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- 2021-06-16 发布
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1.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
2.线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x,y组成的一次不等式
线性约束条件
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x,y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
【知识拓展】
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:
(1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;
(2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
2.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:
对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有
(1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
(2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
3.最优解和可行解的关系:
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( × )
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.( √ )
(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( √ )
(4)线性目标函数的最优解是唯一的.( × )
(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ )
(6)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( × )
1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( )
A.(0,0) B.(-1,1)
C.(-1,3) D.(2,-3)
答案 C
解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C.
2.(教材改编)不等式组表示的平面区域是( )
答案 C
解析 用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.
3.(2016·北京)若x,y满足则2x+y的最大值为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=2x+y,则y=-2x+z,作直线2x+y=0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,
由得所以A点坐标为(1,2),可得2x+y的最大值为2×1+2=4.
4.(2017·杭州质检)设实数x,y满足不等式组若z=2x+y,则z的最大值等于________,z的最小值等于________.
答案 2 0
解析 作出可行域(图略),由y=-2x+z,知当z=2x+y经过点(1,0)时,zmax=2;
当z=2x+y经过点(0,0)时,zmin=0.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
例1 (1)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )
(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒
或画出平面区域后,只有C符合题意.
(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分,A(0,),B(1,1),C(0,4),则△ABC的面积为×1×=.故选C.
命题点2 含参数的平面区域问题
例2 (1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( )
A.-3 B.1 C. D.3
(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是_________________.
答案 (1)B (2)
解析 (1) 不等式组表示的平面区域如图,则图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=,
C点横坐标xC=-2m,
∴S△ABD=S△ACD-S△BCD=×(2+2m)×(1+m)-×(2+2m)×==,
∴m=1或m=-3,当m=-3时,不满足题意应舍去,
∴m=1.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.
因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D.
当y=kx+过点时,=+,
所以k=.
思维升华 (1)求平面区域的面积:
①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.
(1)不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围为( )
A.(0,3] B.[-1,1]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.-2
答案 (1)D (2)A
解析 (1)直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM==3,因此k≥3,即k∈[3,+∞).故选D.
(2)由于x=1与x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0与kx-y=0垂直或x=1与kx-y=0垂直.
①当x+y-4=0与kx-y=0垂直时,k=1,检验知三角形区域面积为1,即符合要求.
②当x=1与kx-y=0垂直时,k=0,检验不符合要求.
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
例3 (1)(2016·全国丙卷)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为________.
(2)已知实数x,y满足:z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是( )
A.[,5] B.[0,5]
C.[0,5) D.[,5)
答案 (1) (2)C
解析 (1)满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,则y=-x+z过点C时Z取得最大值.
(2)由约束条件作可行域如图,
联立解得 ∴A(2,-1),
联立解得∴B(,).
令u=2x-2y-1,则y=x--,由图可知,当y=x--经过点A(2,-1)时,直线y=x--在y轴上的截距最小,u最大,最大值为2×2-2×(-1)-1=5;当y=x--经过点B(,)时,直线y=x--在y轴上的截距最大,u最小,最小值为2×-2×-1=-.
∴-≤u<5,∴z=|u|∈[0,5).
命题点2 求非线性目标函数的最值
例4 实数x,y满足
(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
解 由作出可行域,
如图中阴影部分所示.
(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在,即zmax不存在).
由得B(1,2),
∴kOB==2,即zmin=2,
∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的最小值为OA2,最大为OB2.
由得A(0,1),
∴OA2=()2=1,
∴zmax=5,OB2=()2=5,
∴z的取值范围是[1,5].
引申探究
1.若z=,求z的取值范围.
解 z=可以看作过点P(1,1)及(x,y)两点的直线的斜率.
∴z的取值范围是(-∞,0].
2.若z=x2+y2-2x-2y+3.求z的最大值、最小值.
解 z=x2+y2-2x-2y+3
=(x-1)2+(y-1)2+1,
而(x-1)2+(y-1)2表示点P(1,1)与Q(x,y)的距离的平方PQ2,(PQ)=(0-1)2+(2-1)2=2,
(PQ)=()2=,
∴zmax=2+1=3,zmin=+1=.
命题点3 求参数值或取值范围
例5 (1)(2015·山东)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a等于( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
(2)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=________.
答案 (1)B (2)
解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
易知A(2,0),
由得B(1,1).
