【数学】2018届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语学案 37页

第1课时　集　合 ‎1．元素与集合 ‎(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.‎ ‎(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 ‎ 表示 关系　　‎ 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ‎∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ‎∅B且B≠∅‎ ‎3．集合的基本运算 ‎(1)三种基本运算的概念及表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 意义 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎(2)三种运算的常见性质 ‎①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.‎ ‎②A∩A＝A，A∩∅＝∅.‎ ‎③A∪A＝A，A∪∅＝A.‎ ‎④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.‎ ‎4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×)‎ ‎(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.(×)‎ ‎(3)若AB，则A⊆B且A≠B.(√)‎ ‎(4)N*NZ.(√)‎ ‎(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)‎ ‎(6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)成立．(√)‎ ‎(7)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(√)‎ ‎(8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)‎ ‎(9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)‎ ‎(10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×)‎ 考点一　集合的概念 命题点 ‎1.集合元素的特征 ‎2.集合表示方法及意义 第一章　集合与常用逻辑用语大一轮复习　数学(理)[例1]　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．3‎ C．5 D．9‎ 解析：∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．‎ 答案：C ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C．0 D．0或 解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－‎8a＝0，即a＝.‎ 答案：D ‎[方法引航]　(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.‎ (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.‎ ‎1．已知a∈R，若{－1,0,1}＝，则a＝________.‎ 解析：由题意≠0，a≠0，a2≠－1，所以只有a2＝1.‎ 当a＝1时，＝1，不满足互异性，∴a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎2．(2017·福建厦门模拟)已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．‎ 解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5＜k≤6.‎ 答案：(5,6]‎ 考点二　集合间的关系及应用 命题点 ‎1.判断集合的关系 ‎2.应用集合的关系 ‎ [例2]　(1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP 解析：因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，所以∁RP＝{y|y＞1}，所以∁RP⊆Q，选C.‎ 答案：C ‎(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤‎2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：∵B⊆A，‎ ‎∴①若B＝∅，则‎2m－1＜m＋1，此时m＜2.‎ ‎②若B≠∅，则 解得2≤m≤3.‎ 由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．‎ 答案：(－∞，3]‎ ‎[方法引航]　1.集合间基本关系的两种判定方法 ‎(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系 ‎(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系．‎ ‎2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．‎ ‎(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；‎ ‎(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．‎ ‎1．在本例(1)中，集合P变为P＝{y|y＝x2＋1}，Q不变，如何选答案．‎ 解析：P＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＞0}，∴P⊆Q，选A.‎ ‎2．①在本例(2)中，若A⊆B，如何求m的取值范围？‎ 解：若A⊆B，‎ 则即 所以m的取值范围为∅.‎ ‎②若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，‎ B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求m的取值范围？‎ 解：(ⅰ)若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2；‎ ‎(ⅱ)若1∈B，则12＋m＋1＝0，‎ 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；‎ ‎(ⅲ)若2∈B，则22＋‎2m＋1＝0，‎ 解得m＝－，此时B＝，不合题意．‎ 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．‎ 考点三　集合的运算 命题点 ‎1.数集交、并、补的运算 ‎2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算 ‎3.利用集合运算求参数 ‎[例3]　(1)(2017·山东烟台诊断)若集合A＝，集合B＝{y|y＝2x，x∈A}，则集合A∩B＝(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D．{0,1}‎ 解析：B＝{y|y＝2x，x∈A}＝，所以A∩B＝，故选C.‎ 答案：C ‎(2)(2017·安徽合肥模拟)已知全集U＝R，A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＞0}，则∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{x|x≤2} B．{x|x≥1}‎ C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}‎ 解析：由x2－2x＞0得x＞2或x＜0，即B＝{x|x＜0，或x＞2}，∴A∪B＝{x|x＜0，或x＞1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}．‎ 答案：C ‎(3)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)‎ A．( －∞，－1] B．[1，＋∞)‎ C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞]‎ 解析：由P∪M＝P，得M⊆P.又∵P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.‎ 答案：C ‎[方法引航]　(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．‎ ‎1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝(　　)‎ A．(－1,3)　　　　 B．(－1,0)‎ C．(0,2) D．(2,3)‎ 解析：选A.将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.‎ ‎2．已知集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为Z，则图中阴影部分表示的集合是(　　)‎ A．{4} B．{4，－1}‎ C．{4,5} D．{－1,0}‎ 解析：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，阴影部分为A∩(∁ZB)＝{4，－1}．‎ 答案：B ‎3．(2017·宁夏银川一中模拟)已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,‎2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________‎ 解析：因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则或解得或所以a的值为0或.‎ 答案：0或 ‎[易错警示]‎ 空集的呐喊——勿忘我 空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有∅⊆A.空集是任何非空集合的真子集．