福建省厦门市2020届高三第一次质量检查（一模考试）数学（文）试题 Word版含解析 26页

www.ks5u.com 厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查 数学（文科）试题 满分150分考试时间120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将答题卡交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式化简集合，再进行交集运算，即可得答案；‎ ‎【详解】或，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.设，则z的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的概念，即可得答案；‎ - 26 -‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知是双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件列出关系式，求解，然后得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【详解】解：由已知为双曲线的一个焦点可得，，即，‎ 所以渐近线方程为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎4.通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：‎ 男 女 总计 喜欢 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不喜欢 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 已知 - 26 -‎ 附表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 则以下结论正确的是（ ）‎ A. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”‎ B. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接将数据代入卡方公式中计算，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验思想，考查考数据处理能力，属于基础题.‎ ‎5.设x，y满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件所表示的可行域，当直线过点时，取最大值.‎ ‎【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，则，‎ 当直线过点时，直线在轴上的截距达到最小，即达到最大值，‎ - 26 -‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划最值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用.‎ ‎6.已知为第三象限角，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得为第一象限角，再对两边平方可得，最后利用同角三角函数基本关系，即可得答案；‎ ‎【详解】，为第三象限角，‎ ‎，，‎ 为第一象限角，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：D - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据条件缩小角度范围，才不会出现符号错误.‎ ‎7.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转90度，得到一个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定几何体外接球的球心，再利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式，即可得答案；‎ ‎【详解】如图所示，取对称轴的中点，下面底的中心，连结，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时外接球心的确定是解题的关键.‎ - 26 -‎ ‎8.将函数的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数，进而得到平移后的函数解析式，利用函数为偶函数，则轴为函数的一条对称轴，即可得到是函数的最值，得到的值后，即可得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 图象向左平移个单位得，‎ 时，，‎ ‎，即，‎ 当，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换的辅助角公式、平移变换及图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平移变换是针对自变量而言的，要注意自变量的系数问题.‎ ‎9.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为非奇非偶函数，可排除B,D，再根据且函数值的正负，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ 函数为非奇非偶函数，可排除B,D，‎ 当且时，，，‎ 即，故排除A，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意极限思想的应用.‎ ‎10.如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，连接交于点，连接、，利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值.‎ ‎【详解】如图所示，连接交于点，连接、，‎ 在中，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎11.若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 利用参变分离，构造函数，求出函数在区间的最小值，即可得答案；‎ ‎【详解】由题意得：在区间内有解，‎ 令，则，‎ ‎，，‎ 在单调递增，在单调递减，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意有解问题与恒成立问题的区别.‎ ‎12.已知是边长为的正三角形，为该三角形内切圆的一条弦，且.若点P在的三边上运动，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，再利用向量加法的几何意义，将的最大值转化为求的最大值.‎ ‎【详解】如图所示，在中，内切圆的半径，‎ 在中，，‎ - 26 -‎ ‎，，‎ 取的中点，连结，‎ 当，分别取最大值时，取得最大值，‎ 当点运动到三角形的顶点，且顶点与的连线垂直于时，，分别取最大值时，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法几何意义、向量数量积的运算、向量夹角运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，若，则x的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直，数量积为0直接计算，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直数量积为0的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ - 26 -‎ ‎14.若曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得，进而得到，解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知倾斜角为的直线l经过椭圆E的左焦点，以E的长轴为直径的圆与l交于A，B两点，若弦长AB等于E的焦距，椭圆E的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的弦长公式等于得到关于的方程，即可得答案；‎ ‎【详解】设直线的方程为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离公式、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎16.如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，，‎ - 26 -‎ ‎，则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为___________． ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理求得的值，即可得答案；‎ ‎（2）设外心为，连接交于点，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得的值，即可得答案；‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，为正三角形，‎ ‎.‎ ‎（2）设的外心为，连接交于点，‎ 则，‎ ‎,‎ 的最小值为，‎ - 26 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的最小值为，‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在数列中，，且成等差数列．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设前n项和为求使得成立的n的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）8‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差中项得，进而转化成，即可得答案；‎ ‎（2）利用等比数列前项和公式进行求和，再解不等式，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）因为成等差数列，所以，‎ 当时，有，得， ‎ 所以，又，所以，‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以，所以．