高考数学复习 17-18版 第1章 第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 12页

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 简单的逻辑联结词 ‎√‎ 全称量词与存在量词 ‎√‎ ‎1．命题p且q，p或q，非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ‎“∀”‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ‎“∃”‎ ‎3.全称命题与存在性命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x∈M，綈p(x)‎ ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“5＞6或5＞‎2”‎是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(　　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．(　　)‎ ‎(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．‎ ‎(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．‎ ‎(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．‎ ‎(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(2016·徐州模拟)命题“∃x∈Q，x2－8＝‎0”‎的否定是________．‎ ‎∀x∈Q，x2－8≠0　[“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是“∀x∈Q，x2－8≠0”．]‎ ‎3．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．‎ ‎2　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]‎ ‎4．下列命题中的假命题是________．(填序号)‎ ‎①∃x0∈R，lg x0＝0；②∃x0∈R，tan x0＝1；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.‎ ‎③　[对于①，当x0＝1时，lg x0＝0，正确；对于②，当x0＝时，tan x0＝1，正确；对于③，当x≤0时，x3≤0，错误；对于④，∀x∈R,2x>0，正确．]‎ ‎5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．‎ 当a≠0时，依题意知 解得－8≤a＜0.‎ 综上可知－8≤a≤0.]‎ 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎　(2017·徐州模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；‎ q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件．‎ 则下列命题为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∧q；②(綈p)∧(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)．‎ ‎④　[由指数函数的性质可知，∀x∈R,2x>0恒成立，‎ 故p为真命题；又x>1Dx>2，但x>2⇒x>1，‎ 故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．‎ 所以p∧(綈q)为真命题．]‎ ‎[规律方法]　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：‎ ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p，q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ ‎[变式训练1]　若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|ax0；‎ p3：∀x∈(0，＋∞)，x>x；‎ p4：∀x∈，xx，故p1错误；‎ 当x∈(0,1)时，x>x，故p2正确；‎ 当x＝时，<＝1，故p3错误；‎ 结合y＝x及logx的图象(图略)可知 ‎∀x∈有x0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x ‎＋1)2＋1≥1>0恒成立．‎ ‎(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．这是由于当x＝－1时，x3＋1＝0.‎ ‎[规律方法]　1.对全称命题、存在性命题进行否定的方法：‎ ‎(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．‎ ‎(2)对原命题的结论进行否定．‎ ‎2．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.‎ 由命题的真假求参数的取值范围 ‎　设p：实数x满足x2－4ax＋‎3a2<0，其中a>0.q：实数x满足 ‎(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．‎ ‎(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：62172013】‎ ‎[解]　由x2－4ax＋‎3a2<0，a>0得a‎0”‎的否定是________命题．(填“真”或“假”)‎ 假　[∵命题“∃x∈R，x2－x>0”是真命题，故其否定是假命题．]‎ ‎3．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________．‎ ‎(綈p)∨(綈q)　[“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．]‎ ‎4．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是________．(填序号)‎ ‎①p为真；　　　　　　　 ②綈p为假；‎ ‎③p∧q为假； ④p∧q为真．‎ ‎③　[p是假命题，q是假命题，因此只有③正确．]‎ ‎5．下列命题中为假命题的是________．‎ ‎①∀x∈，x＞sin x；‎ ‎②∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2；‎ ‎③∀x∈R,3x＞0；‎ ‎④∃x0∈R，lg x0＝0.‎ ‎②　[对于①，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x，当x∈时，f′(x)＞0.从而f(x)在上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin x，故①正确；对于②，由sin x＋cos x＝sin≤＜2知，不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2，故②错误；对于③，易知3x＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确．]‎ ‎6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范 围是________. 【导学号：62172015】‎ ‎(－∞，0)∪(4，＋∞)　[因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，‎ 所以命题綈p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1＜0，‎ 则a＜0或解得a＜0或a＞4.]‎ ‎7．(2017·盐城中学月考)已知命题“綈p或綈q”是假命题，则下列命题：①p或q；②p且q；③綈p或q；④綈p且q.其中真命题的个数为________．‎ ‎3　[∵“綈p或綈q”是假命题；∴綈p及綈q均是假命题，从而p，q均是真命题．即p或q，p且q，綈p或q均是真命题，綈p且q为假命题．]‎ ‎8．(2017·南京二模)已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[e,4]　[若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－‎4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.]‎ ‎9．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥‎0”‎，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0‎ ‎＋2－a＝‎0”‎．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：62172016】‎ ‎(1，＋∞)　[命题p为真时，a≤1；“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝‎0”‎为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－‎ ‎2.(綈p)∧q为真命题，即綈p为真且q为真，即a>1.]‎ ‎10．已知p：存在x0∈R，mx＋2≤0；q：任意x∈R，x2－2mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[1，＋∞)　[若存在x0∈R，mx＋2≤0成立，则m<0，所以若p为假命题，m的取值范围是[0，＋∞)；若任意x∈R，x2－2mx＋1>0，则Δ＝‎4m2‎－4<0，即－10；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件 是綈p，则a的取值范围是________．‎ ‎[1，＋∞)　[由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　因为∀x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，‎ 即f(x)min＝0.若∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则只要满足g(x)min≤0.‎ 而函数g(x)在区间[0,2]上是单调减函数，‎ 故g(x)min＝g(2)＝2－m≤0，即m≥.故m的取值范围为.‎ ‎4．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：∀x∈，x＋>c.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．‎ ‎[解]　若命题p为真，则0c，即c<2.‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ 所以p、q必有一真一假．‎ 当p为真，q为假时，无解；‎ 当p为假，q为真时，所以1≤c<2.‎ 综上，c的取值范围为[1,2)．‎