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- 2021-06-16 发布
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第七章不等式
第一节一元二次不等式及其解法
“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程a x2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
[小题体验]
1．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案：∅
2．(2017·南京、盐城二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
解析：不等式f(x)≥－1⇔或解得－4≤x≤0或00，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
1．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，1>0显然成立．
②当m≠0时，由条件知得00时，原不等式等价于－2x－x≤2，所以x>0.综上所述，原不等式的解集为.
答案：
2．(2018·南通中学检测)不等式－3x2＋6x>2的解集为________．
解析：将不等式－3x2＋6x>2转化为3x2－6x＋2<0，所以不等式的解集是.
答案：
3．解下列不等式：
(1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4.
解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为.
[谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤
[典例引领]
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为.
当a＝1时，不等式的解集为∅.
当a＞1时，不等式的解集为.
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
[即时应用]
1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是________．
解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，
所以由根与系数的关系得
－＋＝，－×＝－.
解得a＝－6，b＝5，
不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，
解集为(2,3)．
答案：(2,3)
2．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集
为∪；
当a＝0时，不等式的解集
为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集
为∪.
[锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数范围；
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．
[题点全练]
角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数范围
1．(2018·南通中学测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a≠0)，若对任意实数x，不等式2x≤f(x)≤(x＋1)2恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求a的取值范围．
解：(1)令x＝1，由2x≤f(x)≤(x＋1)2，可得2≤f(1)≤2，所以f(1)＝2.
(2)由f(1)＝2，可得a＋b＋c＝2，即b＝2－(a＋c)，
因为对一切实数x，f(x)－2x≥0恒成立，
所以ax2＋(b－2)x＋c≥0(a≠0)对一切实数x恒成立，
所以即
可得(a－c)2≤0，但(a－c)2≥0，即有a＝c＞0，
则f(x)＝ax2＋bx＋a，
f(x)≤(x＋1)2恒成立，即x2＋(b－1)x＋≤0恒成立，
所以a－＜0，且Δ＝(b－1)2－42≤0，
由b－1＝1－2a，即有Δ＝0成立．
综上可得a的取值范围是.
角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，求b的取值范围．
解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1
＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
所以b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[通法在握]
一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
方法
解 读
适合题型
判别式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立(如题点全练第1题)
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：a≥f(x
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求(如演练冲关第2题)
)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔
若f(x)<0恒成立⇔
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时(如题点全练第3题)
[演练冲关]
1．不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，
所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，
解得－8≤λ≤4.
答案：[－8,4]
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，
即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.
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1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B＝________.
解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，
由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，
所以A∩B＝{x|1x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
解析：原不等式为(x－a)<0，
由00时，－x＋2≥x2，解得00的解集为(－1,5)，其中a，b，c为常数．则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集为________．
解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,5)，所以a(x＋1)(x－5)>0，且a<0，即ax2－4ax－5a>0，则b＝－4a，c＝－5a，故cx2＋bx＋a≤0，即为－5ax2－4ax＋a≤0，从而5x2＋4x－1≤0，故不等式cx2＋bx＋a≤0的解集为.
答案：
6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
所以Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.所以a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
7．(2018·海门检测)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0的解集为________．
解析：由题意f(x)>0的解集为，不等式f(ex)>0可化为－10的解集为(－∞，－ln 3)．
答案：(－∞，－ln 3)
8．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)的图象恒在x轴上方，
所以不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对一切x∈R恒成立．
①当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.
若a＝－5，不等式可化为24x＋3>0，不满足题意；
若a＝1，不等式可化为3>0，满足题意．
②当a2＋4a－5≠0时，
应有
解得10；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)因为f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
所以f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
所以原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于
解得
10．(2018·北京朝阳统一考试)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
则a的取值范围为.
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1．(2018·江浦中学检测)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m的值为________．
解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.
答案：2
2．(2018·扬州中学检测)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为________．
解析：因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a≠0)，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，所以函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)＜0，所以(6a＋5)(2a＋3)＜0.解得－＜ a＜－.又a∈Z，所以a＝－1.不等式f(x)＞1，即为－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.