由z=ax+y,得y=-ax+z.
∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,
∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B.
(2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).
易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,
由得
∴zmin=2-2a=1,解得a=.
思维升华 (1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.
(2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义:
①表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离;
②表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
(3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.
(1)(2016·临沂检测)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是( )
A.-3 B.0 C. D.3
(2)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (1)A (2)[1,]
解析 (1) 作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部).
平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-3.
(2)画可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1,].
题型三 线性规划的实际应用问题
例6 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
答案 216 000
解析 设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为
目标函数z=2 100x+900y.
作出可行域为图中的四边形,
包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).
思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤
(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.
(2)设元:设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数.
(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).
(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).
(5)检验:根据结果,检验反馈.
(2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名,若a,b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x等于( )
A.10 B.12 C.13 D.16
答案 C
解析 如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线l:b+a=0,平移直线l,再由a,b∈N,可知当a=6,b=7时,xmax=a+b=13.
7.含参数的线性规划问题
典例 (1)在直角坐标系xOy中,若不等式组表示一个三角形区域,则实数k的取值范围是________.
(2)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=________.
错解展示
解析 (1) 如图,直线y=k(x-1)-1过点(1,-1),
作出直线y=2x,当k<-1或02时,不等式组表示一个三角形区域.
(2)由不等式组表示的可行域,可知z=ax+y在点A(1,1)处取到最大值4,
∴a+1=4,∴a=3.
答案 (1)(-∞,-1)∪(0,2)∪(2,+∞) (2)3
现场纠错
解析 (1)直线y=k(x-1)-1过定点(1,-1),当这条直线的斜率为负值时,该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方,即直线的斜率为(-∞,-1),只有此时可构成三角形区域.
(2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
由得A(1,1).
z=ax+y等价于y=-ax+z,
因为z的最大值为4,
即直线y=-ax+z的纵截距最大为4.
若z=ax+y在A(1,1)处取得最大值,
则纵截距必小于2,
故只有直线y=-ax+z过点(2,0)且-a<0时符合题意,
∴4=a×2+0,即a=2.
答案 (1)(-∞,-1) (2)2
纠错心得 (1)含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答.
(2)目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号.
1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为( )
A.(-24,7) B.(-7,24)
C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
答案 B
解析 由[3×(-3)-2×(-1)-a]·[3×4-2×(-6)-a]<0,
得(a+7)(a-24)<0,∴-70时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;
当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.
8.(2016·枣庄模拟)已知实数x,y满足约束条件则ω=的最小值是( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图,
ω=的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(0,-1)所在直线的斜率,
由图象可知当P位于点D(1,0)时,直线AP的斜率最小,此时ω=的最小值为=1.
故选D.
9.若关于x,y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形,则其表示的平面区域的面积为______.
答案 或
解析 直线kx-y+1=0过点(0,1),要使不等式组表示的区域为直角三角形,只有直线kx-y+1=0垂直于y轴(如图(1))或与直线x+y=0垂直(如图(2))时才符合题意.所以S=×1×1=或S=××=.
10.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是__________.
答案
解析 画出x、y满足约束条件的可行域如图所示,
要使目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y=-ax+z的斜率应小于直线x+2y-3=0的斜率,即-a<-,
∴a>.
11.(2017·宜春中学、新余一中联考)设x,y满足约束条件则的取值范围是________.
答案 [3,11]
解析 设z===1+2·,
设z′=,则z′的几何意义为动点P(x,y)到定点D(-1,-1)的斜率.画出可行域如图阴影部分所示,则易得z′∈[kDA,kDB],即z′∈[1,5],∴z=1+2·z′∈[3,11].
*12.(2016·嘉兴期末)设不等式组表示的平面区域为M,点P(x,y)是平面区域内的动点,则z=2x-y的最大值是________,若直线l:y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是________.
答案 2 [,1]
解析 不等式组对应的平面区域是以点(1,1),(1,3)和(2,2)为顶点的三角形,当z=2x-y经过点(2,2)时取得最大值2.又k=经过点(1,1)时取得最小值,经过点(1,3)时取得最大值1,所以k的取值范围是[,1].
13. 已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.
(1)写出表示区域D的不等式组;
(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.
解 (1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.
原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,
即(14-a)(-18-a)<0,
解得-18