【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第4讲学案 12页

第4讲　函数的概念及其表示法 考试要求　1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域(B级要求)；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(B级要求)；3.简单的分段函数及应用(A级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.(　　)‎ ‎(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.(　　)‎ ‎(3)函数y＝－1的值域是{y|y≥1}.(　　)‎ ‎(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(　　)‎ 解析　(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.‎ ‎(3)由于x2＋1≥1，故y＝－1≥0，故函数y＝－1的值域是{y|y≥0}.‎ ‎(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是________.‎ 解析　要使原函数有意义，需满足3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1].‎ 答案　[－3，1]‎ ‎3.(教材改编)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为________.‎ 解析　由题意得g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.‎ 答案　0‎ ‎4.(必修1P26练习4改编)下列给出的四个对应中：‎ ‎①A＝B＝N*，对任意的x∈A，f：x→|x－2|；‎ ‎②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的x∈A，f：x→；‎ ‎③A＝B＝R，对任意的x∈A，f：x→3x＋2；‎ ‎④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.‎ 其中对应为函数的有________(填序号).‎ 解析　①中，当x＝2时，|2－2|＝0∉B，此对应不是函数；②中，x＝0时，无意义，此对应不是函数；③对应是函数；④中，A是点集而不是数集，故此对应不是函数.‎ 答案　③‎ ‎5.函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是________.‎ 解析　∵x∈(－∞，1)∪[2，5)，‎ ‎∴x－1∈(－∞，0)∪[1，4).‎ 当x－1∈(－∞，0)时，∈(－∞，0)；‎ 当x－1∈[1，4)时，∈.‎ 答案　(－∞，0)∪ 知 识 梳 理 ‎1.函数与映射的概念 函数 映射 两个集合 A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，‎ 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B ‎2.函数的定义域、值域 ‎(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.‎ ‎(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.‎ ‎3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.‎ ‎4.分段函数 ‎(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.‎ ‎(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.‎ 考点一　求函数的定义域 ‎【例1】 (1)(2018·南通调研)函数f(x)＝ln ＋x的定义域为________.‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 019]，则函数g(x)＝的定义域是____________.‎ 解析　(1)要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞).‎ ‎(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，‎ ‎∴g(x)有意义，应满足 ‎∴0≤x≤2 018，且x≠1.‎ 因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 018，且x≠1}.‎ 答案　(1)(1，＋∞)　(2){x|0≤x≤2 018，且x≠1}‎ 规律方法　求函数定义域的类型及求法 ‎(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.‎ ‎(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.‎ ‎(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·苏、锡、常、镇四市二调)函数f(x)＝的定义域为________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________.‎ 解析　(1)要使函数f(x)＝有意义，则解得01)，∴f (t)＝lg ，‎ 即f (x)＝lg (x>1).‎ ‎(3)由2f (x)＋f ＝2x　①，‎ 将x换成，则换成x，得2f ＋f(x)＝　②，‎ ‎①×2－②，得3f (x)＝4x－，得f (x)＝x－.‎ ‎(4)∵f (x)是二次函数，‎ ‎∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).‎ 由f(0)＝1，得c＝1.‎ 由f (x＋1)＝f (x)＋2x，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，‎ 整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，‎ 由恒等式原理，知⇒ ‎∴f(x)＝x2－x＋1.‎ 规律方法　求函数解析式的常用方法 ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.‎ ‎(3)构造法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).‎ ‎(4)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的表达式.‎ ‎【训练2】 (1)已知f (＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.‎ ‎(2)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f (x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.‎ ‎(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________.‎ 解析　(1)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，‎ 所以f(x)＝x2－1(x≥1).‎ ‎(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，‎ 由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1).‎ ‎(3)当x∈(－1，1)时，‎ 有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①‎ 将x换成－x，则－x换成x，‎ 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②‎ 由①②消去f(－x)得，‎ f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x).‎ 答案　(1)x2－1(x≥1)　(2)－x(x＋1)‎ ‎(3)lg(x＋1)＋lg(1－x)‎ 考点三　分段函数(多维探究)‎ 命题角度1　求分段函数的函数值 ‎【例3－1】 (1)(2015·全国Ⅱ卷改编)设函数f(x)＝则 f(－2)＋f(log212)＝________.‎ ‎(2)(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.‎ 若f ＝f ，则f(5a)的值是________.‎ 解析　(1)根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，‎ ‎∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，‎ 因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.‎ ‎(2)由题意f ＝f ＝－＋a，‎ f ＝f ＝＝，‎ ‎∴－＋a＝，则a＝，‎ 故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.‎ 答案　(1)9　(2)－ 命题角度2　求分段函数中的参数 ‎【例3－2】 (1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________.‎ ‎(2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________.‎ 解析　(1)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，‎ 解得a＝－，不合题意；‎ 当a<0时，1－a>1，1＋a<1，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，‎ 解得a＝－.‎ ‎(2)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.‎ 当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.‎ 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.‎ 综上，a≥.‎ 答案　(1)－　(2) 命题角度3　分段函数与不等式结合 ‎【例3－3】 已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x 的取值范围是________.‎ 解析　函数f(x)＝的图象如图所示：‎ f(1－x2)>f(2x)⇔解得－11时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，‎ 即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，‎ 此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.‎ 答案　－ 一、必做题 ‎1.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)函数f(x)＝的定义域为________.‎ 解析　由题意得解得x>且x≠1.‎ 所以函数的定义域为∪(1，＋∞).‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ ‎2.(2017·扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考)函数f(x)＝的定义域是________.‎ 解析　由题意得解得－2≤x≤2.‎ 故函数的定义域为[－2，2].‎ 答案　[－2，2]‎ ‎3.(2018·扬州中 质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是________.‎ 解析　使函数f(x)有意义，x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).‎ 答案　(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ ‎4.(2017·盐城中 一模)f(x)＝则f ＝________.‎ 解析　∵f ＝log3＝－2，‎ ‎∴f ＝f(－2)＝＝9.‎ 答案　9‎ ‎5.(2017·苏州暑假测试)已知实数m≠0，函数f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，则m的值为________.‎ 解析　当m>0时，2－m<2，2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；当m<0时，2－m>2，2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－.‎ 答案　8或－ ‎6.(2018·南通模拟)函数f(x)＝满足f(1)＋f(a)＝2，则a所有可能的值为________.‎ 解析　∵f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，‎ ‎∴f(a)＝1，当－1f(1)，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　由f(1)＝－2，则f(a)>－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a<0时，－a－3>－2.则a<－1.所以实数a的取值范围是a<－1或a>1.‎ 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎8.(2018·南京一模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________.‎ 解析　f(x)≥－1，‎ 等价于或 解之得－4≤x≤0或00，求实数a的值.‎ 解　(1)由题意，得f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝2×＋1＝2.‎ ‎(2)当0