答案：(－1,0)
3．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，
所以 ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，需满足题意，
则需
解得0＜a≤1，
综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)f(x)＝＝，
由题意及(1)可知0＜a≤1，
所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，
所以a＝，
所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.
解得－＜x＜，
所以不等式的解集为.
第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[小题体验]
1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．
解析：由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，即(m＋5)(m－10)<0，所以－50.
答案：x＋y－1>0
3．(2018·南京高三年级学情调研)已知实数x，y满足条件则z＝3x－2y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当z＝3x－2y经过点A(4,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×4－2×3＝6.
答案：6
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
[小题纠偏]
1．已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y＝2x－z，将直线y＝2x进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z最大，最大值为5.
答案：5
2．实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为________．
解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0.
答案：0
[题组练透]
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k＝________.
解析：先作出不等式组
对应的平面区域，如图．
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．
当k＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1.
答案：1
2．(易错题)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a＝______.
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
答案：－1
3．(2018·广州五校联考)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为________．
解析：如图，画出可行域．易得A，B(0,2)，C(0,4)，所以可行域D的面积为×2×＝.
答案：
[谨记通法]
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(如“题组练透”第2题易忽视边界)
(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．
[锁定考向]
线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．
常见的命题角度有：
(1)求线性目标函数的最值；
(2)求非线性目标函数的最值；
(3)线性规划中的参数问题．
[题点全练]
角度一：求线性目标函数的最值
1．(2018·苏北四市一模)设实数x，y满足则3x＋2y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，令z＝3x＋2y，则y＝－x＋，故当目标函数z＝3x＋2y经过点A(1，0)时，z取得最大值，故zmax＝3.
答案：3
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得即A(－1,1)．
所以zmin＝－5.
答案：－5
角度二：求非线性目标函数的最值
3．设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是________．
解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
角度三：线性规划中的参数问题
4．(2018·苏州质检)已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得
所以2×3－1－m＝0，m＝5.
由图知，平移l经过B点时，z最小，
所以当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.
答案：5
5．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由1≤ax＋y≤4恒成立，结合图可知，a≥0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a≥1，且2a＋1≤4，故a的取值范围为.
答案：
[通法在握]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
[演练冲关]
1．已知实数x，y满足则z＝3x－y的取值范围为________．
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B(该点是直线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3
x－y取得最大值3×－＝，因此z的取值范围是.
答案：
2．(2018·连云港质检)已知实数x，y满足若z＝kx－y的最小值为－5，则实数k＝________.
解析：不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z取得最小值时，直线y＝kx－z在y轴上的截距最大，当k≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，zmin＝k－2＝－5，k＝－3适合；当k＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，zmin＝－2k＋1＝－5，k＝3适合，故k＝±3.
答案：±3
3．(2018·无锡质检)设实数x，y满足则的最小值是________．
解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，
而表示区域内一点(x，y)与点D(1,1)连线的斜率，
所以当x＝，y＝时，有最小值为－.
答案：－
[典例引领]
某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，
作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，W有最大值，
由得
所以最优解为A(50,50)，此时Wmax＝550元．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．
[由题悟法]
1．解线性规划应用题3步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
[即时应用]
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求租金最少多少元？
解：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为
目标函数为z＝1 600x＋2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示，
可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
故租金最少为36 800元．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·南京、盐城一模)已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线y＝x，则当目标函数y＝x－z过点C(1,4)时，zmin＝－3.
答案：－3
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于______．
解析：平面区域如图所示．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝.
所以S△ABC＝××1＝.
答案：
3．(2018·泰州中学高三学情调研)已知点P(x，y)满足则z＝的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．z＝表示过平面区域的点(x，y)与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A时斜率最大，由得A(1,3)，显然直线过点A(1,3)时，z取得最大值，zmax＝3.
答案：3
4．(2018·四川德阳月考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最大值为________．
解析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，
由解得则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－x＋.
由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23.
答案：23
5．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.
答案：
6．(2018·昆明七校调研)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．
解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8.
