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- 2021-06-16 发布
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第5讲 导数及其应用
导数的运算和几何意义 自主练透 夯实双基
1.导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.四个易误导数公式
(1)(sin x)′=cos x;
(2)(cos x)′=-sin x;
(3)(ax)′=axln a(a>0,且a≠1);
(4)(logax)′=(a>0,且a≠1,x>0).
[题组通关]
1.(2016·郑州市第二次质量检测)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
C [解析] f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,所以P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.
2.(2016·高考天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.
[解析] 由题意得f′(x)=(2x+3)ex,则得f′(0)=3.
[答案] 3
3.(2016·高考全国卷丙)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
[解析] 由题意可得当x>0时,f(x)=1n x-3x,则f′(x)=-3,f′(1)=-2,则在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.
[答案] y=-2x-1
利用导数几何意义解题的思路
(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化.
(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解.
利用导数研究函数的性质 数学思想 活学活用
1.导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)在此区间内为常函数,函数不具有单调性.
2.导数与函数的极值、最值的关系
(1)若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
(2016·高考山东卷)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
【解】 (1)由f′(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
则g′(x)=-2a=.
当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈时,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.
(2)由(1)知,f′(1)=0.
①当a≤0时,f′(x)单调递增,
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01,由(1)知f′(x)在内单调递增,
可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为a>.
(1)与单调性有关的两类问题的求解策略
①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
(2)利用导数求函数最值的方法技巧
①对含参数的函数解析式求最值时,常常分类讨论,分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部,从而根据单调性求出最值.
②求极值和最值时,为了直观易懂,常常列出x的取值范围与y′的符号及y的单调区间、极值的对应表格.
(3)数学思想
①本例利用了分类讨论思想,在第(1)问中根据a的正负确立单调区间,而第(2)问由a的取值不同,而单调区间不同,导致x=1处所取得的极值不同,从而进行分类讨论.
②利用分类讨论的思想可解决求函数的单调区间、函数单调性的判断,函数的极值与最值,确立参数范围等问题.
[跟踪训练]
(2016·云南省第一次统一检测)已知常数a≠0,f(x)=aln x+2x.
(1)当a=-4时,求f(x)的极值;
(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.
[解] (1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0,+∞),
f′(x)=+2=.
当a=-4时,f′(x)=.
所以当0<x<2时,f′(x)<0,即f(x)单调递减;当x>2时,f′(x)>0,即f(x)单调递增.
所以f(x)只有极小值,且在x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.
所以当a=-4时,f(x)只有极小值4-4ln 2.
(2)因为f′(x)=,
所以当a>0,x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,没有最小值;
当a<0时,由f′(x)>0得,x>-,所以f(x)在上单调递增;
由f′(x)<0得,x<-,所以f(x)在上单调递减.
所以当a<0时,f(x)的最小值为f=aln+2.
根据题意得f=aln+2≥-a,
即a[ln(-a)-ln 2]≥0.
因为a<0,所以ln(-a)-ln 2≤0,
解得a≥-2,
所以实数a的取值范围是[-2,0).
利用导数解决与不等式有关的问题 共研典例 类题通法
已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx(k∈R).
(1)证明:当x>0时,f(x)0,使得对任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
【证明】 (1)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x∈(0,+∞),
则有F′(x)=-1=.
当x∈(0,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在(0,+∞)上单调递减,
故当x>0时,F(x)0时,f(x)0,故G(x)在(0,+∞)上单调递增,G(x)>G(0)=0.故任意正实数x0均满足题意.
当00.
取x0=-1,对任意x∈(0,x0),有G′(x)>0,
从而G(x)在(0,x0)上单调递增,所以G(x)>G(0)=0,即f(x)>g(x).
综上,当k<1时,总存在x0>0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
利用导数证明不等式的四个依据
(1)依据待证不等式的特征、变量的取值范围及不等式的性质,将待证不等式化简.
(2)依据不等式构造函数.
(3)依据导数研究函数的单调性,求其最值.
(4)依据单调性及最值,得到待证不等式.
[跟踪训练]
已知函数f(x)=aln x+1(a>0).
(1)当x>0时,求证:f(x)-1≥a;
(2)若在区间(1,e)上f(x)>x恒成立,求实数a的取值范围.
[解] (1)证明:设φ(x)=f(x)-1-a=aln x-a(x>0),
则φ′(x)=-.
令φ′(x)=0,则x=1.
当01时,φ′(x)>0,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增,故φ(x)在x=1处取到极小值也是最小值,故φ(x)≥φ(1)=0,即f(x)-1≥a.
