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- 2021-06-16 发布
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3.3.1函数的单
调性与导数
高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用
1.函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
如果f´(x)<0,
那么y=f(x)在这个区间内单调递增;
那么y=f(x)在这个区间内单调递减
如果f´(x)>0,
复习引入:
在某个区间(a,b)内,
2.用导证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:
(1) 求函数f(x)的定义域;(2)求f’(x)
(3)确认f’(x)在(a,b)内的符号;(4)作出结论。
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注
入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应
的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A) (B) (C) (D)
h
tO
h
tO
h
tO
h
tO
1 ),(2) ( ),(3) ( ),(4) ( )B A D C 解:() (
(1) (2) (3) (4)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得
快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上
或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数
在 或 内的图
象“陡峭”,在
或
内的图象“平
缓”.
)(xfy
),0( b )0,(a
),( b
),( a
通过函数图像,不仅可以看出函数的增或减,还可
以看出其变化的快慢,结合图像,从导数的角度解
释变化快慢的情况。
练习
3.讨论二次函数 的单调区间.)0()( 2 acbxaxxf
解: 2( ) ( 0)f x ax bx c a
( ) 2 .f x ax b
0 )1( a
由 , 得 , 即函数 的递增区间
是 ; 相应地, 函数的递减区间是
0)( xf a
bx 2
)(xf
),2(
a
b )2,( a
b
0 )2( a
由 , 得 , 即函数 的递增区间
是 ; 相应地, 函数的递减区间是
0)( xf a
bx 2
)(xf
),2(
a
b)2,( a
b
练习
4.求证: 函数 在 内是减函数.762)( 23 xxxf
解: 3 2( ) 2 6 7f x x x
2( ) 6 12 .f x x x
)2,0(
由 , 解得 , 所以函数
的递减区间是 , 即函数 在 内是减
函数.
0)( xf 20 x )(xf
)2,0( )2,0()(xf
函数单调性与导数的关系
1.如果在区间(a,b)内f’(x)>0(f’(x)<0),那么函数
f(x)在(a,b)内为增函数(减函数)
2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数(减函数) ,
那么f’(x)≥0(f’(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立。
3 2 5ax - x x -
例1:求参数的范围
若函数f(x) 在(- ,+ )上单调递增,
求a的取值范围
题型:根据函数的单调性求参数的取值范围
3 2 5f ( x ) ax - x x - , 解: 在(- ,+ )上单调递增
23 2 1 0f '( x ) ax - x 在(- ,+ )上恒成立。
0
4 12 0
a
a
1
3a
2
12 0 1
0 1
f x ax x , , f xx
x , a .
例2:已知函数( ) , ( ]若( )在
( ]上是增函数,求 的取值范围
3
22f ' x a x
解: ( )
∵函数在(0,1]上单调递增 f ' x ( ) 0,
3
1g x x
而 ( ) 在(0,1]上单调递增,
1a - g x g max( ) (1)=-1
所以a的范围是[-1,+ )
3
1a - xx
即 在 (0,1]上恒成立
4
3( g' x x
( ) >0在(0,1]上恒成立)
注: 在某个区间上, ,f(x)在
这个区间上单调递增(递减);
但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)
而仅仅得到 是不够的。还有可
能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调,
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
f ' x( )>0(或<0)
f ' x( )>0(或<0)
本题用到一个重要的转化:
max
min
m≥f( )恒成立 ( )
( )恒成立 ( )
x m f x
m f x m f x
32 0f x ax - x x a
f x a
练习2
已知函数 ( )= , (0,1], ,
若 ( )在(0,1]上是增函数,求 的取值范围。
, 3[ )2
32f x ax - x解: ( )= 在(0,1]上是增函数,
22 3 0f ' x a - x ( )= 在(0,1]上恒成立,
23
2a x即: 在(0,1]上恒成立,
23 3
2 2g( x ) x而 在(0,1]上的最大值为 ,
3
2a 。
练习:
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数,
求a的取值范围。
解:f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数,
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立,
∴a<0且△=36+12a≤0,
∴a ≤-3
例3:方程根的问题
求证:方程 只有一个根。1 02x sin x
1
2f ( x ) x - sin x,x ( , ) 解:
11 2f '( x ) cos x
f ( x ) 在( , )上是单调函数,
0
0x f x而当 时,( )=0
1 0 02x sin x x . 方程 有唯一的根
求函数 的单调区间。
变1:求函数 的单调区间。3 23 3y x x
23 3y x x
理解训练:
' 6 3y x 解:
1 1' 0 , ' 02 2y x y x 令 得 令 得
23 3y x x 1( , )2
的单调递增区间为
单调递减区间为 1( , )2
解: 2' 9 6 3 (3 2)y x x x x
2' 0 03y x x 令 得 或
2' 0 0 3y x 令 得
3 23 3y x x 的单调递增区间为 2( ,0),( , )3
cos sin
3 3 5( , ) ( ,2 ) ( , ) (2 ,3 )2 2 . 2. .2.
y x x x
A B C D
函数 在下面哪个区间内是增函数( )
(04年全国理)
B
( ,2 )该函数在 上为增函数。
x x x x ( , 2 ) sin 0, sin 0,如图,当 时,
y x x x x x ' 'cos (cos )' (sin )'解:
x x xx x x cos sin os sinc
y ' 0即:
x
y
o
2
3
y x sin
练习
作业 P98 2
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