【数学】2018届一轮复习北师大版函数与方程教案 7页

第八节　函数与方程 ‎ [考纲传真]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．‎ ‎1．函数的零点 ‎(1)定义：把函数y＝f (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．‎ ‎(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数f (x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f (x)有零点．‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a)·f (b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系 Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a＞0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0)，‎ ‎(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f (x)，x∈D在区间(a，b)D内有零点(函数图像连续不断)，则f (a)·f (b)＜0.(　　)‎ ‎(3)若函数f (x)在(a，b)上单调且f (a)·f (b)＜0，则函数f (x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－‎4ac＜0时没有零点．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0　　　 B．‎1　‎　　‎ C．2　　　 D．3‎ B　[∵f (－1)＝－3＜0，f (0)＝1＞0，‎ ‎∴f (x)在(－1,0)内有零点，‎ 又f (x)为增函数，∴函数f (x)有且只有一个零点．]‎ ‎3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A．y＝cosx B．y＝sinx C．y＝ln x D．y＝x2＋1‎ A　[由于y＝sinx是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cosx是偶函数又有零点．]‎ ‎4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)‎ ‎【导学号：66482074】‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(－2，－1) D．(－1,0)‎ D　[∵f (－2)＝－，f (－1)＝－，‎ f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，‎ ‎∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，‎ f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]‎ ‎5．函数f (x)＝ax＋1－‎2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ 【导学号：66482075】‎ 　[∵函数f (x)的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，‎ ‎∴(－‎3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，‎ ‎ ∴实数a的取值范围是.]‎ 函数零点所在区间的判断 ‎　(1)设f (x)＝ln x＋x－2，则函数f (x)的零点所在的区间为(　　)‎ ‎【导学号：66482076】‎ A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎(2)函数f (x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．‎ ‎(1)B　(2)存在　[(1)函数f (x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：‎ 可知f (x)的零点所在的区间为(1,2)．‎ ‎(2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，‎ f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，‎ ‎∴f (1)·f (8)＜0，‎ 又f (x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，‎ 故f (x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．‎ 法二：令f (x)＝0，得x2－3x－18＝0，‎ ‎∴(x－6)(x＋3)＝0.‎ ‎∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，‎ ‎∴f (x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．]‎ ‎[规律方法]　判断函数零点所在区间的方法：‎ 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断．‎ ‎[变式训练1]　已知函数f (x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ C　[∵f (x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又f (1)＝ln 1－－1＝ln 1－2＜0，‎ f (2)＝ln 2－0＜0，‎ f (3)＝ln 3－1＞0，‎ ‎∴x0∈(2,3)，故选C.]‎ 判断函数零点的个数 ‎　(1)函数f (x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)‎ ‎【导学号：66482077】‎ A．1　　　 B．2 ‎ C．3　　　 D．4‎ ‎(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x)＝的零点个数是________．‎ ‎(1)B　(2)3　[(1)令f (x)＝2x|log0.5x|－1＝0，‎ 可得|log0.5x|＝x.‎ 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x ‎)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x)有2个零点．‎ ‎ ‎ ‎(2)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图像，‎ 由图知，当x＞0时，f (x)有2个零点；‎ 当x≤0时，由f (x)＝0得x＝－，‎ 综上，f (x)有3个零点．]‎ ‎[规律方法]　判断函数零点个数的方法：‎ ‎(1)解方程法：所对应方程f (x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．‎ ‎[变式训练2]　(2015·湖北高考)函数f (x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________．‎ ‎2　[f (x)＝2sinxsin－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由f (x)＝0，得sin2x＝x2.‎ 设y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示．‎ 由图像知，两个函数图像有两个交点，故函数f (x)有两个零点．]‎ 函数零点的应用 ‎　(2017·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x－4)＝f (x)，且在区间[0,2]上f (x)＝x，若关于x的方程f (x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．‎ ‎[思路点拨]　先作出函数f (x)的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．‎ ‎[解]　由f (x－4)＝f (x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x－4)＝f (x)＝f (4－x)，3分 所以函数图像关于x＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x)＝logax有三个不同的根，则满足8分 如图，即解得＜a＜.‎ 故a的取值范围是(，). 12分 ‎[规律方法]　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．‎ ‎[变式训练3]　(1)函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,3) B．(1,2)‎ C．(0,3) D．(0,2)‎ ‎(2)(2016·山东高考)已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.‎ ‎【导学号：66482078】‎ ‎(1)C　(2)(3，＋∞)　[(1)∵函数f (x)＝2x－－a在区间(1,2)上递增，又函数f (‎ x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.‎ ‎(2) 作出f (x)的图像如图所示．当x>m时，x2－2mx＋‎4m＝(x－m)2＋‎4m－m2，∴要使方程f (x)＝b有三个不同的根，则有‎4m－m20.又m>0，解得m>3.]‎ ‎ [思想与方法]‎ ‎1．转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．‎ ‎2．判断函数零点个数的常用方法 ‎(1)通过解方程来判断．‎ ‎(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．‎ ‎(3)将函数y＝f (x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f (x)与y＝g(x)图像公共点的个数来判断．‎ ‎3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．函数的零点不是点，是方程f (x)＝0的实根．‎ ‎2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．‎