答案：－8
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·苏州期末)已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
作出直线2x－y＝0，平移直线2x－y＝0，当直线过点A时，z＝2x－y取得最大值，
联立得A(3,1)，所以zmax＝5.
答案：5
2．设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段
AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π.
答案：4π
3．若M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域的面积为________．
解析：平面区域M如图中△OAB所示，扫过M中的那部分区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形，故所求面积S＝×2×2－××＝2－＝.
答案：
4．(2018·湖南东部六校联考)实数x，y满足(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a＝______.
解析：如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝.
答案：
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．
解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．
答案：30,20
6．已知实数x，y满足约束条件则z＝5－(x2＋y2)的最大值为________．
解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数z＝5－(x2＋y2)的最大值，即求的最小值．由几何意义知就是求可行域内的点P(x，y)到原点距离的最小值．易知点O到直线x＋y－3＝0的距离最短，为，所以zmax＝5－2＝.
答案：
7．已知变量x，y满足且有无数多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m的值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z＝x＋my与直线AB重合时，有无数多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.
答案：1
8．(2018·启东中学测试)已知变量x，y满足约束条件若≤恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，表示区域内的点(x，y)与定点A(2,0)连线的斜率k，由图易知BC与y轴重合时，|k|≤kAC＝，此时a＝0，当BC向右移动时，|k|≤kAC<，此时a≤1，综上，a∈[0,1]．
答案：[0,1]
9．已知x，y满足条件
(1)求u＝x－2y的最大值和最小值；
(2)求z＝的最大值和最小值．
解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
(1)由得点B的坐标为(－1，－6)，
由得点C的坐标为(－3,2)，
平移直线u＝x－2y可知，直线过C点时，z取最小值，过B点时，z取最大值．
所以umin＝－3－2×2＝－7，
umax＝－1－2×(－6)＝11.
(2)z＝＝，求z的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x，y)与点(－5,0)连线斜率k的最大值和最小值．设点M的坐标为(－5,0)，
由(1)知点B的坐标为(－1，－6)，点C的坐标为(－3,2)，
所以kmax＝kMC＝＝1，
kmin＝kMB＝＝－，
所以的最大值是1，最小值是－.
10．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，
过C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值为1，
最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1＜－＜2，
解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范围为(－4,2)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·南通调研)已知变量x，y满足若z＝x2＋y2，则z的取值范围是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
联立得C(1,1)．
联立得B(5,2)．
z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝，dmax＝OB＝，故z的取值范围是[2,29]．
答案：[2,29]
2．设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．
解析：因为＝1＋，
而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，
易知a>0，作出可行域如图所示，由题意知的最小值是，
即min＝＝＝⇒a＝1.
答案：1
3．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，
则
目标函数为z＝3x＋2y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，
所以zmin＝3×＋2×3＝.
所以当使用甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)时，费用最省．
第三节基本不等式及其应用
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；(2)＋≥(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
答案：81
2．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
所以x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知02)在x＝n处取得最小值，则n＝________.
答案：3
2．函数f(x)＝x＋的值域为____________________．
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[典例引领]
1．(2018·启东检测)若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为________．
解析：因为点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，所以ab＝×a×2b≤×2＝，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时，“＝”成立．
答案：
2．(2018·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．
解析：因为x＞－4，所以x＋4＞0，
所以f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 －4＝2，
当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．
答案：2
3．(2018·徐州调研)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则＋的最小值为________．
解析：因为(2x＋y)2＋(x－2y)2＝5(x2＋y2)＝15，所以令(2x＋y)2＝t，(x－2y)2＝μ，所以t＋μ＝15，＋＝＋＝(t＋μ)＝5＋＋≥(5＋4)＝，当且仅当t＝5，μ＝10时取等号，所以＋的最小值为.
答案：
[由题悟法]
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
[即时应用]
1．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝，
当且仅当2x＝3－2x，
即x＝时，等号成立．
又因为∈，
所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
答案：
2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
解析：由题意得y＝，
所以2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
答案：3
3．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
[典例引领]
经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1，
所以1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－，
每1万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
所以2017年的利润y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝28－－m(m≥0)．
所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－－m(m≥0)．
(2)由(1)知y＝－＋29(m≥0)．
因为m≥0时，＋(m＋1)≥2 ＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时取等号．
所以y≤－8＋29＝21，
即当m＝3时，y取得最大值21.
