【数学】2018届一轮复习苏教版7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案（江苏专用） 20页

‎7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎1.二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.‎ ‎(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.‎ ‎2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：‎ ‎(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；‎ ‎(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：‎ 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.‎ ‎2.最优解和可行解的关系：‎ 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.(　√　)‎ ‎(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　×　)‎ ‎(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)‎ ‎(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.(　√　)‎ ‎(5)线性目标函数的最优解是唯一的.(　×　)‎ ‎(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.(　√　)‎ ‎(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　×　)‎ ‎1.(教材改编)已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________.‎ 答案　{m|m>－}‎ 解析　因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.‎ ‎2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是__________.‎ 答案　 解析　不等式y≤2x＋1表示直线y＝2x＋1下方的平面区域及直线上的点，不等式x＋2y>4表示直线x＋2y＝4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是所表示的平面区域.‎ ‎3.(2016·北京改编)若x，y满足则2x＋y的最大值为________.‎ 答案　4‎ 解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，‎ 由得所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.‎ ‎4.(教材改编)若则z＝x－y的最大值为______.‎ 答案　1‎ 解析　根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).‎ 令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值.顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.‎ ‎5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).‎ 答案　 解析　用表格列出各数据 A B 总数 产品吨数 x y 资金 ‎200x ‎300y ‎1 400‎ 场地 ‎200x ‎100y ‎900‎ 所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.‎ 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1　不含参数的平面区域问题 例1　(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于____.‎ 答案　 解析　由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，‎ A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为 ×1×＝.‎ ‎(2)(教材改编)画出二元一次不等式组表示的平面区域.‎ 解　先画出直线x－y＋5＝0(画成虚线)，‎ 取O(0,0)代入x－y＋5＝5>0，‎ ‎∴原点不在x－y＋5<0表示的平面区域内，‎ 即x－y＋5<0表示直线x－y＋5＝0左上方点的集合，‎ 同理可得：x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左边的点的集合.‎ 故此二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分所示.‎ 命题点2　含参数的平面区域问题 例2　(1)(2015·重庆改编)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为________.‎ ‎(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是____.‎ 答案　(1)1　(2) 解析　(1)不等式组表示的平面区域如图，‎ 则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，C点横坐标xC＝－2m，‎ ‎∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，‎ ‎∴m＝1或m＝－3，又∵当m＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m＝1.‎ ‎(2)不等式组表示的平面区域如图所示.‎ 由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域.‎ 因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.‎ 当y＝kx＋过点时，＝＋，‎ 所以k＝.‎ 思维升华　(1)求平面区域的面积：‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；‎ ‎②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.‎ ‎　(1)不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为__________.‎ ‎(2)(2016·江苏徐州四校模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是__________.‎ 答案　(1)[3，＋∞)　(2)[5,7)‎ 解析　(1)直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞).‎ ‎(2)不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面区域如图所示.‎ 因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5≤a<7.‎ 题型二　求目标函数的最值问题 命题点1　求线性目标函数的最值 例3　(2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为____.‎ 答案　 解析　满足约束条件的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C为顶点的三角形内部及边界，则y＝－x＋z过点C时取得最大值.‎ 命题点2　求非线性目标函数的最值 例4　实数x，y满足 ‎(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；‎ ‎(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.‎ 解　(1)由作出可行域，‎ 如图中阴影部分所示.‎ z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，‎ 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在).‎ 由得B(1,2)，‎ ‎∴kOB＝＝2，即zmin＝2，‎ ‎∴z的取值范围是[2，＋∞).‎ ‎(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.‎ 因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.‎ 由得A(0,1)，‎ ‎∴OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5，‎ ‎∴z的取值范围是[1,5].‎ 引申探究 ‎1.若z＝，求z的取值范围.‎ 解　z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率.‎ ‎∴z的取值范围是(－∞，0].‎ ‎2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.‎ 解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3‎ ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，‎ 而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，‎ PQ＝()2＝，‎ ‎∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.‎ 命题点3　求参数值或取值范围 例5　(1)(2015·山东改编)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a的值为____________.‎ ‎(2)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝_____.