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- 2021-06-16 发布
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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.理解命题的概念;
2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。
2016,北京卷,4,5分(充要条件的判断)
2016,天津卷,5,5分(充要条件的判断)
2014,全国卷Ⅰ,9,5分(逻辑推理判断)
1.分析四种命题的相互关系;由原命题写另一种命题;
2.判定指定条件之间的关系;探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件;与命题真假性结合。
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1.命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
微点提醒
1.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,命题的否定只否定结论。
2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假。
3.“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”;“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq”。
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一 、走进教材
1.(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x+1)(y-2)=0”是“x=-1且y=2”的________条件。
【解析】 因为(x+1)(y-2)=0,
所以x=-1或y=2,
所以(x+1)(y-2)=0x=-1且y=2,
x=-1且y=2⇒(x+1)(y-2)=0,
所以是必要不充分条件。
【答案】 必要不充分
2.(选修1-1P8习题1.1A组T2(1)改编)“若a,b都是偶数,则ab必是偶数“的逆否命题为________。
【解析】 “a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”。
【答案】 若ab不是偶数,则a,b不都是偶数
二、双基查验
1.(2016·天津高考)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件。故选C。
【答案】 C
2.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1 B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α=
【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若α=,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”。故选C。
【答案】 C
3.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B,因此,“A⊆B”是“A∩B=A”成立的充要条件。故选C。
【答案】 C
4.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为:___________________________________________________。
【解析】 原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°。
结论:∠A,∠B都是锐角。否命题是否定条件和结论。
即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角”。
【答案】 在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角
5.若“x2>1”是“x1得x>1或x<-1。
由题意知{x|x1或x<-1},结合数轴可知,a≤-1,从而a的最大值为-1。
【答案】 -1
微考点 大课堂
考点一
四种命题及其相互关系
【典例1】 (1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
【解析】 (1)由于“x,y都是偶数”的否定是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”。故选C。
(2)先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假。故选B。
【答案】 (1)C (2)B
反思归纳
1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提。
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例。
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假。
【变式训练】 (1)命题“若α=,则cosα=”的逆命题是( )
A.若α=,则cosα≠
B.若α≠,则cosα≠
C.若cosα=,则α=
D.若cosα≠,则α≠
(2)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3。关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;
②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;
③命题β是命题α的否命题,且命题γ 是命题α的逆否命题。
A.①③ B.②
C.②③ D.①②③
【解析】 (1)命题“若α=,则cosα=”的逆命题是“若cosα=,则α=”。故选C。
(2)命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定,然后交换条件与结论所得,因此①正确,②错误,③正确。故选A。
【答案】 (1)C (2)A
考点二
充分条件与必要条件的判断……多维探究
角度一:用定义法判断充分条件、必要条件
【典例2】 (2016·北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 取a=-b≠0,则|a|=|b|≠0,|a+b|=|0|=0,|a-b|=|2a|≠0,所以|a+b|≠|a-b|,故由|a|=|b|推不出|a+b|=|a-b|。由|a+b|=|a-b|,得|a+b|2=|a-b|2,整理得a·b=0,所以a⊥b,不一定能得出|a|=|b|,故由|a+b|=|a-b|推不出|a|=|b|。故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件。故选D。
【答案】 D
角度二:用集合法判断充分条件、必要条件
【典例3】 设p:11,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 由2x>20⇒x>0,且{x|10}可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。
【答案】 A
角度三:用等价转化法判断充分条件、必要条件
【典例4】 (2017·锦州模拟)给定两个命题p,q。若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为綈p是q的必要不充分条件,则q⇒綈p但綈pq,其逆否命题为p⇒綈q但綈qp,所以p是綈q的充分不必要条件。故选A。
【答案】 A
反思归纳 充要条件的三种判断方法
1.定义法:根据pq,qp进行判断。
2.集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。
3.等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。
考点三
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散
【典例5】 (1)(2016·南昌模拟)已知条件p:|x-4|≤6;条件q:(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( )
A.[21,+∞) B.[9,+∞)
C.[19,+∞) D.(0,+∞)
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________。
【解析】 (1)条件p:-2≤x≤10,条件q:1-m≤x≤m+1,又因为p是q的充分不必要条件,所以有解得m≥9。故选B。
(2)由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P。
则∴0≤m≤3。
所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]。
【答案】 (1)B (2)[0,3]
【母题变式】 1.本典例(2)条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件。
【解析】 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴∴
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件。
【答案】 不存在
2.本典例(2)条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围。
【解析】 由例题知P={x|-2≤x≤10},
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P⇒S且SP。
∴[-2,10][1-m,1+m]。
∴或
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞)。
【答案】 [9,+∞)
反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是,在求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的验证,不等式中的等号是否能够取得,决定着端点的取值。
微考场 新提升
1.命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是( )
A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”
B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”
C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”
D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”
解析 根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”。故选D。
答案 D
2.已知向量a=(sinα,cosα),b=(cosβ,sinβ),且a与b的夹角为θ,则“|a-b|=1”是“θ=60°”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由条件可知|a|=|b|=1,若|a-b|=1,则(a-b)2=1,即a2+b2-2a·b=1,所以1+1-2cosθ=1,即cosθ=,故θ=60°。同理,若θ=60°,则|a-b|=1也成立。故“|a-b|=1”是“θ=60°”的充分必要条件。故选C。
答案 C
3.设m,n为正实数,则“m0),易知f(x)=x2-(x>0)是单调递增函数,任取m,n>0,当mb,则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题,则实数a,b应满足的前提条件是________。
解析 显然ab≠0,当ab>0时,<⇔·ab<·ab⇔bb,则必有a>0>b,故>0>,所以原命题是假命题;若<,则必有<0<,故a<0m+1是x2-2x-3>0的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________。
解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}{x|xm+1},又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},
∴或∴0≤m≤2。
答案 [0,2]