专题14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版） 20页

1 专题 14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入 易错点 1 忽略判断框内的条件 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 9，则输出 S 的值为 . 【错解】依题意，该程序框图的任务是计算 S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出 S 的值为 546. 【错因分析】解题过程错在循环是在 k=10 终止，而不是在 k=9 时终止，所以循环体最后一次执行的是 S=S ＋29＋9. 【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算 S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出 S 的值 为 1067. 【参考答案】1067 【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程 序框图运行的次数. 1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同. 2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环 2 结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体. 1．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A．56 B．54 C．36 D．64 【答案】B 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下： a=1，b=1，S=2，c=1+1=2，S=2+2=4； c≤20，a=1，b=2，c=1+2=3，S=4+3=7； c≤20，a=2，b=3，c=2+3=5，S=7+5=12； c≤20，a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20; c≤20，a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33; c≤20，a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54. c＞20,此时结束循环，S=54. 故答案为 B. 【名师点睛】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序结束后输出的 S 值． (1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求程序框图的输入和输出结果，主要方法是模拟运行，认真计算. 3 易错点 2 误将类比所得结论作为推理依据 已知 1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c 都是非零实数,不等式 2 2 1 1 1 2 2 20, 0a x b x c a x b x c      的解集分 别为 M,N,则“ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   ”是“M=N ”成立的 条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分又不必要”中的一种). 【错解】由 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   知两个不等式同解,即“ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   ”是“M=N ”成立的充要条件. 【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别. 【试题解析】当 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   时，可取 1 1 1 2 2 21, 1a b c a b c       ,则 ,M N   R , 故 1 1 1 2 2 2 =/a b c M Na b c    ; 当 M N   时，可取 1 1 1 2 2 21, 1, 2, 3a b c a b c      ，则 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   ，即 1 1 1 2 2 2 = / a b cM N a b c    . 综上知“ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c   ”是“M=N ”成立的既不充分又不必要条件. 【参考答案】既不充分又不必要条件 类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推 理则容易出现错误. 2． 下面给出了关于向量的三种类比推理： 4 ①由数可以比较大小类比得向量可以比较大小； ②由平面向量 a 的性质 22 a a 类比得到空间向量 a 的性质 22 a a ； ③由向量相等的传递性 a b ，   b c a c 可类比得到向量平行的传递性： ∥a b ， ∥ ∥b c a c . 其中正确的是 A．②③ B．② C．①②③ D．③ 【答案】B 【解析】向量既有大小又有方向，所以向量不能比大小，①错； 当 b 为零向量，a 与 c 为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，③错误； 只有②正确， 故选 B． 【名师点睛】本题主要考查的是向量和类比推理，向量是有方向又有长度的量，长度可以比较大小，向 量不可以比较大小，规定零向量是与任意向量共线（平行）的，所以考虑平行时要特别注意零向量.对三 个选项逐个进行分析即可得到结论. 易错点 3 小前提错误 判断函数 | |2 xy  的单调性． 【错解】指数函数 ( 1)xy a a  是增函数，而 | |2 xy  是指数函数，所以函数 | |2 xy  是增函数． 【错因分析】错解中的小前提“ | |2 xy  是指数函数”是错误的，函数 | |2 xy  不是指数函数，而是一个分 段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论． 【试题解析】对于指数函数 xy a ，当 1a  时是增函数，当 0 1a  时是减函数，故当 [0, )x  时， | |2 2x xy   是增函数；当 ( ,0]x  时， | | 12 ( )2 x xy   是减函数． 演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提. 5 3．因为对数函数  log 0 1ay x a a  且 是增函数，而 1 2 logy x 是对数函数，所以 1 2 logy x 是增函数， 上面的推理错误的是 A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是 【答案】A 【解析】由于三段论的大前提“对数函数  log 0 1ay x a a  且 是增函数”是错误的，只有当 a>1 时， 对数函数  log 0 1ay x a a  且 才是增函数. 故答案为 A. 【名师点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. (2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的. 