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- 2021-06-16 发布
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1.1
利用函数性质判定方程解的存在性
激趣诱思
知识点拨
请观察右图
,
这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图
(
即一个连续不间断的函数图象
),
由于图象中有一段被墨水污染了
,
现在有人想了解一下当天
7
时到
11
时之间有无可能出现温度是
0
摄氏度
,
你能帮助他吗
?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的零点
1
.
代数定义
:
使得
f
(
x
0
)
=
0
的
称为方程
f
(
x
)
=
0
的解
,
也称为函数
f
(
x
)
的零点
.
2
.
几何定义
:
f
(
x
)
的零点就是函数
y=f
(
x
)
的图象与
x
轴交点的
.
数
x
0
横坐标
名师点析
1
.
函数的零点是一个实数
,
而不是一个点
.
例如
,
函数
f
(
x
)
=x+
1
的零点是
-
1,
而不是
(
-
1,0)
.
2
.
并不是所有的函数都有零点
,
如
f
(
x
)
=
1,
f
(
x
)
=x
2
+
1
就没有零点
.
3
.
若函数有零点
,
则零点一定在函数的定义域内
.
4
.
函数
F
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
)
的零点就是方程
f
(
x
)
=g
(
x
)
的
解
,
也就是函数
y
1
=f
(
x
)
与
y
2
=g
(
x
)
的图象交点的横坐标
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数
f
(
x
)
=x
2
-
1
的零点是
(
)
A.(
±
1,0)
B.(1,0)
C.0
D
.
±
1
答案
:
D
解析
:
解方程
f
(
x
)
=x
2
-
1
=
0,
得
x=
±
1,
因此函数
f
(
x
)
=x
2
-
1
的零点是
±
1
.
激趣诱思
知识点拨
二、零点存在定理
若函数
y=f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上的图象是一条连续的曲线
,
并且在区间端点的函数值一正一负
,
即
f
(
a
)·
f
(
b
)
<
0,
则
在
开
区间
(
a
,
b
)
内
,
函数
y=f
(
x
)
至少有一个零点
.
即
在区间
(
a
,
b
)
内相应的方程
f
(
x
)
=
0
至少有一个解
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1
.
定理要求具备两个条件
:(1)
函数在区间
[
a
,
b
]
上的图象是一条连续的曲线
;(2)
f
(
a
)
·f
(
b
)
<
0
.
这两个条件缺一不可
.
2
.
利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在
,
而不能确定零点的个数
.
3
.
若函数
y=f
(
x
)
的图象在区间
[
a
,
b
]
上是一条连续的曲线
,
则由
f
(
a
)
·f
(
b
)
<
0
可以推出函数
y=f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内存在零点
,
但是由函数
y=f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内存在零点不一定能推出
f
(
a
)
·f
(
b
)
<
0
.
如
f
(
x
)
=x
2
在
(
-
1,1)
内存在零点
,
但
f
(
-
1)
·f
(1)
>
0
.
4
.
如果单调函数
y=f
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上的图象是一条连续的曲线
,
并且有
f
(
a
)
·f
(
b
)
<
0,
那么函数
y=f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内有唯一的零点
,
即存在唯一的
x
0
∈
(
a
,
b
),
使得
f
(
x
0
)
=
0,
这个
x
0
也就是方程
f
(
x
)
=
0
的解
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
1
函数
y=f
(
x
)
的图象是在闭区间
[
a
,
b
]
上的一条连续不断的曲线
.
若
f
(
a
)·
f
(
b
)
>
0,
则
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内没有零点
.
(
)
微练习
2
函数
f
(
x
)
=x
3
+
2
x+
1
的零点一定位于下列哪个区间上
(
)
A.[
-
2,
-
1]
B.[
-
1,0]
C.[0,1]
D
.[1,2]
答案
:
×
答案
:
B
解析
:
因为
f
(
-
2)
=-
11
<
0,
f
(
-
1)
=-
2
<
0,
f
(0)
=
1
>
0,
f
(1)
=
4
>
0,
f
(2)
=
13
>
0,
所以
f
(
-
1)·
f
(0)
<
0
.
所以
f
(
x
)
的零点在区间
[
-
1,0]
上
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的零点
例
1
判断下列函数是否存在零点
,
如果存在
,
请求出零点
.
(1)
f
(
x
)
=-
8
x
2
+
7
x+
1;
(2)
f
(
x
)
=
1
+
log
3
x
;
(3)
f
(
x
)
=
4
x
-
16
.
分析
可通过解方程
f
(
x
)
=
0
求得函数的零点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
因为函数
f
(
x
)
的零点就是方程
f
(
x
)
=
0
的解
,
也是函数
y=f
(
x
)
的图象与
x
轴
交
点
的横坐标
,
所以求函数的零点通常有两种方法
:
一是代数法
,
令
f
(
x
)
=
0,
通过求方程
f
(
x
)
=
0
的解求得函数的零点
;
二是几何法
,
画出函数
y=f
(
x
)
的图象
,
图象与
x
轴
交
点
的横坐标即函数的零点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
已知函数
f
(
x
)
=x
2
+
3(
m+
1)
x+n
的零点是
1
和
2,
求函数
y=
log
n
(
mx+
1)
的零点
.
解
:
由题意知函数
f
(
x
)
=x
2
+
3(
m+
1)
x+n
的零点为
1
和
2,
则
1
和
2
是方程
x
2
+
3(
m+
1)
x+n=
0
的解
.
