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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.某一随机变量ξ的概率分布列如下表,且 m+2n=1.2,则 m-n
2
的值为
( )
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.-0.2 B.0.2
C.0.1 D.-0.1
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得 m+n+0.2=1,又 m+2n
=1.2,解得 m=n=0.4,可得 m-n
2
=0.2.
【答案】 B
2.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量 X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量 X
C . 从 装 有 5 个 红 球 , 3 个 白 球 的 袋 中 取 1 个 球 , 令 随 机 变 量 X =
{1,取出白球 0,取出红球
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量 X
【解析】 A 中随机变量 X 的取值有 6 个,不服从两点分布,故选 A.
【答案】 A
3.在 15 个村庄中,有 7 个村庄交通不太方便,现从中任意选 10 个村庄,
用ξ表示 10 个村庄中交通不太方便的村庄数,下列概率中等于C47C68
C1015
的是( )
A.P(ξ=2) B.P(ξ≤2)
C.P(ξ=4) D.P(ξ≤4)
【解析】 A 项,P(ξ=2)=C27C88
C1015
;
B 项,P(ξ≤2)=P(ξ=2)≠C47C68
C1015
;
C 项,P(ξ=4)=C47C68
C1015
;
D 项,P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)>C47C68
C1015
.
【答案】 C
4.抛掷两颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)等于( )
A.1
6 B.1
3
C.1
2 D.2
3
【解析】 根据题意,有 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两颗
骰子,按所得的点数共 36 个基本事件,而 X=2 对应(1,1),X=3 对应(1,2),(2,1),
X=4 对应(1,3),(3,1),(2,2),
故 P(X=2)= 1
36
,P(X=3)= 2
36
= 1
18
,
P(X=4)= 3
36
= 1
12
,所以 P(X≤4)= 1
36
+ 1
18
+ 1
12
=1
6.
【答案】 A
5.随机变量ξ的概率分布列为 P(ξ=n)= a
nn+1
,n=1,2,3,4,其中 a 是常数,
则 P
1
2<ξ<5
2 的值为( )
A.2
3 B.3
4
C.4
5 D.5
6
【解析】 a
1×2
+ a
2×3
+ a
3×4
+ a
4×5
=
a 1-1
2 +
1
2
-1
3 +
1
3
-1
4 +
1
4
-1
5
=4
5a=1.
∴a=5
4.
∴P
1
2<ξ<5
2 =P(ξ=1)+P(ξ=2)
=5
4
×
1
1×2
+ 1
2×3 =5
6.
【答案】 D
二、填空题
6.若随机变量 X 服从两点分布,则 P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令 Y=3X
-2,则 P(Y=-2)=________.
【解析】 由 Y=-2,且 Y=3X-2,得 X=0,
∴P(Y=-2)=0.8.
【答案】 0.8
7.设离散型随机变量 X 的概率分布列为:
X -1 0 1 2 3
P 1
10 m 1
10
1
5
2
5
则 P(X≤2)=________.
【解析】 P(X≤2)=1-2
5
=3
5.
【答案】 3
5
8.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分 X 的分布列如下表,其中 a,b,
c 成等差数列,且 c=ab,
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得 3 分的概率是________.
【解析】 由题中条件,知 2b=a+c,c=ab,再由分布列的性质,知 a+b
+c=1,且 a,b,c 都是非负数,由三个方程联立成方程组,可解得 a=1
2
,b=
1
3
,c=1
6
,所以得 3 分的概率是1
6.
【答案】 1
6
三、解答题
9.一个袋中有形状、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球.
(1)从中任意摸出一球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出红球,即 X=
{0,摸出白球, 1,摸出红球, 求 X 的分布列;
(2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白球,用“X=1”表
示两个球不全是白球,求 X 的分布列.
【解】 (1)X 的分布列如下表:
X 0 1
P 3
7
4
7
(2)X 的分布列如下表:
X 0 1
P 1
7
6
7
10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动,有 8 名同学参加,其中
有 5 名男同学,3 名女同学,为了活动的需要,要从这 8 名同学中随机抽取 3 名
同学去执行一项特殊任务,记其中有 X 名男同学.
(1)求 X 的分布列;
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.
【解】 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3.根据公式 P(X=k)=CkMCn-kN-M
CnN
,k=0,1,2,…,
m,其中 m=min{M,n}算出其相应的概率.
即 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
56
15
56
15
28
5
28
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P=P(X=1)+P(X=2)=15
56
+15
28
=45
56.
[能力提升]
1.一个袋中有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个同样大小
的白球,编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球,有如下几种变量:
①X 表示取出的最大号码;
②X 表示取出的最小号码;
③取出一个黑球记 2 分,取出一个白球记 1 分,X 表示取出的 4 个球的总得
分;
④X 表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
【解析】 由超几何分布的概念知③④符合,故选 B.
【答案】 B
2.(2016·周口中英文学校月考)设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为:
X -1 0 1
P 1
2 1-2q q2
则 q 为( ) 【导学号:97270035】
A.1 B.1± 2
2
C.1+ 2
2 D.1- 2
2
【解析】 由分布列性质(2)知1
2
+1-2q+q2=1,
解得 q=1± 2
2
,又由性质(1)知 1-2q≥0,
∴q≤1
2
,∴q=1- 2
2
,故选 D.
【答案】 D
3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一
个数据模糊,无法确认,在图 211 中以 X 表示.
甲组 乙组
9 9 0 X 8 9
1 1 1 0
图 211
如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树
总棵数 Y 的分布列.
【解析】 当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数分别是 9,9,11,11;
乙组同学的植树棵数分别是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共
有 4×4 = 16 种 可 能 的 结 果 , 这 两 名 同 学 植 树 总 棵 树 Y 的 可 能 取 值 为
17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同
学植树 8 棵”,所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 2
16
=1
8.
同理可得 P(Y=18)=1
4
;P(Y=19)=1
4
;
P(Y=20)=1
4
;P(Y=21)=1
8.
所以随机变量 Y 的分布列为
Y 17 18 19 20 21
P 1
8
1
4
1
4
1
4
1
8
【答案】
Y 17 18 19 20 21
P 1
8
1
4
1
4
1
4
1
8
4.(2016·西安高二检测)袋中有 4 个红球、3 个黑球,随机取球,设取到一个
红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分,从袋中任取 4 个球.
(1)求得分 X 的分布列;
(2)求得分大于 6 分的概率.
【解】 (1)从袋中随机摸 4 个球的情况为
1 红 3 黑,2 红 2 黑,3 红 1 黑,4 红.
分别得分为 5 分,6 分,7 分,8 分.
故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
P(X=5)=C14C33
C47
= 4
35
,
P(X=6)=C24C23
C47
=18
35
,
P(X=7)=C34C13
C47
=12
35
,
P(X=8)=C44C03
C47
= 1
35.
故所求分布列为
X 5 6 7 8
P 4
35
18
35
12
35
1
35
(2)根据随机变量 X 的分布列,可以得到得分大于 6 分的概率为 P(X>6)=P(X
=7)+P(X=8)=12
35
+ 1
35
=13
35.
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