易错点 4 反证法误区——推理中未用到结论的反设 已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明:关于 x 的方程 2 22 5 0x x p    无实 数根. 【错解】假设方程 2 22 5 0x x p    有实数根，由已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得 12 2p    ，而关于 x 的方程 2 22 5 0x x p    的根的判别式 24( 4)p   . ∵ 12 2p    ,∴ 21 44 < p  ，∴    ,即关于 x 的方程 2 22 5 0x x p    无实数根. 【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法. 【试题解析】假设方程 2 22 5 0x x p    有实数根，则该方程的根的判别式 24( 4) 0p    ，解 得 2p  或 2p   ①, 6 而由已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得 12 2p    ②. 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于 x 的方程 2 22 5 0x x p    无实数根. 利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾， 则原命题成立. 4．利用反证法证明：“若 2 2 0x y  ，则 0x y  ”时，假设为 A． x ， y 都不为 0 B． x y 且 x ， y 都不为 0 C． x y 且 x ， y 不都为 0 D． x ， y 不都为 0 【答案】D 【解析】原命题的结论是 ,x y 都为零，反证时，假设为 ,x y 不都为零. 故选 D. 易错点 5 对复数的相关概念不理解出错 设复数 a＋bi（a，b∈R）的模为 3 ，则（a＋bi）（a－bi）= . 【错解】复数 a＋bi 的模为 2 2 = 3a b ，则 a2＋b2= 3 .又（a＋bi）（a－bi）=a2－b2i2=a2＋b2= 3 ，故（a ＋bi）（a－bi）= 3 . 【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数 z=a＋bi 的模 |z|= 2 2a b ，故应为 a2＋b2=3. 【试题分析】复数 a＋bi（a，b∈R）的模为 2 2 = 3a b ，则 a2＋b2=3，则（a＋bi）（a－bi）=a2－（bi）2=a2 －b2i2=a2＋b2=3. 【参考答案】3 7 复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结 论. 1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义. 2. 对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都 是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解. 3. 两个虚数不能比较大小. 4. 利用复数相等 a＋bi=c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件. 5. 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若 z1，z2∈C， 2 2 1 2+z z =0，就不 能推出 z1=z2=0；z2<0 在复数范围内有可能成立. 5．复数 z 满足  2 i 3 6iz    （i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为 A．3 B． 3i C．3i D． 3 【答案】D 【解析】由题意可得：       3 6i 2 i3 6i 15i 3i2 i 2 i 2 i 5z          ， 据此可知，复数 z 的虚部为 3 . 本题选择 D 选项. 【名师点睛】首先化简复数 z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、 减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 易错点 6 数学归纳法的应用误区——归纳假设只设不用 8 用数学归纳法证明： *11 4 7 (3 2) (3 1)( )2n n n n      N . 【错解】（1）当 1n  时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立. （2）假设当 *( )n k k  N 时等式成立,即 11 4 7 (3 2) (3 1)2k k k      . 那么，当 1n k  时,需证 11 4 7 (3 2) [3( 1) 2] ( 1)(3 2)2k k k k          (*). 由于等式左边是一个以 1 为首项,3 为公差的等差数列的前 k+1 项的和,所以左边= 1 ( 1)(1 3 1)2 k k    1 ( 1)(3 2)2 k k  =右边,所以(*)式成立. 即 1n k  时等式成立, 根据（1）和（2）,可知等式对任何 *nN 都成立. 【错因分析】错解在证明当 1n k  等式成立时,没有用到归纳假设“当 *( )n k k  N 时等式成立”,故 不符合数学归纳法证题的要求. 【试题解析】（1）当 1n  时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立. （2）假设当 *( )n k k  N 时等式成立,即 11 4 7 (3 2) (3 1)2k k k      . 那么，当 1n k  时, 11 4 7 (3 2) [3( 1) 2] (3 1) (3 1)2k k k k k           21 1 1(3 5 2) ( 1)(3 2) ( 1)[3( 1) 1]2 2 2k k k k k k          . 即当 1n k  时等式成立. 根据（1）和（2）,可知等式对任何 *nN 都成立. 判断用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步归纳假设是否被 应用,如果没有用到归纳假设,那就是不正确的. 9 6．已知正项数列 na 中， 1 2 1a   ，且 * 1 1 1 1 , .n n n n a a na a     N （1）分别计算出 2 3 4, ,a a a 的值，然后猜想数列 na 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1） 2 3 43 2, 2 3, 5 2a a a      ； 1na n n   ；（2）见解析. 【解析】（1）令 1,n  得 2 1 2 1 1 1 2 2a aa a     ，化简得  2 2 2 3a   ，解得 2 3 2a   或 2 3 2.a    2 0,a  2 3 2a   . 令 2,n  得 3 2 3 2 1 1 2 3,a aa a     化简得 2 3 3 4a   ，解得 3 2 3a   或 3 2 3.a    3 0,a  3 2 3.a   令 3,n  得 4 3 4 3 1 1 4,a aa a     化简得 2 4 2 5a   ，解得 4 5 2a   或 4 5 2.a    4 0,a  4 5 2.a   猜想 1 .na n n   （*）. （2）①当 1n  时， 1 2 1 2 1a     ，（*）式成立； ②假设  *1,n k k k  N 时（*）式成立，即 1ka k k   ， 那 么 当 1n k  时 ， 1 1 1 1 1 1 2 1.k k k k a a k k k k ka a             化 简 得  2 1 1 2,ka k k     1 0,ka   10 1 2 1,ka k k     所以当 1n k  时，（*）式也成立. 