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- 2021-06-16 发布
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考试内容
等级要求
三角函数的概念
B
同角三角函数的基本关系式
B
三角函数的诱导公式
B
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
B
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
A
两角和(差)的正弦、余弦及正切
C
二倍角的正弦、余弦及正切
B
正弦定理、余弦定理及其应用
B
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考情考向分析 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主,常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值,考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.题型以填空题为主,低档难度.
1.任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
②按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).
(3)弧度制
①1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.
③弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad;1°= rad;1 rad=度.
④弧长公式:l=|α|r.
2.任意角的三角函数
在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>0).
则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
三个三角函数的性质如下表:
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
+
+
-
-
cos α
R
+
-
-
+
tan α
{α|α≠kπ+,k∈Z}
+
-
+
-
3.三角函数线
如下图,设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线;有向线段OM为余弦线;有向线段AT为正切线
概念方法微思考
1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律.
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.
2.三角函数坐标法定义中,若取点P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,怎样定义角α的三角函数?
提示 设点P到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同.( × )
(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.( √ )
题组二 教材改编
2.[P10T6]角-225°=________弧度,这个角在第________象限.
答案 - 二
3.[P14例1]若角α的终边经过点Q,则sin α=________,cos α=________.
答案 -
4.[P10T8]一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角为________弧度.
答案
题组三 易错自纠
5.在0到2π范围内,与角-终边相同的角是________.
答案
解析 与角-终边相同的角是2kπ+(k∈Z),令k=1,可得与角-终边相同的角是.
6.已知点P在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
答案
解析 因为点P在第四象限,
所以根据三角函数的定义可知tan θ==-,
又θ∈,所以θ=.
7.函数y=的定义域为____________________________.
答案 (k∈Z)
解析 ∵2cos x-1≥0,
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
∴x∈(k∈Z).
题型一 角及其表示
1.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α用集合可表示为____________________.
答案 (k∈Z)
解析 ∵在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为,
∴所求角的集合为(k∈Z).
2.设集合M=,N=,那么集合M,N的关系是________.
答案 M⊆N
解析 由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇数;
而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N.
3.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为______________________.
答案
解析 如图,
在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,π;
在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-π,-π,故满足条件的角α构成的集合为.
4.若角α是第二象限角,则是第________象限角.
答案 一或三
解析 ∵α是第二象限角,
∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,
∴+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.
综上,是第一或第三象限角.
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.
题型二 弧度制及其应用
例1 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.若α=,R=10 cm,求扇形的面积.
解 由已知得α=,R=10 cm,
∴S扇形=α·R2=··102=(cm2).
引申探究
1.若例题条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l=α·R=×10=(cm),
S弓形=S扇形-S三角形
=·l·R-·R2·sin
=··10-·102·=(cm2).
2.若例题条件改为:“若扇形周长为20 cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
解 由已知得,l+2R=20,则l=20-2R(00.则实数a的取值范围是________.
答案 (-2,3]
解析 ∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴ ∴-2cos x成立的x的取值范围是________.
答案
解析 当x∈时,sin x>0,cos x≤0,显然sin x>cos x成立;当x∈时,如图,
OA为x的终边,此时sin x=MA,cos x=OM,sin x≤cos x;当x∈时,如图,OB为x的终边,此时sin x=NB,cos x=ON,sin x>cos x.同理当x∈时,sin x>cos x;当x∈时,sin x≤cos x.
1.角-870°的终边所在的象限是第________象限.
答案 三
解析 由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角的终边相同,在第三象限.
2.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________.
答案
解析 设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,∴正方形边长为r,∴圆心角的弧度数是=.
3.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是________.
答案 1或4
解析 设扇形的半径为r,弧长为l,
则解得或
从而α===4或α===1.
4.(2018·无锡期末)已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-,则x的值为________.
答案 10
解析 根据三角函数的定义,得tan α==-,
所以x=10.
5.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为________.
答案
解析 由题意得点P(-8m,-3),r=,
所以cos α==-,解得m=±,
又cos α=-<0,所以-8m<0,即m>0,
所以m=.
6.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且OP=,则m-n=________.
答案 2
解析 由已知tan α=3,∴n=3m,
又m2+n2=10,∴m2=1.
又sin α<0,∴m=-1,n=-3.故m-n=2.
7.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为________.
答案
解析 点P旋转的弧度数也为,
由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x=cos =-,y=sin =.
8.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在第________象限.
答案 三
解析 ∵sin θ·cos θ>0,∴sin θ>0,cos θ>0或sin θ<0,cos θ<0.当sin θ>0,cos θ>0时,θ为第一象限角,当sin θ<0,cos θ<0时,θ为第三象限角.∵sin θ+cos θ<0,∴θ为第三象限角.
9.若α是第三象限角,则y=+=________.
答案 0
解析 由于α是第三象限角,所以是第二或第四象限角.
当是第二象限角时,y=+=1-1=0;
当是第四象限角时,y=+=-1+1=0.
综上可知,y=0.
10.已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为________.
答案
解析 由题意知,点P,r=1,所以点P在第四象限,
根据三角函数的定义得cos α=sin =,
故α=2kπ-(k∈Z),所以α的最小正值为.
11.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;
④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;
⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确的命题是________.(填序号)
答案 ③
解析 举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故④错;当cos θ=-1,θ=π时,其既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.
综上可知,只有③正确.
12.函数y= 的定义域为________________.
答案 ,k∈Z
解析 利用三角函数线(如图),
由sin x≥,可知
2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.
13.如图,单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点,单位圆与y轴的正半轴交于点A,与钝角α的终边OB交于点B(xB,yB),设∠BAO=β,若sin β=,则点B的坐标为________.
答案
解析 由sin α=,r=1,得yB=sin α=sin=-cos 2β=2sin2β-1=2×2-1=.
由α为钝角,知xB=cos α=-=-.
所以B.
14.若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点,且sin α·cos β<0,则cos α·sin β=________.
答案 ±
解析 由角β的终边与单位圆交于点,得cos β=,又由sin α·cos β<0,知sin α<0,因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则|OP|=1(O为坐标原点),即x2+y2=1,又由y=x得x=-,y=-,所以cos α=x=-,因为点在单位圆上,所以2+m2=1,解得m=±,所以sin β=±,所以cos α·sin β=±.
15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=×(弦×矢+矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径为3米的弧田,如图2所示.按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米.(结果保留整数,≈1.73)
答案 5
解析 如题图2,由题意可得∠AOB=,OA=3,所以在Rt△AOD中,∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×3=,可得CD=3-=,
由AD=AO·sin =3×=,可得AB=2AD==3.
所以弧田面积S=(弦×矢+矢2)=×=+≈5(平方米).
16.如图,A,B是单位圆上的两个质点,点B的坐标为(1,0),∠BOA=60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B以2 rad/s
的角速度按顺时针方向在单位圆上运动.
(1)求经过1 s后,∠BOA的弧度;
(2)求质点A,B在单位圆上第一次相遇所用的时间.
解 (1)经过1 s后,质点A运动1 rad,质点B运动2 rad,
此时∠BOA的弧度为+3.
(2)设经过t s后质点A,B在单位圆上第一次相遇,则t(1+2)+=2π,解得t=,
即经过 s后质点A,B在单位圆上第一次相遇.