【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第23讲学案 20页

第23讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 考试要求　1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，图象的画法，参数A，ω，φ对函数图象变化的影响(A级要求)；2.利用三角函数解决一些简单实际问题(A级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)‎ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(必修4P40练习5改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为________.‎ 解析　根据y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅、频率、初相定义知，振幅A＝2，频率f＝＝＝，初相φ＝－.‎ 答案　2，，－ ‎3.(2017·江苏押题卷)已知角φ的终边经过点P(1，1)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________.‎ 解析　由题设可得tan φ＝1，0<φ<，所以φ＝，又＝，则T＝⇒ω＝＝3，所以f(x)＝sin，则f＝sin＝sin ＝.‎ 答案　 ‎4.(2017·南京、盐城模拟)将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.‎ 解析　由题意得y＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈ )，又0<φ<，所以φ＝.‎ 答案　 ‎5.(必修4P45第9题改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的部分图象如图所示，则当t＝ s时，电流强度是________ A.‎ 解析　由图象知A＝10，＝－＝，‎ ‎∴ω＝＝100π.‎ ‎∴I＝10sin(100πt＋φ).为五点中的第二个点，‎ ‎∴100π×＋φ＝.‎ ‎∴φ＝.∴I＝10sin，‎ 当t＝ s时，I＝－5 A.‎ 答案　－5‎ 知 识 梳 理 ‎1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 ‎“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：‎ ‎(1)定点：如下表所示.‎ x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.‎ ‎(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：‎ 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)‎ A T＝ f＝ ωx＋φ φ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 考点一　“五点法”与“变换法”作图 ‎【例1】 (必修4P37例1改编)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期为π.‎ ‎(1)求它的振幅、初相；‎ ‎(2)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；‎ ‎(3)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx ‎＝2＝2sin.‎ ‎∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.‎ ‎(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.‎ 列表，并描点画出图象：‎ X ‎－ X ‎0‎ π ‎2π y＝sin X ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎(3)法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.‎ 法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变 ，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin的图象.‎ 规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设 ＝ωx＋φ，由 取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；‎ ‎(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎【训练1】 已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；‎ ‎(3)若f(x)>，求x的取值范围.‎ 解　(1)周期T＝＝π，∴ω＝2，‎ ‎∵f＝cos＝cos＝－sin φ＝，‎ 又－＜φ＜0，∴φ＝－.‎ ‎(2)f(x)＝cos，列表如下：‎ ‎2x－ ‎－ ‎0‎ π π π x ‎0‎ π π π π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ 图象如图：‎ ‎(3)∵cos>，‎ ‎∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈ )，‎ ‎∴2kπ＋<2x<2kπ＋(k∈ )，‎ ‎∴kπ＋0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求A，ω，φ的值；‎ ‎(2)设θ为锐角，且f(θ)＝－，求f的值.‎ 解　(1)由图象，得A＝，T＝π－＝π，‎ 则T＝π，∴ω＝＝2，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 由f＝－，得sin＝－，‎ 结合0<φ<π，得φ＝.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ ‎∴f(θ)＝sin＝－，‎ ‎∴sin＝－，‎ ‎∵θ∈，∴2θ＋∈，‎ 又sin<0，∴2θ＋∈，‎ ‎∴cos＝－＝－，‎ ‎∴f＝sin 2θ＝sin ‎＝ ‎＝×＝.‎ 规律方法　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；‎ ‎(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.‎ ‎(2)‎ 如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.‎ 解析　(1)由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)从图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，又×＝14－6，‎ 所以ω＝.由图可得A＝(30－10)＝10，‎ b＝(30＋10)＝20.又×10＋φ＝2π，解得φ＝，‎ ‎∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].‎ 答案　(1)f(x)＝2sin ‎(2)y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ 考点三　三角函数图象与性质的综合问题(典例迁移)‎ ‎【例3】 (经典母题)(2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx ‎＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，‎ 所以－＝kπ，k∈ .‎ 故ω＝6k＋2，k∈ ，又0＜ω＜3，‎ 所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，‎ 所以x－∈，‎ 当x－＝－，‎ 即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎【迁移探究1】 (2016·山东卷)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.‎ 解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sin xcos x)‎ ‎＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈ )，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈ ).‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈ ).‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，‎ 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).‎ 得到y＝2sin＋－1的图象.‎ 再把得到的图象向左平移个单位，‎ 得到y＝2sin x＋－1的图象，‎ 即g(x)＝2sin x＋－1.‎ 所以g＝2sin ＋－1＝.‎ ‎【迁移探究2】 已知函数f(x)＝2sin(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎(1)求f 的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间.‎ 解　(1)∵f(x)为偶函数，‎ ‎∴φ－＝kπ＋，k∈ ，解得φ＝＋kπ，k∈ .‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝.‎ 由题意＝2×，得ω＝2.‎ 故f(x)＝2cos 2x，f ＝2cos ＝.‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到f的图象，所以g(x)＝‎ f ＝2cos＝2cos 当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈ )，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈ )时，g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈ ).‎ 规律方法　(1)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换：‎ 由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种方法.‎ 法一：(先平移后伸缩)y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象.‎ 法二：(先伸缩后平移)y＝sin x的图象y＝sin ωx 的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象.‎ ‎(2)研究三角函数的单调性，首先将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋h(或y＝Acos(ωx＋φ)＋h)的形式，要视“ωx＋φ”为一个整体，另外注意A的正负.‎ ‎(3)三角函数最值问题的解题思路：‎ ‎(ⅰ)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.‎ ‎②y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式.‎ ‎③y＝(或y＝)可转化为只有分母含sin x或cos x的函数式或sin x＝f(y)[cos x＝f(y)]的形式，由正、余弦函数的有界性求解.‎ ‎(ⅱ)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ‎①y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为cos x的二次函数式.‎ ‎②y＝asin x＋(a，b，c>0)，令sin x＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解.‎ ‎【训练3】 (2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f 的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.‎ 解　(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈ )，因为－≤＜，‎ 所以k＝0，‎ 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，‎ 则f ＝sin＝sin ＝.‎ ‎(2)将f(x)的图象φ向右平移个单位后，得到 f 的图象，‎ 所以g(x)＝f ＝sin ‎＝sin.‎ 当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈ )，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈ )时，g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈ ).‎ 一、必做题 ‎1.(2016·全国Ⅰ卷改编)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________.‎ 解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin.‎ 答案　y＝2sin ‎2.(2018·镇江模拟)将函数y＝5sin(2x＋)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________.‎ 解析　由题意得y＝5sin函数图象关于y轴对称，所以2φ＋＝＋kπ(k∈ )，又0<φ<，所以φ＝.‎ 答案　 ‎3.(2018·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为________.‎ 解析　由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ).又f＝2sin＝－，－＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈ ，解得φ＝－.‎ 答案　－ ‎4.(2017·江苏大联考)已知f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.‎ 解析　由题意得y＝2sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈ )，又0<φ<，所以φ＝.‎ 答案　 ‎5.(2018·南京调研)如图，它是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，π))图象的一部分，则f(0)的值为________.‎ 解析　由函数图象得A＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin ‎，又因为(3，0)为函数f(x)＝3sin的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k＋1)π(k∈ )，解得φ＝＋2kπ(k∈ )，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin＝.‎ 答案　 ‎6.(2018·南京师大附中、淮阴中 、海门中 、天一中 四校联考)将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________.‎ 解析　将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝sin的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈ ，φ＝kπ－，k∈ ，又0<φ<π，则φ＝.‎ 答案　 ‎7.(2017·江苏大联考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为________.‎ 解析　由题意得sin θ＝，因为－<θ<，所以θ＝，因为g(x)＝sin，所以sin＝，又因为0<φ<π，所以－2φ＋∈，即－2φ＋＝－，故φ＝.‎ 答案　 ‎8.(2018·泰州一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.‎ 解析　当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，‎ 由题意知ω≤－，∴ω≤－2.‎ 综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.‎ 答案　(－∞，－2]∪ ‎9.(2018·南京、盐城模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的取值范围.‎ 解　(1)由图象知，A＝2，‎ 又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1.‎ 所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈ )，‎ 即φ＝＋2kπ(k∈ )，又－<φ<，所以φ＝.‎ 所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2)当x∈时，x＋∈，‎ 所以sin∈，即f(x)∈[－，2].‎ ‎10.(2018·扬州中 质检)如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y轴交于点(0，)，最小正周期是π.‎ ‎(1)求ω，φ的值；‎ ‎(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值.‎ 解　(1)将点(0，)代入y＝2cos(ωx＋φ)，‎ 得cos φ＝，‎ ‎∵0≤φ≤，∴φ＝.‎ ‎∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.‎ ‎(2)由(1)知y＝2cos.‎ ‎∵A，Q(x0，y0)是PA中点，y0＝，‎ ‎∴P.‎ 又∵点P在y＝2cos的图象上，‎ ‎∴2cos＝，∴cos＝－.‎ ‎∵x0∈，∴4x0＋∈，‎ ‎∴4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋，‎ ‎∴x0＝或.‎ 二、选做题 ‎11.(2018·苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是________.‎ 解析　设函数的周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.‎ 答案　4‎ ‎12.(2018·南京模拟)设函数f(x)＝sin，给出下列结论：‎ ‎①f(x)的图象关于直线x＝对称；‎ ‎②f(x)的图象关于点对称；‎ ‎③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；‎ ‎④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象.‎ 其中正确的是________(填序号).‎ 解析　对于函数f(x)＝sin，当x＝时，‎ f ＝sin ＝，故①错；当x＝时，‎ f ＝sin ＝1，故不是函数的对称中心，故②错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x∈时，‎ ‎2x＋∈，此时函数为增函数，故③正确；‎ 把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故④错.‎ 答案　③‎