所以当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．
[由题悟法]
解实际应用题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[即时应用]
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解：(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝80
＋4 160(x>1)．
(2)S(x)＝80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.
[典例引领]
1．(2018·苏州暑假测试)已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数a的值是________．
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2 ＝，当且仅当a＜0，且＝，即a＝－2，b＝4时取等号．
答案：－2
2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3.设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝.因为g(2)＞g(3)，所以g(x)min＝.所以－＋3≤－，
所以a≥－，故a的取值范围是.
答案：
[由题悟法]
求解含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[即时应用]
1．若x∈(0，＋∞)，≤a恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：设f(x)＝＝，因为x>0，所以x＋≥4，所以f(x)≤，即f(x)max＝，所以a≥.
答案：
2．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，求实数λ的最小值．
解：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的________条件．
解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2．当x＞0时，f(x)＝的最大值为________．
解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案：1
3．若a，b都是正数，则的最小值为______．
解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝2a时取等号．
答案：9
4．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
解析：y＝＝
＝－＋15≤－2 ＋15＝3.
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.
答案：3
5．(2018·扬州中学测试)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
解析：因为2logab＋3logba＝7，所以2(logab)2－7logab＋3＝0，解得logab＝或logab＝3，因为a>b>1，所以logab∈(0,1)，故logab＝，从而b＝，因此a＋＝a＋＝(a－1)＋＋1≥3，当且仅当a＝2时等号成立．
答案：3
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．
答案：80
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·启东中学调研)已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________．
解析：由题意得b＝，所以0<<1，即a∈，得＋＝＋＝＋＋2.
4(1－a)＋(4a－1)＝3，记S＝＋，则S＝＋＝[(4－4a)＋(4a－1)]＝2＋≥2＋，当且仅当＝时等号成立，
所以所求最小值为4＋.
答案：4＋
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．
解析：由题意知ab＝1，所以m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
答案：4
3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．
解析：因为2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，所以≤，所以2x＋y≤，得x＋y≤－2.
答案：(－∞，－2]
4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是________．
解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是.
答案：
5.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 m2，且高度不低于 m，记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.
解析：设横断面的高为h，
由题意得AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，
所以9＝(AD＋BC)h＝(2BC＋x)·x，故BC＝－，由得2≤x<6，
所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，
从而y＝＋≥2 ＝6，
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．
答案：2
6．(2018·苏州期末)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
解析：令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，所以＋＝＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号．则＋的最小值为.
答案：
7．(2017·南通三模)若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，所以＋的最小值是8.
答案：8
8．已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析：因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy.
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.
当且仅当x＝y＝1时右边等号成立．
所以x＋y的最大值为2.
答案：2
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
所以＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·淮安高三期中)在锐角三角形ABC中，9tan Atan B＋tan Btan C＋tan Ctan A的最小值为________．
解析：不妨设A＝B，则C＝π－2A，因为三角形ABC是锐角三角形，所以＜A＜，所以tan A＞1，所以9tan Atan B＋tan Btan C＋tan Ctan A＝9tan2A＋2tan Atan C＝9tan2A
＋2tan Atan(π－2A)＝9tan2A－2tan Atan 2A＝9tan2A－＝9tan2A＋4－＝9(tan2A－1)＋＋13≥25，所以9tan Atan B＋tan Btan C＋tan Ctan A的最小值为25.
答案：25
2．(2018·苏北四市联考)已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为________．
解析：法一：由x＋y＋4＝2xy≤得(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥4.原不等式整理可得(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4，则t2－at＋1≥0，t∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，(*)式恒成立；当a<－2时，对称轴t＝<－1，(*)式恒成立；当a>2时，对称轴t＝，要使(*)式恒成立，则<4，且16－4a＋1≥0，得20，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：因为x⊗y＝，所以(2y)⊗x＝.又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
答案：
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