【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章阅读与欣赏(七)　平面几何图形的性质在立体几何中的应用学案 9页

‎　　　　　　　　　　　平面几何图形的性质在立体几何中的应用 ‎[学生用书P140]‎ ‎　三角形中位线定理的应用 ‎ 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点．设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MN∥l.‎ ‎【证明】 法一：(线面平行的判定和性质方法)连接BC1，在△A1BC1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点，‎ 所以MN∥C1B，‎ 又MN⊄平面BCC1B1，C1B⊂平面BCC1B1，‎ 所以MN∥平面BCC1B1，‎ 又因为MN⊂平面MNB1，‎ 平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，‎ 所以MN∥l.‎ 法二：(面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P，连接MP，NP.‎ 在△A1B1C1中，点M，P分别为A1C1，A1B1的中点，‎ 所以MP∥C1B1，‎ 又因为MP⊄平面BCC1B1，C1B1⊂平面BCC1B1，‎ 所以MP∥平面BCC1B1，‎ 同理可证NP∥平面BCC1B1，‎ 又因为MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，‎ NP⊂平面MNP，‎ 所以平面MNP∥平面BCC1B1，‎ 又因为MN⊂平面MNP 所以MN∥平面BCC1B1.‎ 又因为MN⊂平面MNB1，‎ 平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，‎ 所以MN∥l. ‎ 三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理，通过找中点，连接中点得出三角形的中位线，达到证明线线平行的目的，进一步实现证明线面平行、面面平行的目的．　 ‎ ‎　平行四边形的判定及性质的应用 ‎ 如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.‎ ‎【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.‎ 在三棱台DEFABC中，‎ AB＝2DE，点G为AC的中点，‎ 可得DF∥GC，DF＝GC，‎ 所以四边形DFCG为平行四边形，‎ 所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，‎ 所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，‎ 所以BD∥平面FGH.‎ 立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等，判定该四边形为平行四边形，则该四边形的另一组对边平行，也经常运用平行四边形的对角线互相平分，判定线段的中点．　 ‎ ‎　等腰三角形、正三角形性质的应用 ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.‎ ‎(1)证明：AC⊥BD；‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【解】　‎ ‎(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.‎ 因为AD＝CD，所以AC⊥DO.‎ 又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.‎ 从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.‎ ‎(2)连接EO.‎ 由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.‎ 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.‎ 由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.‎ 又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.‎ 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.‎ 等腰三角形底边上的中线垂直底边，在立体几何中常用该结论得出线线垂直．　 ‎ ‎　菱形性质的应用 ‎ 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.‎ ‎(1)证明：B1C⊥AB；‎ ‎(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．‎ ‎【解】　(1)‎ 证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，‎ 所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.‎ 由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.‎ ‎(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，‎ 所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.‎ 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．‎ 又BC＝1，可得OD＝.‎ 由于AC⊥AB1，‎ 所以OA＝B1C＝.‎ 由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得 OH＝.‎ 又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.‎ ‎　矩形、正方形性质的应用 ‎ 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分别为PC，BD的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.‎ ‎【证明】 (1)连接AC∩BD＝F，四边形ABCD为正方形，‎ F为AC中点，E为PC中点．‎ 所以在△CPA中，EF∥PA，‎ 且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ ‎(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ABCD为正方形，CD⊥AD，‎ CD⊂平面ABCD，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 所以CD⊥PA.‎ 又PA＝PD＝AD，‎ 所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，‎ 即PA⊥PD，CD∩PD＝D，‎ 且CD，PD⊂平面PDC，‎ 所以PA⊥平面PDC，‎ 又PA⊂平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PDC.‎ 矩形的四个内角均为直角，两组对边分别平行，对角线互相平分，在正方形中对角线互相垂直平分，利用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论．　 ‎ ‎　梯形性质的应用 ‎ 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面ADEF；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.‎ ‎【证明】 (1)取DE中点N，连接MN，AN.‎ 在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，‎ 所以MN∥CD，且MN＝CD.‎ 由已知AB∥CD，AB＝CD，‎ 所以MN∥AB，且MN＝AB.‎ 所以四边形ABMN为平行四边形，‎ 所以BM∥AN.‎ 又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，‎ 所以BM∥平面ADEF.‎ ‎(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD.‎ 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，‎ 且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，‎ 所以ED⊥平面ABCD，‎ 所以ED⊥BC.‎ 在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2.‎ 在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，所以BC⊥BD.‎ 所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，‎ 所以平面BDE⊥平面BEC.‎ 梯形只有一组对边平行，在立体几何中经常出现两个特殊的梯形．(1)直角梯形，其中梯形的上底等于直角腰长，等于下底长度的二分之一，该梯形的一条对角线垂直非直角腰；(2)等腰梯形，上底等于下底的二分之一，底角等于60°，该类梯形的两条对角线垂直对应的腰．　 ‎ ‎　相似(全等)三角形性质的应用 ‎ 如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE.求证：AF⊥平面SBC.‎ ‎【证明】 由AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中点，得AE＝.‎ 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE.‎ 在Rt△SAE中，SE＝，所以EF＝SE＝.‎ 因此AE2＝EF·SE，又因为∠AEF＝∠AES，‎ 所以△EFA∽△EAS，‎ 则∠AFE＝∠SAE＝90°，即AF⊥SE.‎ 因为SA⊥底面ABC，‎ 所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥SAE，则BC⊥AF.‎ 又SE∩BC＝E，所以AF⊥平面SBC.‎ 利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理，证明角的相等，求出线段长度之间的数量关系等．　 ‎ ‎　圆的性质的应用 ‎ 如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB＝2AD＝2.‎ ‎(1)求证：EA⊥EC；‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，EF＝1，求三棱锥EADF的体积．‎ ‎【解】　(1)证明：因为矩形ABCD⊥平面ABE，CB⊂平面ABCD且CB⊥AB，‎ 所以CB⊥平面ABE，从而AE⊥BC，①‎ 又因为在半圆ABE中，AB为直径，‎ 所以∠AEB＝90°，即AE⊥BE，②‎ 由①②知AE⊥平面BCE，‎ 故有EA⊥EC.‎ ‎(2)因为AB∥CD，所以AB∥平面DCE.‎ 又因为平面DCE∩平面ABE＝EF，‎ 所以AB∥EF，‎ 在等腰梯形ABEF中，EF＝1，AF＝1，∠AFE＝120°，‎ 所以S△AEF＝×EF×AF×sin 120°＝，‎ VEADF＝VDAEF＝×S△AEF×AD＝××1＝.‎ 在与圆柱、圆锥、球等旋转有关的问题中经常用到圆的知识，主要有：(1)半圆上的圆周角是直角；‎ ‎(2)同弧上的圆心角为圆周角的二倍．　 ‎ ‎　勾股定理的应用 ‎ (2016·高考全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′；‎ ‎(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．‎ ‎【解】 (1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.‎ ‎(2)由EF∥AC得＝＝.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.‎ 由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，‎ 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.‎ 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，‎ 所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.‎ 五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.‎ 所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.‎