‎ 所以 ‎ ‎，‎ 所以即， ‎ 因为，所以数列为递增数列．‎ 当时，，不满足，当时，满足．‎ 所以满足不等式的最大的正整数n的值为8．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算，考查运算求解能力，化归与转化思想等.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，已知动圆E过点，且与直线相切．动圆圆心E轨迹记为C.‎ ‎（1）求轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F作斜率为的直线l交C于A，B两点，使得，点Q在m - 26 -‎ 上，且满足，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的定义，即可得到轨迹C的方程；‎ ‎（2）依题意可设直线l的方程为：，根据可求得点或，再分别计算三角形的面积即可.‎ ‎【详解】（1）依题意：平面内动点E到定点和到定直线的距离相等， ‎ 根据抛物线的定义，曲线C是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 其方程为．‎ ‎（2）依题意可设直线l的方程为：.‎ 联立，得，得 ‎ 由，得，‎ 所以，即，又由，得， ‎ 故：.‎ ‎，‎ - 26 -‎ 化简得：，解得或3，即或. ‎ 当Q为时，点Q到直线l的距离为，‎ ‎；‎ 当Q为时，点Q到直线l距离为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，点E，F分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）已知平面平面，过E，F，C三点的平面将四棱锥P-ABCD分成两部分，求这两部分体积的比．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图，取PB的中点G，连接GC，EG，证明四边形是平行四边形，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；‎ - 26 -‎ ‎（2）如图，取PB的中点G，由（1）可知，，所以过的平面即为平面EGCD. 分别计算和的值，再求比值即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接GC，EG.‎ E是PA的中点，，且，‎ 又正方形，‎ ‎，且.‎ ‎∵F是CD的中点，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形， ‎ 又平面，平面，平面. ‎ ‎（2）如图，取PB的中点G，由（1）可知，，所以过的平面即为平面EGCD. ‎ 是等边三角形，E是AP中点，.‎ 在正方形中，，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ - 26 -‎ 平面，∵由（1）可知，平面，‎ 平面. ‎ ‎.‎ 在四棱锥中，平面，，‎ ‎∴底面为直角梯形，又∵底面边长为2，是等边三角形，‎ ‎，又，‎ ‎. ‎ 取AD的中点N，连接PN.‎ 是等边三角形，N是AD中点，.‎ 又∵平面平面ABCD，平面平面平面 平面，‎ ‎ ‎ 所以，所以被平面EFC分成的两部分的体积比为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．‎ ‎20.某批库存零件在外包装上标有从1到N连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：．现有两种方法对零件总数N进行估计.‎ 方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N的估计值．‎ 方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号相当于从区间中随机抽取n个整数，这n个整数将区间分为个小区间：‎ - 26 -‎ ‎．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等，进而可以得到N的估计值．‎ 现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791.‎ ‎（1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.（结果四舍五入保留整数）‎ ‎（2）将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位:mm），绘制出频率分布直方图（如下图）.已知标准零件的内径为200mm，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）.‎ ‎【答案】（1）3091，2880；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方法一，31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为；方法二，抽取的31个零件将划分为32个区间，平均长度为，列方程即可求得的值；‎ ‎（2）抽取的720件优等品占总数的，依题意得，再根据频率分布直方图的面积为，可计算的近似值，从而得到答案；‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）方法一：31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为， ‎ 依题意得，解得. ‎ 方法二：抽取的31个零件将划分为32个区间，平均长度为，前31个区间的平均长度为， ‎ 依题意得，解得. ‎ ‎（2）抽取的720件优等品占总数的，依题意得 ‎ 由频率分布直方图可知：‎ ‎，故，‎ 则， ‎ 解得.故优等品的范围为. ‎ 因为，所以内径为205的零件不能作为优等品.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，样本数字特征估计总体数字特征等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力，考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值点；‎ ‎（2）若在区间内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：．‎ ‎【答案】（1）极小值点，无极大值点.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入解析式得，再进行求导得，利用导数研究导数等于0的方程的根，即可得答案；‎ - 26 -‎ ‎（2）当时，，故且 ，‎ 令，则，对区间分三种情况讨论，即，，分别研究在各个区间内零点的个数，从而得到，再利用导数研究的取值范围，即可证得结论；‎ ‎【详解】（1），，‎ 当时，，当时，.‎ ‎∴当时，，又，‎ 是奇函数，∴当时，. ‎ ‎∴综上，当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 因此为函数的极小值点，无极大值点. ‎ ‎（2）当时，，故且 ‎ 令，则，‎ ‎1°当时，单调递减，当；‎ ‎2°当时，令，则单调递减，又，故存在使得，即当 - 26 -‎ 时，，单调递减；当时，单调递增；‎ ‎3°当时，单调递增；‎ 综上可知：在上单调递减，在上单调递增. ‎ 由于为偶函数，只需函数与在上有两个交点.‎ ‎ ‎ 以下估计的范围：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴令，则，‎ 在单调递减，，‎ ‎，结论得证.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4−4：坐标系与参数方程]‎ - 26 -‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的方程为，动点P到原点O的距离与到l的距离相等．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）若Q是曲线C上一点，且，求．‎ ‎【答案】（1），.（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，代入圆的方程，即可得到圆的极坐标方程；对点P在y轴右侧时，P在y轴，y轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到；‎ ‎（2）因为，所以设点，且，求出的值，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）由得，.‎ 因为，所以，即为C的极坐标方程. ‎ 当P在y轴右侧时，过点P作x轴的垂线，垂足为M，作y轴的垂线，垂足为N，设l与x轴的交点为R，‎ 因为点P到原点距离与到l距离相等，所以.‎ 在中，，所以.‎ ‎ ‎ - 26 -‎ 因为，所以.‎ 当P在y轴或y轴左侧时，满足.‎ 综上，P点轨迹的极坐标方程为. ‎ ‎（2）因为，所以设点，且.‎ 又，所以， ‎ 解得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．‎ ‎[选修4−5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数 ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若，对于任意的恒成立，求c的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，两边平方后，再利用基本不等式，即可证明结论；‎ ‎（2）当时，，因为对于任意的恒成立，所以取可求得或，再进一步验证或使命题成立.‎ ‎【详解】（1）由已知得， ‎ 所以 ‎ ‎，‎ - 26 -‎ 所以. ‎ ‎（2）当时，，‎ 因为对于任意的恒成立，‎ 所以，解得或.‎ ‎①当时，在为减函数，‎ 所以，即.‎ ‎②当时，在为减函数，‎ 所以，即. ‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法．‎ - 26 -‎ - 26 -‎