综上：由①②得当 *nN 时， 1 .na n n   【名师点睛】本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学 归纳法. （1）逐个计算出 2 3 4, ,a a a 的值，再通过观察可猜 1na n n   . （2）先检验 n=1 满足，再假设  *1,n k k k  N 时（*）式成立，即 1ka k k   ，下证 1n k  时 1 2 1,ka k k     即可证明. 一、算法初步 1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性. 2. 在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决； 若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的 步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构. 3. 循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来 编写程序. 4. 关于赋值语句，有以下几点需要注意： （1）赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如 3=m 是错误的. （2）赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如 Y=x， 表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值，不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替代变量 x 的值. （3）在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”. 二、推理与证明 1．常见的类比、归纳推理及求解策略 （1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类 对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系， 如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等． （2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个 11 体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法. 2．利用综合法、分析法证明问题的策略 （1）综合法的证明步骤如下：①分析条件,选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、 定理等；②转化条件,组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合 适的证法可以简化解题过程. （2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直 到获得一个显而易见的命题即可. （3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与 综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条 件和结论的途径. 3．用反证法证明不等式要把握的三点 （1）必须先否定结论，即肯定结论的反面． （2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证. （3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导 出的矛盾必须是明显的. 4．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定 原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤: （1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真; （2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾; （3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真. 5．应用数学归纳法的常见策略 （1）应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由 n=k 到 n=k＋1 时等 式两边变化的项． （2）应用数学归纳法证明不等式，关键是由 n=k 成立证 n=k＋1 时也成立．在归纳假设后应用比较法、 综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧． （3）应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合 情推理发现结论，然后再证明结论的正确性. 三、数系的扩充与复数的引入 12 1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程. 2. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减 法相结合. 3. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集 C 和复平面内所有的点所成的集 合及平面向量是一一对应关系，即 4. 复数运算常用的性质： （1）①（1±i）2=±2i；②1 i =1 i   i，1 i =1 i   i. （2）设ω= 1 3+ i2 2  ，则①|ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③ =ω2. （3）in＋in＋1＋in＋2＋in＋3=0（n∈N*）. 1．（2018 全国卷Ⅲ理）  1 i 2 i   A． 3 i  B． 3 i  C．3 i D．3 i 2．（2018 浙江）复数 2 1 i (i 为虚数单位)的共轭复数是 A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i 3．在下列命题中,正确命题的个数是 ①两个复数不能比较大小; ②复数 对应的点在第四象限; ③若 是纯虚数,则实数 ; ④若 ,则 . A．0 B．1 C．2 D．3 13 4．已知复数 iz x y   ,x yR ，若  1 i 1 ix y    ，则 z = A．2 B． 2 C． 5 D．5 5．已知 是虚数单位,则复数 = 的虚部是 A． B．1 C． D． 6．已知 为虚数单位,且 = ,则复数 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．复数  2 i i1 2i m A B m A B    R、 、 ，且 0A B  ，则 m 的值是 A． 2 3  B． 2 3 C． 2 D．2 8．下面关于复数 = 的四个命题: 的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 的虚部为-1; , 其中的真命题是 A． B． C． D． 