当遇到“A⊆B”时，要注意是否需要讨论A＝∅或A≠∅两种情况，即“∅优先原则”．‎ ‎[典例]　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为________．‎ ‎[正解]　P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；‎ 当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－，‎ 为满足S⊆P可使－＝－3或－＝2，‎ 即a＝或a＝－.‎ 故所求集合为.‎ ‎[答案]　 ‎[易误]　在解答本题时，易出现两个典型错误．一是易忽略对空集的讨论，如S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－可以为－3或2.‎ ‎[警示]　(1)从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，勿遗忘S＝∅的情况．‎ ‎(2)对含字母的问题，注意分类讨论．‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－2，－1,0,1,2,3}　　　　 B．{－2，－1,0,1,2}‎ C．{1,2,3} D．{1,2}‎ 解析：选D.∵B＝{x|x2＜9}＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2}．‎ ‎2．(2016·高考全国乙卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)‎ A．{1,3} B．{3,5}‎ C．{5,7} D．{1,7}‎ 解析：选B.A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，‎ ‎∴A∩B＝{3,5}．‎ ‎3．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)‎ A．{1} B．{1,2}‎ C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ 解析：选C.B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．‎ ‎4．(2016·高考全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　)‎ A．{4,8} B．{0,2,6}‎ C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}‎ 解析：选C.∵A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁AB＝{0,2,6,10}．‎ ‎5．(2016·高考浙江卷)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A．[2,3]‎ B．(－2,3]‎ C．[1,2)‎ D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)‎ 解析：选B.根据补集和并集的概念进行运算，也可以借助数轴求解．‎ ‎∵Q＝{x∈R|x2≥4}，‎ ‎∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}．‎ ‎∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，‎ ‎∴P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}＝(－2,3]．‎ ‎6．(2016·高考山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ 解析：选C.先化简集合A，B，再利用并集的定义求解．‎ 由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．故选C.‎ 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1,0}　　　　　　　　　　 B．{0,1}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1,2}‎ 解析：选A.由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.‎ ‎2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(　　)‎ A．[0,1] B．(0,1]‎ C．[0,1) D．(－∞，1]‎ 解析：选A.∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.‎ ‎3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)‎ A．[－2，－1] B．[－1,2)‎ C．[－1,1] D．[1,2)‎ 解析：选A.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.‎ ‎4．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∪Q＝R 解析：选A.由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以选A.‎ ‎5．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝(　　)‎ A．{1} B．{2}‎ C．{0,1} D．{1,2}‎ 解析：选D.由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.‎ ‎6．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}，则∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{0,1,3,4} B．{1,2,3}‎ C．{0,4} D．{0}‎ 解析：选C.因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.‎ ‎7．已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]‎ 解析：选B.依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.‎ ‎8．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C.依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.‎ ‎9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.‎ 解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．‎ 答案：{(0,1)，(－1,2)}‎ ‎10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.‎ 解析：由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.‎ 答案：－1或2‎ B组　能力突破 ‎1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，‎ N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是(　　) ‎ A．[－1,1)　　　　　　　　　　 B．(－3,1]‎ C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)‎ 解析：选D.由题意可知，M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝{x|－3＜x＜－1}．‎ ‎2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示(　　)‎ A．M∩N B．(∁UM)∩N C．M∩(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)‎ 解析：选B.M∩N＝{5}，A错误；∁UM＝{1,2}，(∁UM)∩N＝{1,2}，B正确；∁UN＝{3,4}，M∩(∁UN)＝{3,4}，C错误；(∁UM)∩(∁UN)＝∅，D错误．故选B.‎ ‎3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：选D.集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2.‎ ‎4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是(　　)‎ A．7 B．10‎ C．25 D．52‎ 解析：选B.A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.‎ ‎5．已知函数f(x)＝，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．‎ 解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．‎ 要使函数f(x)＝有意义，‎ 则2－x－1≥0，解得x≤0，‎ 所以A＝(－∞，0]．‎ 又函数f(x)＝的值域B＝[0，＋∞)．‎ 所以阴影部分用集合表示为∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ ‎6．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．‎ 解析：因为C∩A＝C，所以C⊆A.‎ ‎①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－；‎ ‎②当C≠∅时，要使C⊆A，则 解得－＜a≤－1.‎ 答案：(－∞，－1]‎ 第2课时　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎1．命题 ‎(1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎(2)四种命题及相互关系 ‎(3)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3＜‎0”‎是命题．