【数学】2018届一轮复习北师大版第七章立体几何第四节直线平面平行的判定与性质教案 11页

第四节　直线、平面平行的判定与性质 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，11,5分(面面平行性质、线线角)‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，14,5分(线面平行性质)‎ ‎2016，北京卷，17,14分(线面平行、垂直的判定)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，18(Ⅰ)，12分(线面平行的判定与性质)‎ ‎1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容；‎ ‎2.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．直线与平面平行 ‎(1)判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)。‎ ⇒l∥α ‎(2)性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记线面平行⇒线线平行)。‎ ⇒a∥b ‎2.平面与平面平行 ‎(1)判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ‎(2)两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ‎3.平行关系中的两个重要结论 ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β。‎ ‎(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ。‎ 微点提醒 ‎1．推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内。‎ ‎2．推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面。‎ ‎3．利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修2P‎61A组T1(1)改编)下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α ‎【解析】　A错误，因a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(必修2P56练习T2)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________。‎ ‎【解析】　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，点E，O分别是DD1，BD的中点，则EO∥BD1，又因为EO⊂平面ACE，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面ACE。‎ ‎【答案】　平行 二、双基查验 ‎1．若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)‎ A．l∥α　　　　　　　　　 B．l⊥α C．l与α相交且不垂直 D．l∥α或l⊂α ‎【解析】　由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是(　　)‎ A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 ‎【解析】　由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：‎ ‎①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；‎ ‎③若a∥α，b∥α，则a∥b。‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．0个　　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【解析】　对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；‎ 对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；‎ 对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：‎ ‎①a与β内的所有直线平行；‎ ‎②a与β内无数条直线平行；‎ ‎③a与β内的任意一条直线都不垂直。‎ 其中真命题的序号是________。‎ ‎【解析】　由面面平行和线面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误。‎ ‎【答案】　②‎ ‎5．在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，平面D1BQ∥平面PAO。‎ ‎【解析】　如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA。‎ 连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，‎ 又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO。故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO。‎ ‎【答案】　Q为CC1的中点 微考点　大课堂 考点一 ‎ 线面平行的判定及性质 ‎【典例1】　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点。‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD。‎ ‎【证明】　(1)连接EC，‎ ‎∵AD∥BC，BC＝AD，‎ ‎∴BC綊AE，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点。‎ 又∵F是PC的中点，‎ ‎∴FO∥AP，‎ FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF。‎ ‎(2)连接FH，OH，‎ ‎∵F，H分别是PC，CD的中点，‎ ‎∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD。‎ 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，‎ ‎∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD。‎ 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD。‎ 又∵GH⊂平面OHF，‎ ‎∴GH∥平面PAD。‎ 反思归纳　判断或证明线面平行的常用方法 ‎1．利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎2．利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎3．利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎4．利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)。‎ ‎【变式训练】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证：AP∥GH。‎ ‎【证明】　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴O是AC的中点，又M是PC的中点，‎ ‎∴AP∥OM。‎ 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，‎ ‎∴PA∥平面BMD。‎ ‎∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，‎ 且PA⊂平面PAHG，‎ ‎∴PA∥GH。‎ 考点二 ‎ 面面平行的判定与性质 ‎【典例2】　(2016·山东高考)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB。‎ ‎(1)已知AB＝BC，AE＝EC。求证：AC⊥FB；‎ ‎(2)已知G，H分别是EC和FB的中点。求证：GH∥平面ABC。