(2)由f(x)>x得aln x+1>x,即a>.
令g(x)=(10,
故h(x)在区间(1,e)上单调递增,所以h(x)>h(1)=0.
因为h(x)>0,所以g′(x)>0,即g(x)在区间(1,e)上单调递增,则g(x)0,
所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.
(2)由(1)得h(x)=ex-1--x.
由g(x)=+x知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,
则x=0为h(x)的一个零点,而h(x)在(1,2)内有零点,
因此h(x)在[0,+∞)上至少有两个零点.
因为h′(x)=ex-x--1,记φ(x)=ex-x--1,
则φ′(x)=ex+x-.
当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
则φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点,
即h(x)在[0,+∞)内至多有两个零点.
所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.
课时作业
1.(2016·贵州省适应性考试)已知M为不等式组表示的平面区域,直线l:y=2x+a,当a从-2连续变化到0时,区域M被直线l扫过的面积为( )
A. B.2
C. D.
D [解析] 作出图形可得区域M被直线l扫过的面积为x2dx-×1×2=1-1=×(8-1)-1=,选项D正确.
2.(2016·广州高考模拟)已知y=f(x)为R上的连续可导函数,且xf′(x)+f(x)>0,则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为( )
A.0 B.1
C.0或1 D.无数个
A [解析] 因为g(x)=xf(x)+1(x>0),g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(0)=1,y=f(x)为R上的连续可导函数,所以g(x)为(0,+∞)上的连续可导函数,g(x)>g(0)=1,所以g(x)在(0,+∞)上无零点.
3.直线y=a分别与曲线y=2(x+1),y=x+ln x交于A,B,则|AB|的最小值为________.
[解析] 设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+ln x2,
所以x1=(x2+ln x2)-1,
所以|AB|=x2-x1=(x2-ln x2)+1,
令y=(x-ln x)+1,则y′=,所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,函数取得最小值,即|AB|min=.
[答案]
4.设函数f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为________.
[解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax-b,由f′(1)=0,得b=1-a.所以f′(x)=-ax+a-1==-.
①若a≥0,当00,f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点;
②若a<0,由f′(x)=0,得x=1或x=-,因为x=1是f(x)的极大值点,所以->1,解得-1-1.
[答案] (-1,+∞)
5.(2016·高考北京卷)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
[解] (1)因为f(x)=xea-x+bx,
所以f′(x)=(1-x)ea-x+b.
依题设,即
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f′(x)与
1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g′(x)=-1+ex-1.
所以当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,
从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞).
故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
6.已知函数f(x)=的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)若对任意x1,x2∈[e2,+∞),有>,求实数k的取值范围.
[解] (1)由题意得f′(x)=,f′(1)=0,解得a=1.
令f′(x)==0,解得x=1,即f(x)有极大值为f(1)=1.
(2)由>,
可得>k,令g=f(x),则g(x)=x-xln x,其中x∈(0,e-2],g′(x)=-ln x,又x∈(0,e-2],则g′(x)=-ln x≥2,
即>2,
因此实数k的取值范围是(-∞,2].
7.(2016·兰州市实战考试)已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a∈R).
(1)当01>0,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
(2)a=∈,-1=3∉(0,2),由(1)知,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-.
对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)等价于g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值-,(*)又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],
所以,①当b<1时,[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,此时与(*)矛盾;
②当1≤b≤2时,[g(x)]min=4-b2≥0,同样与(*)矛盾;
③当b>2时,[g(x)]min=g(2)=8-4b,且当b>2时,8-4b<0,解不等式8-4b≤-,可得b≥,
所以实数b的取值范围为.
8.(2016·河南省六市第一次联考)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)在[1,a](a>1)上的最小值;
(2)若关于x的不等式f2(x)+mf(x)>0只有两个整数解,求实数m的取值范围.
[解] (1)f′(x)=(x>0),
令f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为;
令f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为.
因为x∈[1,a],
所以当1时,f(x)在上为增函数,在上为减函数.
又f(2)==ln 2=f(1),
所以若2,f(x)的最小值为f(a)=,
综上,当12时,f(x)的最小值为f(a)=.
(2)由(1)知,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,且在上有ln 2x>ln e=1>0,又x>0,则f(x)>0.又f=0,
所以当m>0时,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)>0或f(x)<-m,
而f(x)>0的解集为,整数解有无数多个,不合题意;当m=0时,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)≠0,解集为∪,整数解有无数多个,不合题意;
当m<0时,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)>-m或f(x)<0,
f(x)<0的解集为,无整数解,
若不等式f2(x)+mf(x)>0有两个整数解,则f(3)≤-m