9．执行如图所示的程序框图，如果输入的  2,2x  ，则输出的 y 值的取值范围是 A． 5 2y   或 0y  B． 22 3y   14 C． 2y   或 20 3y  D． 2y   或 2 3y  10．（2018 全国卷 II 理）为计算 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S        ，设计了下面的程序框图，则在空白框中 应填入 A． 1i i  B． 2i i  C． 3i i  D． 4i i  11．习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12… 来源于<乾坤谱>中对<易传>“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾 经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前 项和的程序框图.执行该程序框图,输入 ,则输出 的 A．100 B．140 C．190 D．250 15 12．某程序框图如图所示，若输出 3S  ，则判断框中 M 为 A． 14?k  B． 14?k  C． 15?k  D． 15?k  13．宋元时期数学名著<算学启蒙>中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹 何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 分别为 则输出的 A． B． 16 C． D． 14．用秦九韶方法求多项式 = 在 的值时, 的值为 A．34 B．220 C．-845 D．3392 15．某班有三个小组,甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第 3 小 组那位不一样,丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低,三人中第 3 小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三 人按数学成绩由高到低排列,正确的是 A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙 C．乙、甲、丙 D．丙、甲、乙 16．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代是用算 筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表 示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间, 个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如 用算筹表示就是 ,则 用算筹表示为 A． B． C． D． 17．某运动队对 A，B，C，D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、 丁四位教练对这四位运动员预测如下： 甲说：“是 C 或 D 参加比赛”， 乙说：“是 B 参加比赛”， 丙说：“是 A，D 都未参加比赛”， 丁说：“是 C 参加比赛”. 若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是 A．A B．B C．C D．D 17 18．甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他 三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰 好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是 A．甲没过关 B．乙没过关 C．丙过关 D．丁过关 19．用反证法证明命题“已知 x，y∈N*，如果 xy 可被 7 整除，那么 x，y 至少有一个能被 7 整除”时，假设 的内容是 A． x y， 都不能被 7 整除 B． x y， 都能被 7 整除 C． x y， 只有一个能被 7 整除 D．只有 x 不能被 7 整除 20．在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排 人的座位,使他们在如图所示的 个椅子中就坐,且相邻座位(如 与 与 )上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这 人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在 号位置 上,则 号位置上坐的是 A．小方 B．小张 C．小周 D．小马 21．下图的表在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史 上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前 16 项和为 A．120 B．163 C．164 D．165 22．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为 1，2，3，4 的 4 个位子上（如图），第一 次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第 2018 次互换座 18 位后，小兔的座位对应的编号为______________. 23．“求方程 的解”有如下解题思路:设 ,则 在 上单调递减,且 ,所以 原方程有唯一解 .类比上述解题思路,不等式 的解集是 ． 24．给出下列等式： π2 2cos 4  ， π2 2 2cos 8   ， π2 2 2 2cos16    ， …… 请从中归纳出第  *n nN 个等式： 2 2 2 n      个根号 =___________． 25．有一个游戏：盒子里有 n 个球，甲、乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三 个，谁拿到最后一个球就算谁赢.若甲先拿，则下列说法正确的有__________． ①若 4n  ，则甲有必赢的策略； ②若 6n  ，则乙有必赢的策略； ③若 7n  ，则乙有必赢的策略； ④若 9n  ，则甲有必赢的策略. 26．已知 ,分别求 f(0)+f(1),f(﹣1)+f(2),f(﹣2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论. 27．设数列{an}满足 a1= 1 2 ，  *1 1 2 1 2,2 n n n aa n na      N . 19 （1）证明：数列 1 1 n n a a      为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设 cn=(3n+1)an，证明：数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列. 28．(1)用数学归纳法证明:当 时, + + ⋯ + ,且 , ); (2)求 + + ⋯ + 的值. 29．已知正项数列 na 满足 1 1 2a  ，且 2 3 13 2 2n n na a a  ，设  1 12n n n nb a a a   . 20 （1）求证： 1n na a  ； （2）求证：  1 2 1 1 2 ln ln ln 2ln 2n n n bb b aa a a     ； （3）设 nS 为数列 nb 的前 n 项和，求证： 1 4nS  . ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________