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- 2021-06-16 发布
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【热身训练】
1．已知椭圆C的焦点坐标为F1(－4,0)，F2(4,0)，且椭圆C过点A(3,1)，则椭圆C的标准方程为________．
解析 AF 1＋AF 2＝6，椭圆C的标准方程为＋＝1.
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
解析 由16＋m>25－m>0，得b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，若点P的坐标为，且△PQF2的周长为8，则椭圆C的方程为________．
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变式2 (2017·天津卷)已知双曲线E －＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为，若经过F和P(0,4)两点的直线l平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为________．
解析 设F (－c,0)，由题意，＝，又e＝＝，所以，b＝2，a＝2，所以，双曲线E的标准方程为－＝1.
（二）圆锥曲线的几何性质
例2. 过椭圆C的右焦点F作倾斜角为45°的直线l与该椭圆交于A、B两点，若AF＝2BF，则椭圆C的离心率的值为________．
解析 如图所示，设椭圆C的离心率为e，直线l的倾斜角为θ，
设AF ＝nBF ，右准线为l x＝，作AA1⊥l，BB1⊥l，A1，B1为垂足，BA2⊥AA1，A2
为垂足，AA2＝AA1－BB1＝－＝，又cos θ＝＝＝，ecos θ＝＝所以，ecos 45°＝，e＝.
变式1 已知双曲线C －＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若＝4，则C的离心率为________．
解析 由ecos θ＝，所以，ecos 60°＝，所以，e＝.[ | | ]
变式2 已知椭圆C ＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为 ( >0)的直线与C相交于A，B两点，若＝3，则 ＝________.
（三）圆锥曲线的离心率的取值范围
例3. 如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2交A2B1于点P，若∠B2PA2是钝角，求椭圆E离心率e的取值范围．
解析 方法一 直线A2B1 bx＋ay－ab＝0，直线B2F 2 bx－cy－bc＝0，联立可得，P，＝，＝，因为∠B2PA2是钝角，所以，·2<0，即b2b>0)的左、右焦点，若在右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆E的离心率e的取值范围是________．
解析 由题意知，PF 2＝F 1F 2＝2c，又PF 2≥AF 2＝－c,2c≥－c，又00，b>0)的离心率是，则双曲线E的渐近线方程为________．
解析 因为e＝＝，所以，＝，所以，双曲线E的渐近线方程为y＝±x.
2．(2017·全国卷)已知椭圆C ＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为________．
3．设F1，F2是椭圆E ＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线l x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为________． [ ]
解析 设直线l与x轴交于点A，由题意得，∠PF 2F 1＝120°，∠PF 2A＝60°，AF 2＝－c，所以，PF 2＝2AF 2＝a－2c＝F 1F 2＝2c，e＝＝，所以，椭圆E的离心率为.
4．(2017·全国卷)设A、B是椭圆C ＋＝1长轴的两个端点，若椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是________．
解析 当03时，椭圆C的焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，得m≥9，故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
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