‎ 答案　(1)2　(2) 解析　(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 易知A(2,0)，‎ 由得B(1,1).‎ 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.‎ 当a＝0时，显然不满足题意；‎ 当a<0时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，‎ z＝0，不满足题意；‎ 当a>0时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，‎ z＝2a＝4，a＝2，满足题意.‎ ‎(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).‎ 易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，‎ 由得 ‎∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.‎ 思维升华　(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：‎ ‎①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；‎ ‎②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.‎ ‎　(1)(2016·江苏大港中学质检)设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________.‎ ‎(2)(2016·江苏天一中学月考) 已知x，y满足约束条件如果(2，)是z＝ax－y取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是______________.‎ 答案　(1)3　(2)[，＋∞)‎ 解析　(1)作出可行域.‎ 把目标函数化为y＝－x＋，显然只有y＝－x＋在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由得A，代入目标函数，即＋＝4，解得m＝3.‎ ‎(2)画出可行域如图，‎ 将目标函数化为直线的斜截式方程y＝ax－z，当目标函数的斜率大于等于3y－x＝2的斜率时，直线y＝ax－z在点(2，)处截距最小，即a≥时，(2，)是目标函数z＝ax－y取得最大值时的最优解.‎ 题型三　线性规划的实际应用问题 例6　某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.‎ ‎(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；‎ ‎(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ 解　(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，‎ 所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.‎ ‎(2)约束条件为 整理得 目标函数为ω＝2x＋3y＋300，‎ 作出可行域，如图所示，‎ 作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，‎ 由得 ‎∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元.‎ 故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.‎ 思维升华　解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.‎ ‎(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.‎ ‎(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).‎ ‎(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).‎ ‎(5)检验：根据结果，检验反馈.‎ ‎　(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.‎ 答案　216 000‎ 解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，‎ 得线性约束条件为 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的四边形及其内部，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).‎ ‎7.含参数的线性规划问题 典例　(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________.‎ ‎(2)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________.‎ 错解展示 解析　(1)如图，直线y＝k(x－1)－1过点(1，－1)，‎ 作出直线y＝2x，当k<－1或02时，不等式组表示一个三角形区域.‎ ‎(2)由不等式组表示的可行域，可知z＝ax＋y在点A(1,1)处取到最大值4，‎ ‎∴a＋1＝4，∴a＝3.‎ 答案　(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)　(2)3‎ 现场纠错 解析　(1)直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域.‎ ‎(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 由得A(1,1).‎ z＝ax＋y等价于y＝－ax＋z，‎ 因为z的最大值为4，‎ 即直线y＝－ax＋z的纵截距最大为4.‎ 若z＝ax＋y在A(1,1)处取得最大值，‎ 则纵截距必小于2，‎ 故只有直线y＝－ax＋z过点(2,0)且－a<0时符合题意，∴4＝a×2＋0，即a＝2.‎ 答案　(1)(－∞，－1)　(2)2‎ 纠错心得　(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答.‎ ‎(2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.‎ ‎1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为_______.‎ 答案　(－7,24)‎ 解析　由[3×(－3)－2×(－1)－a]·[3×4－2×(－6)－a]<0，得(a＋7)(a－24)<0，‎ ‎∴－70时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；‎ 当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.‎ ‎10.(2016·浙江改编)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则AB＝________.‎ 答案　3 解析　已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示.‎ 因为l与直线x＋y＝0平行.所以区域内的点在直线x＋y－2上的投影构成线段AB，则AB＝PQ.‎ 由解得P(－1,1)，由 解得Q(2，－2).‎ 所以AB＝PQ＝＝3.‎ ‎11.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是________.‎ 答案　p1，p2‎ 解析　不等式组表示的平面区域D如图中阴影区域所示(含边界).‎ 设z＝x＋2y，作出直线l0：x＋2y＝0，经平移可知直线l：z＝x＋2y经过点A(2，－1)时z取得最小值0，无最大值.对于命题p1：由于z的最小值为0，所以∀(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命题p1为真命题；由于∀(x，y)∈D，x＋2y≥0，故∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，因此命题p2为真命题；由于z＝x＋2y的最小值为0，无最大值，故命题p3与p4错误.‎ ‎12.若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________.‎ 答案　3‎ 解析　∵x2＋y2≤1，∴6－x－3y>0，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，当2x＋y－2≥0时，t＝x－2y＋4.点(x，y)可取区域Ⅰ内的点(含边界).‎ 通过作图可知，当直线t＝x－2y＋4过点A(，)时，t取最小值，∴tmin＝－＋4＝3.‎ 当2x＋y－2<0时，t＝8－3x－4y，点(x，y)可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB).‎ 通过作图可知，此时t>8－3×－4×＝3.‎ 综上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.‎ ‎13.给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.‎ 答案　6‎ 解析　作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线.‎ ‎14.已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.‎ ‎(1)写出表示区域D的不等式组；‎ ‎(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围.‎ 解　(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.‎ 原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为 ‎(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，‎ 即(14－a)(－18－a)<0，‎ 解得－18