【数学】2018届一轮复习苏教版I2-6对数与对数函数教案（江苏专用） 13页

‎2.6 对数与对数函数 ‎1.对数的概念 一般地，如果a (a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，N叫做真数.‎ ‎2.对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R).‎ ‎(2)对数的性质 ‎①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1).‎ ‎(3)对数的换底公式 logaN＝(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1).‎ ‎3.对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，y>0‎ 当01时，y<0‎ 当00‎ 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab＝；‎ ‎(2)logambn＝logab.‎ 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.‎ ‎2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)‎ ‎(2)logax·logay＝loga(x＋y).(　×　)‎ ‎(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数.(　×　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　×　)‎ ‎(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　√　)‎ ‎(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)的值为________.‎ 答案　 解析　原式＝＝＝＝.‎ ‎2.(2016·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为____________.‎ 答案　(－∞，]‎ 解析　由题意可得－x2＋2>0，‎ 即－x2＋2∈(0，2]，‎ 故所求函数的值域为(－∞，].‎ ‎3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0,0b>0，∴logca0，得0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________.‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ 解析　当01时，loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).‎ 题型一　对数的运算 例1　计算下列各式：‎ ‎(1)lg 25＋lg 2＋lg ＋lg(0.01)－1；‎ ‎(2)2log32－log3＋log38－3log55.‎ 解　(1)原式＝lg ‎＝lg(5×2××102)‎ ‎＝lg ＝.‎ ‎(2)原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3‎ ‎＝log3(22×32×2－5×23)－3‎ ‎＝log332－3‎ ‎＝2－3＝－1.‎ 思维升华　对数运算的一般思路 ‎(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.‎ ‎(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.‎ ‎　(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.‎ ‎(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.‎ 答案　(1)　(2)1‎ 解析　(1)∵a＝log43＝3＝log23＝log2，‎ ‎∴2a＋2－a＝‎ ‎＝＋‎ ‎＝＋＝.‎ ‎(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋ ‎＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2‎ ‎＝lg 2＋1－lg 2＝1.‎ 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是________.‎ ‎①a>1，c>1; ②a>1,01; ④01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1).‎ 思维升华　(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.‎ ‎　(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________.‎ ‎(2)已知f(x)＝|lg x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是__________.‎ 答案　(1)②　(2)f(c)>f(a)>f(b)‎ 解析　(1)由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.①中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；②中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.‎ ‎(2)先作出函数y＝lg x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|lg x|的图象，如图. ‎ 由图可知，f(x)＝|lg x|在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f()＞f(a)＞f(b)，而f()＝|lg |＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).所以f(c)＞f(a)＞f(b).‎ 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数值的大小 例3　(2015·天津改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________.‎ 答案　c＜a＜b 解析　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，‎ 所以f(x)＝2|x|－1.‎ 所以a＝f(log0.53)＝－1＝2，‎ b＝f(log25)＝－1＝2log25－1＝4，‎ c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c1的解集为________.‎ 答案　(1)(0，)∪(1，＋∞)　(2)(－1，)‎ 解析　(1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga1可转化为3x＋1>1⇒x＋1>0⇒x>－1，∴－10，则不等式f(x)>1可转化为x>1⇒x<，‎ ‎∴01的解集是(－1，).‎ 命题点3　和对数函数有关的复合函数 例5　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).‎ ‎(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，‎ 因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3).‎ 由－x2＋2x＋3>0，得－11时，1－log2x≤2，‎ 解得x≥，所以x>1.‎ 综上可知x≥0.‎ ‎(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，‎ 则有即 解得1≤a<2，即a∈[1,2).‎ ‎3.比较指数式、对数式的大小 考点分析　比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.‎ 典例　(1)(2016·全国乙卷改编)若a>b>0,0cb.‎ ‎(2)(2016·南京模拟)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则a，b，c的大小关系为______________.‎ ‎(3)若实数a，b，c满足loga2b>0，所以lg a>lg b，‎ 但不能确定lg a、lg b的正负，‎ 所以它们的大小不能确定，所以①错；‎ 对②：logca＝，logcb＝，‎ 而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以②正确；‎ 对③：由y＝xc在第一象限内是增函数，‎ 即可得到ac>bc，所以③错；‎ 对④：由y＝cx在R上为减函数，‎ 得ca20＝1,0＝logπ1b>c.‎ ‎(3)由loga2b>c　(3)①‎ ‎1.(教材改编)给出下列4个等式：‎ ‎①log253＝3log25；②log253＝5log23；③log84＝；④＝4.其中正确的等式是________.(写出所有正确的序号)‎ 答案　①③④‎ 解析　②中＝log23，故②不正确，①③④都正确.‎ ‎2.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系为__________.‎ 答案　c2.‎ ‎∵c＝0.83.1，‎ ‎∴00，a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为____________.‎ 答案　(0，＋∞)‎ 解析　令M＝x2＋x，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝(x＋)2－，‎ 因此M的单调递增区间为(－，＋∞).‎ 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).‎ ‎7.(2015·安徽)lg＋2lg 2－－1＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2‎ ‎＝lg －2＝1－2＝－1.‎ ‎8.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.‎ 答案　4　2‎ 解析　令logab＝t，∵a>b>1，∴00，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(，1)‎ 解析　当00，即0<－a<1，‎ 解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，‎ 所以loga(1－a)>0，即1－a>1，‎ 解得a<0，此时无解.‎ 综上所述，实数a的取值范围是(，1).‎ ‎10.(2016·南通模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：‎ ‎①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；‎ ‎②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；‎ ‎③函数f(x)的最小值为lg 2；‎ ‎④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数.‎ 其中是真命题的序号为________.‎ 答案　①③④‎ 解析　∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，‎ 即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；‎ 当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg(x＋)，‎ 令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.‎ ‎11.(2016·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是____________.‎ 答案　(－2,0)∪(2，＋∞)‎ 解析　当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1, f(x)<0，即log2(－x)－1<0，解得－20时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0，即1－log2x<0，解得x>2，综上，不等式f(x)<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞).‎ ‎12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________.‎ 答案　7‎ 解析　由f(m)＋f(2n)＝3，得 log2[(m－2)(2n－2)]＝3⇒(m－2)(2n－2)＝23，‎ 即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，‎ 由基本不等式得()2≥4(当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时等号成立)，从而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.‎ ‎13.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值.‎ 解　(1)∵f(1)＝2，‎ ‎∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.‎ 由得x∈(－1,3)，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1,3).‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2(1＋x)(3－x)‎ ‎＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ ‎14.(2016·盐城模拟)已知函数f(x)＝ln .‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)由>0，‎ 解得x<－1或x>1，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，‎ 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，‎ f(－x)＝ln ＝ln ‎＝ln()－1‎ ‎＝－ln ＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝ln 是奇函数.‎ ‎(2)由于x∈[2,6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，‎ ‎∴>>0，‎ ‎∵x∈[2,6]，‎ ‎∴0