【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系与参数方程第一节坐标系教案 10页

第一节　坐标系 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎　　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用)‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，23,10分(圆的极坐标，求三角形面积)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用)‎ ‎　　直角坐标方程与极坐标方程的互化，求极坐标方程，利用极坐标方程解决问题是本部分的热点内容，主要以解答题的形式出现，难度中等。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。‎ ‎2．极坐标的概念 ‎(1)极坐标系：‎ 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做_极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。‎ ‎(2)极坐标：‎ 对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)。‎ 当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。‎ ‎(3)点与极坐标的关系：‎ 平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。‎ 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。‎ ‎3．极坐标和直角坐标的互化 ‎(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。‎ ‎(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：‎ 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ρ2＝x2＋y2 ‎ tanθ＝(x≠0)‎ 在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角。‎ ‎4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 ‎(1)θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R)‎ ‎(2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0＜θ＜π)‎ 过点(a,0)，倾斜角为α的直线 ρsin(α－θ)＝asinα 微点提醒 ‎1．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标P(x，y)与变换后的点的坐标Q(X，Y)。‎ ‎2．直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要注意互化时要将极坐标方程作适当转化；‎ ‎(1)若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可用公式形式。‎ ‎(2)为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ。‎ 小|题|快|练 ‎1．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换后，变成直线__________。‎ ‎【解析】　由伸缩变换得 将其代入x－2y＝2得2x′－y′＝4。‎ ‎【答案】　2x－y＝4‎ ‎2．在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为__________。‎ ‎【解析】　P，Q在过极点且与极轴成的直线上，它们位于极点的两侧，因此|PQ|＝5＋1＝6。‎ ‎【答案】　6‎ ‎3．直角坐标方程x2＋y2－8y＝0的极坐标方程为__________。‎ ‎【解析】　因为x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以原方程可化为ρ2－8ρsinθ＝0。所以ρ＝0或ρ＝8sinθ。‎ 经检验，得所求的极坐标方程为ρ＝8sinθ。‎ ‎【答案】　ρ＝8sinθ ‎4．极坐标方程ρ＝6cos的直角坐标方程为________。‎ ‎【解析】　原方程可化为ρ＝6cosθcos＋6sinθsin，‎ 方程两边同乘ρ，得ρ2＝3ρcosθ＋3ρsinθ，‎ 由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，‎ 得所求的直角坐标方程为x2＋y2－3x－3y＝0。‎ ‎【答案】　x2＋y2－3x－3y＝0‎ ‎5．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________。‎ ‎【解析】　如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－，OB＝2＝，‎ 化简得ρ＝－2cosθ。‎ ‎【答案】　ρ＝－2cosθ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 图形的伸缩变换 ‎【典例1】　求曲线y＝sin经伸缩变换后的曲线方程。‎ ‎【解析】　由得①‎ 将①代入y＝sin，得 ‎2y′＝sin，‎ 即y′＝sin。‎ 故变换后的曲线方程为y＝sin。‎ ‎【答案】　y＝sin 反思归纳　求经伸缩变换后曲线方程的方法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程。‎ ‎【变式训练】　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标。‎ ‎【解析】　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1。‎ 即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，‎ 则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求。‎ ‎【答案】　F1(－5,0)，F2(5,0)‎ 考点二 极坐标与直角坐标的互化 ‎【典例2】　(1)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离。‎ ‎(2)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径。‎ ‎【解析】　(1)由2ρsin＝，‎ 得2ρ＝，∴y－x＝1。‎ 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝。‎ ‎(2)以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy。‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0。‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为。‎ ‎【答案】　(1)　(2) 反思归纳　极坐标方程与普通方程互化技巧 ‎1．巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程。‎ ‎2．巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程。‎ ‎3．将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程。‎ ‎【变式训练】　⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ。‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。‎ ‎【解析】　以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。‎ ‎(1)ρ＝4cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；‎ ρ＝－4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ。‎ 由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，‎ 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0。‎ ‎(2) ‎①－②得－4x－4y＝0，‎ 即x＋y＝0为所求直线方程。‎ ‎【答案】　(1)⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0‎ ‎(2)x＋y＝0‎ 考点三 ‎ 求曲线的极坐标方程 ‎【典例3】　(2017·铁岭模拟)在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2。‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值。‎ ‎【解析】　(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，‎ 由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝。‎ 因为M是C1上任意一点，所以ρ2sinθ＝2，即sinθ＝2，‎ ρ1＝2sinθ。所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。‎ ‎(2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0，‎ 化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，‎ 则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，‎ 由直线ρcos＝，‎ 得：ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2，‎ 圆心(0,1)到直线x－y＝2的距离为 d＝＝，‎ 所以曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋。‎ ‎【答案】　(1)ρ＝2sinθ　(2)1＋ 反思归纳　求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程。‎ ‎【变式训练】　在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程。‎ ‎【解析】　在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)。‎ 如图所示，因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径 PC＝ ＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ。‎ ‎【答案】　ρ＝2cosθ 考点四 ‎ 极坐标方程的应用 ‎【典例4】　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ。‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a的值。‎ ‎【解析】　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2。C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆。‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0。‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1。‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上。‎ 所以a＝1。‎ ‎【答案】　(1)C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆　C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0‎ ‎(2)a＝1‎ 反思归纳　运用极坐标方程的几何意义可求解交点、长度、距离、最值等几何问题。近几年高考在这方面加强了使用极坐标解决几何问题的力度。‎ ‎【变式训练】　在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长。‎ ‎【解析】　(1)由题意可得圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ ，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ。‎ ‎(2)设点P(ρ1，θ1)，由 解得 设点Q(ρ2，θ2)，由 解得 所以|PQ|＝2。‎ ‎【答案】　(1)ρ＝2cosθ　(2)|PQ|＝2‎ 微考场　新提升 ‎1．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标。‎ 解析　曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1。联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为。‎ 答案　 ‎2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点。‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。‎ 解析　(1)由ρcos＝1‎ 得ρ＝1。‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2。‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)。‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N。‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)。‎ N点的直角坐标为。‎ 所以P点的直角坐标为。‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)。‎ 答案　(1)C的直角坐标方程为x＋y＝2，M(2,0)，‎ N　(2)θ＝(ρ∈R)‎ ‎3．(2016·湖北七市联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(a>0)。‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值。‎ 解析　(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，联立，解得或(舍去)。‎ 故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为。‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，‎ 即(x＋a)2＋(y－a)2＝‎2a2(a>0)。‎ 由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1。‎ 答案　(1)　(2)1‎