【数学】2018届一轮复习北师大版三角恒等变换及应用教案 13页

第十二讲 三角恒等变换及应用 项目 内容 课题 三角恒等变换及应用（共 6 课时）‎ 修改与创新 教学目标 ‎1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；‎ ‎2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；‎ ‎3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 ‎ 命题走向 从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。‎ 本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。 ‎ 教学准备 多媒体课件 教学过程 一．知识梳理：‎ ‎1．两角和与差的三角函数 ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎2．二倍角公式 ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎3．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。‎ ‎（1）降幂公式 ‎；；。‎ ‎（2）辅助角公式 ‎，‎ ‎。‎ ‎4．三角函数的求值类型有三类 ‎（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；‎ ‎（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；‎ ‎（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。‎ ‎5．三角等式的证明 ‎（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；‎ ‎（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。‎ 二．典例分析 ‎[例1]　已知函数f(x)＝2sin，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎[自主解答]　(1)∵f(x)＝2sin，‎ ‎∴f＝2sin＝2sin＝.‎ ‎(2)∵α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，‎ ‎∴2sin α＝，2sin＝.‎ 即sin α＝，cos β＝.‎ ‎∴cos α＝，sin β＝.‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．‎ 以题试法 ‎1．(1)已知sin α＝，α∈，则＝________.‎ ‎(2)已知α为锐角，cos α＝，则tan＝(　　)‎ A．－3　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－7‎ 解析：(1)＝＝cos α－sin α，‎ ‎∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.‎ ‎∴原式＝－.‎ ‎(2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan＝＝－.‎ 答案：(1)－　(2)B 三角函数公式的逆用与变形应用 典题导入 ‎[例2]已知函数f(x)＝2cos2－sin x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．‎ ‎[自主解答]　(1)∵f(x)＝2cos2－sin x＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，‎ ‎∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．‎ ‎(2)∵f＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－.‎ ‎∵α为第二象限角，∴sin α＝.‎ ‎∴＝ ‎＝＝＝.‎ 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ 以题试法 ‎2．(1)已知sin＋cos α＝，则sin的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．[来 ‎ 解析：(1)由条件得sin α＋cos α＝，‎ 即sin α＋cos α＝.‎ ‎∴sin＝.‎ ‎(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，‎ ‎∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β.‎ ‎∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，‎ 即(1－tan α)(1－tan β)＝2.‎ 答案：(1)A　(2)2‎ 角 的 变 换 典题导入 ‎[例3]　(1)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.‎ ‎(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ ‎[自主解答]　(1)由条件知＝＝3，‎ 则tan α＝2.‎ 故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]‎ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)因为α为锐角，cos＝，‎ 所以sin＝，sin 2＝，‎ cos 2＝，‎ 所以sin＝sin ‎＝×－×＝.‎ ‎[答案]　(1)　(2) 由题悟法 ‎1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎3．常见的配角技巧：‎ α＝2·；α＝(α＋β)－β；‎ α＝β－(β－α)；‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)]；‎ β＝[(α＋β)－(α－β)]；‎ ＋α＝－；α＝－.‎ 以题试法 ‎3．设tan＝，tan＝，则tan＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　tan＝tan ‎＝＝.‎ ‎[例1]　化简.‎ ‎[自主解答]　原式＝ ‎＝＝ ‎＝cos 2x.‎ 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；[ ]‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．‎ 以题试法 ‎1．化简·.‎ 解：法一：原式＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ 法二：原式＝·[ ]‎ ‎＝· ‎＝·＝.‎ 三角函数式的求值 典题导入 ‎[例2]　(1)(2012·重庆高考)＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C. D..‎ ‎(2)已知α、β为锐角，sin α＝，cos＝－，则2α＋β＝________.‎ ‎[自主解答]　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝＝sin 30°＝.‎ ‎(2)∵sin α＝，α∈，‎ ‎∴cos α＝，‎ ‎∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝0.‎ 又2α＋β∈.‎ ‎∴2α＋β＝π.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)π 由题悟法 三角函数求值有三类 ‎(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．‎ ‎(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎(3)“给值求角”：实质是转化为 “给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ 以题试法 ‎2．已知函数f(x)＝tan. ‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)设α∈，若f＝2，求cos的值．‎ 解：(1)f＝tan＝＝＝－2－.‎ ‎(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tan α＝2，‎ 所以＝2，即sin α＝2cos α.①‎ 又sin2α＋cos2α＝1，②‎ 由①②解得cos2α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝－.‎ 所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝－×＋×＝－.‎ 三角恒等变换的综合应用 典题导入 ‎[例3]已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最小值；‎ ‎(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.‎ ‎[自主解答]　(1)∵f(x)＝sin＋cos ‎＝sin＋sin＝2sin，‎ ‎∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.‎ ‎(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，‎ cos βcos α－sin βsin α＝－.‎ 两式相加得2cos βcos α＝0.‎ ‎∵0＜α＜β≤，∴β＝.∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.‎ 在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．‎ 解：由(1)知f(x)＝2sin，‎ ‎∴sin＝0，∴x－＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴x＝kπ＋(k∈Z)．‎ 故函数f(x)的零点的集合为.‎ 由题悟法 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．‎ 以题试法 ‎3．已知函数f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x ‎＝cos2 x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x ‎＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，‎ 所以最小正周期T＝π.‎ ‎(2)由f(α)＝1，得2sin＝1，‎ 又α∈[0，π]，所以2α＋∈，‎ 所以2α＋＝或2α＋＝，‎ 故α＝或α＝.‎ 板书设计 三角恒等变换及应用 ‎1．两角和与差的三角函数 ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎2．二倍角公式 ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎3．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。‎ ‎（1）降幂公式 ‎；；。‎ ‎（2）辅助角公式 ‎，‎ ‎。‎ 教学反思 本讲知识的复习不能仅仅要求学生记忆公式，应该回顾推导公式，把握各公式之间的关系，利于学生整体掌握知识体系，灵活应用公式解决相关问题。‎ ‎ 公式的应用包括求值、化简、证明。特别是化简，在复习时应筛选一定量的题目让学生训练，使学生能灵活应用公式。‎ ‎ 对把函数式化成y=Asin(ωx+φ)形式，学生掌握的还不够好，以后还要在选择合适的题目加强训练。‎ ‎ ‎