(×)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)‎ ‎(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)‎ ‎(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)‎ ‎(6)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(√)‎ ‎(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)‎ ‎(8)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)‎ ‎(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－‎1”‎的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.(×)‎ ‎(10)“(2x－1)x＝‎0”‎是“x＝‎0”‎的必要不充分条件．(√)‎ 考点一　四种命题及其关系 命题点 ‎1.命题的改写2.命题的真假判定 ‎[例1]　(1)命题“若a＞b则a－1＞b－‎1”‎的否命题是(　　)‎ A．若a＞b，则a－1≤b－1　 B．若a＞b，则a－1＜b－1‎ C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1‎ 解析：根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－‎1”‎的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－‎1”‎．‎ 答案：C ‎(2)(2017·宁夏银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝‎0”‎的逆否命题是(　　)‎ A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0‎ B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0‎ 解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定为x≠0或y≠0.‎ 答案：D ‎(3)(2017·山东菏泽模拟)有以下命题：‎ ‎①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 其中正确的命题为(　　)‎ A．①②　　　　　　　　　　 B．②③‎ C．④ D．①②③‎ 解析：①“若x，y互为倒数，则xy＝‎1”‎是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m≤1，Δ＝4－‎4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.‎ 答案：D ‎[方法引航]　(1) 在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.‎ (2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.‎ ‎1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________．‎ 解析：“当c＞0时”为大前提，其逆否命题为：‎ 当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.‎ 答案：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b ‎2．下面是关于复数z＝的四个命题：‎ p1：|z|＝2，‎ p2：z2＝2i，‎ p3：z的共轭复数为1＋i，‎ p4：z的虚部为－1.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p2‎ C．p2，p4 D．p3，p4‎ 解析：选C.z＝＝＝－1－i，‎ 所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.‎ 考点二　充分条件与必要辄条件的判断 命题点 ‎1.定义法 ‎2.等价命题法 ‎3.集合法 ‎[例2]　(1)“x＞‎1”‎是“ (x＋2)＜‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件　　　　　　　　 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵x＞1⇒ (x＋2)＜0， (x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，‎ ‎∴“x＞1”是“ (x＋2)＜‎0”‎的充分而不必要条件．‎ 答案：B ‎(2)(2017·天津调研)“x≠1且x≠‎2”‎是“x2－3x＋2≠‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，‎ ‎∴x＝1或x＝2.‎ ‎∴当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，‎ ‎∴“x2－3x＋2＝‎0”‎是“x＝1或x＝‎2”‎的充要条件，那么“x≠1且x≠‎2”‎是“x2－3x＋2≠‎0”‎的充要条件．‎ 答案：C ‎(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：P集合为(1,2)，q集合为(0，＋∞)，pq，故选A.‎ 答案：A ‎[方法引航]　(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.‎ (2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.‎ (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；,②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；,③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.‎ ‎1．设a，b为正实数，则“a＞b＞‎1”‎是“log‎2a＞log2b＞‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件　　　　　　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.y＝log2x(x＞0)为增函数，当a＞b＞1时，log‎2a＞log2b＞0；反之，若log‎2a＞log2b＞0，结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立，故“a＞b＞‎1”‎是“log‎2a＞log2b＞‎0”‎的充要条件．‎ ‎2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是(　　)‎ A．綈p⇔綈s B．p⇔s C．綈p⇒綈s D．綈s⇒綈p 解析：选C.由已知得：q⇒p，s⇒q，则s⇒p，由于原命题与逆否命题等价，所以s⇒p等价于綈p⇒綈s，故选C.‎ ‎3．“x＜‎0”‎是“ln(x＋1)＜‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，∴－1＜x＜0即(－1,0)(－∞，0)，‎ ‎∴“x＜0”是“ln(x＋1)＜‎0”‎的必要不充分条件．‎ 考点三　根据充分、必要条件求参数 命题点 求条件或结论中的参数 ‎[例3]　(1)(2017·江西南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　)‎ A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)‎ C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)‎ 解析：条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有 解得m≥9.‎ 答案：B ‎(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．‎ 解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则∴0≤m≤3.‎ 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．‎ 答案：[0,3]‎ ‎[方法引航]　由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.‎ ‎1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ 解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴∴ 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎2．本例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解：由例(2)知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，‎ ‎∴P⇒S且S⇒/P.‎ ‎∴PS ‎∴∴ ‎∴m≥9.‎ ‎[思想方法]‎ 集合的关系与充分、必要条件“再牵手”‎ 集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含关系．如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解．‎ ‎[典例]　(2017·河南省实验中学模拟)设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数．若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0,5]　　　　　　　　B．(0,5)‎ C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)‎ ‎[解析]　p：|x－2|<3，∴－3