【数学】2019届一轮复习北师大版6-1数列的概念与简单表示法学案 16页

‎§6.1　数列的概念与简单表示法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.‎ 以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.‎ ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1 > an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋1 < an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ 知识拓展 ‎1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，‎ 则an＝ ‎2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 ‎3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　×　)‎ ‎(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　×　)‎ ‎(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　√　)‎ ‎(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　×　)‎ ‎(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)‎ ‎(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P33A组T4]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，‎ a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.‎ ‎3．[P33A组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .‎ 答案　5n－4‎ 题组三　易错自纠 ‎4．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为 ．‎ 答案　(－∞，3)‎ 解析　∵{an}是递减数列，∴an＋10)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立．‎ 因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．‎ 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．‎ ‎②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断．‎ ‎(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．‎ 跟踪训练 (1)数列{an}满足an＋1＝ a1＝，则数列的第2 018项为 ．‎ 答案　 解析　由已知可得，a2＝2×－1＝，‎ a3＝2×＝，‎ a4＝2×＝，‎ a5＝2×－1＝，‎ ‎∴{an}为周期数列且T＝4，‎ ‎∴a2 018＝a504×4＋2＝a2＝.‎ ‎(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 016等于(　　)‎ A．504 B．588‎ C．－588 D．－504‎ 答案　C 解析　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∵2 016÷4＝504，∴S2 016＝504×＝－588，故选C.‎ 解决数列问题的函数思想 典例 (1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，则此数列的最大项是第 项．‎ ‎(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是 ．‎ 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．‎ 解析　(1)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n ‎＝n×，‎ 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1an知该数列是一个递增数列，‎ 又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，‎ ‎∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，‎ 即k>－1－2n，又n∈N*，∴k>－3.‎ 答案　(1)9或10　(2)(－3，＋∞)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)‎ A．an＝(－1)n－1＋1‎ B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1‎ 答案　C 解析　对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin 不合题意，故选C.‎ ‎2．现有这么一列数：2，，，，(　　)，，，…，按照规律，(　　)中的数应为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　分母为2n，n∈N，分子为连续的质数，所以(　　)中的数应为，故选B.‎ ‎3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于(　　)‎ A．16 B．4‎ C．2 D．45‎ 答案　B 解析　由题意得a－a＝a－a＝…＝a－a＝3，故{a}是以3为公差的等差数列，即a＝3n－2.所以a＝3×6－2＝16.又an>0，所以a6＝4.故选B.‎ ‎4．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2 018等于(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. 答案　A 解析　由已知a3＝＝，a4＝＝，‎ a5＝＝，a6＝＝，‎ a7＝＝2，a8＝＝3，‎ ‎∴数列{an}具有周期性，且T＝6，‎ ‎∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3.‎ ‎5．(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{an}满足a1，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a101等于(　　)‎ A．2100 B．24 950‎ C．25 050 D．25 151‎ 答案　C 解析　∵数列{an}满足a1，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴＝2n－1，‎ ‎∴an＝a1×××…×＝1×21×22×…×2n－1＝，‎ ‎∴a101＝25 050.故选C.‎ ‎6．(2017·河北保定模拟)已知函数f(x)＝ 若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,3) B．(1,2]‎ C．(2,3) D. 答案　C 解析　因为{an}是递增数列，‎ 所以解得 即23n＋1－，n∈N*，a2＝3，则a2 018等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由an＋1－an－1<3n＋，可得an＋2－an<3n＋1＋，又an＋2－an>3n＋1－，且{an}为整数列，‎ 所以an＋2－an＝3n＋1，‎ a2 018＝(a2 018－a2 016)＋(a2 016－a2 014)＋…＋(a4－a2)＋a2‎ ‎＝32 017＋32 015＋…＋33＋3‎ ‎＝＝.‎ ‎14．若数列中的最大项是第k项，则k＝ .‎ 答案　4‎ 解析　设数列为{an}，则 an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)·n＋1－n(n＋4)·n ‎＝n＝(10－n2)．‎ 所以当n≤3时，an＋1>an；‎ 当n≥4时，an＋1a5>a6>…，‎ 故a4最大，所以k＝4.‎ ‎15．(2017·湖北武汉调研)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　anan－1＋2anan＋1＝3an－1an＋1，‎ ＋＝，‎ －＝2，‎ 则＝2，数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ －＝2×2n－1＝2n，‎ 利用累加法，‎ ＋＋＋…＋ ‎＝1＋2＋22＋…＋2n－1，‎ ＝＝2n－1，则an＝.故选B.‎ ‎16．(2017·太原五中模拟)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝ .‎ 答案　(n∈N*)‎ 解析　因为数列{an}是首项为1的正项数列，‎ 所以an·an＋1≠0，所以－＋1＝0.‎ 令＝t(t>0)，则(n＋1)t2＋t－n＝0，‎ 分解因式，得[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，‎ 所以t＝或t＝－1(舍去)，即＝.‎ 方法一　(累乘法)‎ 因为····…· ‎＝····…·，‎ 所以an＝(n∈N*)．‎ 方法二　(迭代法)‎ 因为an＋1＝an，‎ 所以an＝an－1＝··an－2‎ ‎＝···an－3‎ ‎＝…＝···…·a1，‎ 所以an＝(n∈N*)．‎ 方法三　(特殊数列法)‎ 因为＝，所以＝1.‎ 所以数列{nan}是以a1为首项，1为公比的等比数列．‎ 所以nan＝1×1n－1＝1.‎ 所以an＝(n∈N*)．‎