‎ ‎【证明】　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，连接DE。‎ 因为AE＝EC，D为AC的中点，‎ 所以DE⊥AC。‎ 同理可得BD⊥AC。‎ 又BD∩DE＝D，‎ 所以AC⊥平面BDEF，‎ 因为FB⊂平面BDEF，‎ 所以AC⊥FB。‎ ‎(2)设FC的中点为I，连接GI，HI。‎ 在△CEF中，因为G是CE的中点，‎ 所以GI∥EF。‎ 又EF∥DB，所以GI∥DB。‎ 在△CFB中，因为H是FB的中点，‎ 所以HI∥BC，‎ 又HI∩GI＝I，‎ 所以平面GHI∥平面ABC。‎ 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC。‎ 反思归纳　证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义；‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化。‎ ‎【变式训练】　(2016·衡水模拟)如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC。‎ ‎(1)求几何体ABCDFE的体积；‎ ‎(2)证明：平面ADE∥平面BCF。‎ ‎【解析】　(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG。‎ ‎∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，‎ ‎∴AO⊥平面BCED。同理FG⊥平面BCED。∵AO＝FG＝，‎ ‎∴VABCDFE＝2VF—BCED＝×4××2＝。‎ ‎(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，‎ ‎∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF。‎ 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ ‎∴平面ADE∥平面BCF。‎ ‎【答案】　(1)　(2)见解析 考点三 ‎ 平行关系中的探索性问题 ‎【典例3】　(2016·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC。‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点。在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由。‎ ‎【解析】　(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC。‎ 又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，‎ 所以DC⊥平面PAC。‎ ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC。‎ 因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥AB，又∵PC∩AC＝C。‎ 所以AB⊥平面PAC，AB⊂平面PAB。‎ 所以平面PAB⊥平面PAC。‎ ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF。证明如下：‎ 如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF。‎ 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA。‎ 又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF。‎ ‎【答案】　(1)(2)见解析　(3)存在，理由见解析 反思归纳　解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在。而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明。‎ ‎【变式训练】　如图，已知四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面ABCD为菱形。‎ ‎(1)证明：平面AB‎1C∥平面DA‎1C1；‎ ‎(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA‎1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】　(1)证明：由棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的性质知，AB1∥DC1，∵AB1⊄平面DA‎1C1，DC1⊂平面DA‎1C1，∴AB1∥平面DA‎1C1，‎ 同理可证B‎1C∥平面DA‎1C1，而AB1∩B‎1C＝B1，‎ 由面面平行的判定定理知，平面AB‎1C∥平面DA‎1C1。‎ ‎(2)存在这样的点P，使BP∥平面DA‎1C1。‎ ‎∵A1B1綊AB綊DC，‎ ‎∴四边形A1B1CD为平行四边形。‎ ‎∴A1D∥B‎1C。‎ 在C‎1C的延长线上取点P，使C‎1C＝CP，连接BP，‎ ‎∵B1B綊C‎1C，∴B1B綊CP，‎ ‎∴四边形BB1CP为平行四边形，‎ 则BP∥B‎1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA‎1C1。‎ ‎【答案】　(1)见解析　(2)存在　P在C‎1C的延长线上，且C‎1C＝CP 微考场　新提升 ‎1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2‎ C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α 解析　由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件。故选A。‎ 答案　A ‎2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A。‎ 答案　A ‎3．已知不重合的直线a，b和平面α，‎ ‎①若a∥α，b⊂α，则a∥b；‎ ‎②若a∥α，b∥α，则a∥b；‎ ‎③若a∥b，b⊂α，则a∥α；‎ ‎④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α。‎ 其中命题正确的是________。(填序号)‎ 解析　①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α。‎ 答案　④‎ ‎4．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：‎ ‎①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；‎ ‎②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n。‎ 其中真命题为________。‎ 解析　①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l，m。‎ ‎②中l与m也可能异面。‎ ‎③中⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确。‎ 答案　③‎ ‎5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点。‎ ‎(1)求证：PA∥平面EFG；‎ ‎(2)求三棱锥P－EFG的体积。‎ 解析　(1)证明：如图，取AD的中点H，连接GH，FH。‎ ‎∵E，F分别为PC，PD的中点，‎ ‎∴EF∥CD。‎ ‎∵G，H分别是BC，AD的中点，‎ ‎∴GH∥CD。∴EF∥GH。‎ ‎∴E，F，H，G四点共面。‎ ‎∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH。‎ ‎∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，‎ ‎∴PA∥平面EFG。‎ ‎(2)∵PD⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥CG。‎ 又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，‎ ‎∴GC⊥平面PCD。‎ ‎∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，‎ ‎∴S△PEF＝EF·PF＝。‎ 又GC＝BC＝1，‎ ‎∴VP－EFG＝VG－PEF＝××1＝。‎ 答案　(1)见解析　(2)