)2－‎4a＞0，即a2－‎10a＋9＞0，‎ 解得a＜1或a＞9.‎ 又由图像得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9.]‎ ‎　由函数的零点个数求参数的值或范围的策略 已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．‎ ‎　根据函数有无零点求参数 ‎　已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是________．‎ ‎(－∞，0]∪(1，＋∞)　[函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图像(图略)．‎ 观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．]‎ ‎　函数有无零点问题⇔函数图像与x轴有无公共点问题．‎ ‎　根据零点的范围求参数 ‎　若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(‎2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．‎ 　[依题意，结合函数f(x)的图像分析可知m需满足 即 解得＜m＜.]‎ ‎　此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．‎ ‎　1.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,3)　　　 B．(1,2)　　　‎ C．(0,3)　　　 D．(0,2)‎ C　[因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.]‎ ‎2．方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．‎ ‎1　[若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，因为x＋2x≥1，故a的最小值为1.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(－1,0)　[关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y2＝k的图像有三个不同的交点，作出函数的图像如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．]‎