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- 2021-06-16 发布
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§2.2 函数的单调性与最值
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
知识拓展
函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)0，
得函数的定义域为∪(1，＋∞)．
令t＝2x2－3x＋1，则y＝，
∵t＝2x2－3x＋1＝22－，
∴t＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(1，＋∞)．
又y＝在(1，＋∞)上是减函数，
∴函数y＝的单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．
答案 [－1,0]，[1，＋∞)
解析 由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函数的图象如图．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
命题点2 解析式含参数的函数的单调性
典例 判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性．
解 函数f(x)＝ax2＋(10，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________.
答案
解析 由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增，
所以 即解得a＝.
思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小
典例 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.
命题点2 解函数不等式
典例 已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为____________．
答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)
解析 由已知可得
解得－33，
所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
命题点3 求参数范围
典例 (1)(2018·郑州模拟)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．a＝－3 B．a＜3
C．a≤－3 D．a≥－3
(2)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)y＝＝1＋，
由题意知得a≤－3.
∴a的取值范围是a≤－3.
(2)由f(x)是减函数，得
∴≤a＜，
∴a的取值范围是.
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练 (1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x1≠x2，都有＞0.
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得≤a＜2.
故实数a的取值范围是.
(2)(2017·珠海模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f()>0的解集为________________．
答案
解析 由题意知，f＝－f＝0，
f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
∴f()＞f或f()＞f，
∴＞或－＜＜0，
解得0＜x＜或1＜x＜3.
∴原不等式的解集为.
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
答案 C
解析 作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．
2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y＝的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间．
利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为，故选A.
3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
答案 D
解析 y＝与y＝ln(x＋1)在区间(－1,1)上为增函数；
y＝cos x在区间(－1,1)上不是单调函数；y＝2－x＝x在(－1,1)上为减函数．
4．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a－1≥0，即a≥1.
5．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为10，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－2)
解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x0恒成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
任取1≤x11，∴2x1x2－1>0.
又x1－x2<0，∴f(x1)0恒成立，
则即等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
∴当x＝1时，φ(x)取得最大值φ(1)＝－3.
∴a>－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
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