所以函数
y=
log
n
(
mx+
1)
的解析式为
y=
log
2
(
-
2
x+
1)
.
令
log
2
(
-
2
x+
1)
=
0,
得
x=
0
.
所以函数
y=
log
2
(
-
2
x+
1)
的零点为
0
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数零点个数的判断
例
2
判断下列函数零点的个数
:
(1)
f
(
x
)
=
(
x
2
-
4)log
2
x
;
(3)
f
(
x
)
=
2
x
+
lg(
x+
1)
-
2
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
令
f
(
x
)
=
0,
得
(
x
2
-
4)log
2
x=
0,
因此
x
2
-
4
=
0
或
log
2
x=
0,
解得
x=
±
2
或
x=
1
.
又因为函数定义域为
(0,
+∞
),
所以
x=-
2
不是函数的零点
,
故函数有
2
和
1
两个零点
.
画出函数
g
(
x
)
和
h
(
x
)
的图象如图所示
.
由图象可知
,
两个函数图象只有一个交点
,
故函数只有一个零点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)(
方法一
)
∵
f
(0)
=
1
+
0
-
2
=-
1
<
0,
f
(2)
=
4
+
lg
3
-
2
=
2
+
lg
3
>
0,
∴
f
(
x
)
=
0
在
(0,2)
上必定存在实根
.
又
f
(
x
)
=
2
x
+
lg(
x+
1)
-
2
在区间
(
-
1,
+∞
)
上为增函数
,
故
f
(
x
)
有且只有一个零点
.
(
方法二
)
令
h
(
x
)
=
2
-
2
x
,
g
(
x
)
=
lg(
x+
1),
在同一平面直角坐标系中作出
h
(
x
)
与
g
(
x
)
的图象
,
如图所示
.
由图象知
g
(
x
)
=
lg(
x+
1)
和
h
(
x
)
=
2
-
2
x
的图象有且只有一个公共点
,
即
f
(
x
)
=
2
x
+
lg(
x+
1)
-
2
有且只有一个零点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断函数零点个数的常用方法
1
.
解方程
f
(
x
)
=
0,
方程
f
(
x
)
=
0
解的个数就是函数
f
(
x
)
零点的个数
.
2
.
直接作出函数
f
(
x
)
的图象
,
图象与
x
轴
交
点
的个数就是函数
f
(
x
)
零点的个数
.
3
.f
(
x
)
=g
(
x
)
-h
(
x
)
=
0,
得
g
(
x
)
=h
(
x
),
在同一平面直角坐标系中作出
y
1
=g
(
x
)
和
y
2
=h
(
x
)
的图象
,
则两个
图象
交
点
的个数就是函数
y=f
(
x
)
零点的个数
.
4
.
若证明一个函数的零点唯一
,
也可先由零点存在定理判断出函数有零点
,
再证明该函数在定义域内单调
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
(1)
若
abc
≠0,
且
b
2
=ac
,
则函数
f
(
x
)
=ax
2
+bx+c
的零点的个数是
(
)
A.0 B.1 C.2 D.1
或
2
答案
:
A
解析
:
∵
b
2
=ac
,
∴
方程
ax
2
+bx+c=
0
的判别式
Δ=b
2
-
4
ac=b
2
-
4
b
2
=-
3
b
2
.
∵
abc
≠0,
∴
b
≠0
.
因此
Δ<
0
.
故函数
f
(
x
)
=ax
2
+bx+c
的零点个数为
0
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
判断函数
f
(
x
)
=x-
3
+
ln
x
的零点个数
.
解
:
(
方法一
)
令
f
(
x
)
=x-
3
+
ln
x=
0,
则
ln
x=
3
-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数
y=
ln
x
与
y=-x+
3
的图象
,
如图所示
.
由图可知函数
y=
ln
x
与
y=-x+
3
的图象只有一个公共点
,
即函数
f
(
x
)
=x-
3
+
ln
x
只有一个零点
.
(
方法二
)
因为
f
(3)
=
ln
3
>
0,
所以
f
(3)·
f
(2)
<
0,
说明函数
f
(
x
)
=x-
3
+
ln
x
在区间
(2,3)
内有零点
.
又
f
(
x
)
=x-
3
+
ln
x
在区间
(0,
+∞
)
上是增函数
,
所以原函数只有一个零点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知零点个数求参数的取值
范围
A.(1,2] B.[1,
+∞
)
C.[1,2) D.[1,2]
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例
4
已知
a
是实数
,
函数
f
(
x
)
=
2
|x-
1
|+x-a
,
若函数
y=f
(
x
)
有且仅有两个零点
,
则实数
a
的取值范围是
.
分析
把函数
f
(
x
)
的两个零点问题转化为函数
y=
2
|x-
1
|+x
与
y=a
的图象有且仅有两个
交点
的
问题
,
画出两个函数的图象
,
然后利用数形结合思想求出参数
a
的范围
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
(1,
+∞
)
解析
:
函数
f
(
x
)
=
2
|x-
1
|+x-a
有且仅有两个零点
,
即函数
y=
2
|x-
1
|+x
与
y=a
的图象有且仅有两个交点
.
分别作出函数
y=
2
|x-
1
|+x
与
y=a
的图象
,
如图所示
.
由图易知
,
当
a>
1
时
,
两函数的图象有且仅有两个不同的交点
,
故实数
a
的取值范围是
(1,
+∞
)
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知函数有零点
(
方程有根
)
求参数的方法
1
.
直接法
:
根据题设条件构建关于参数的不等式
(
组
),
通过解不等式
(
组
)
确定参数的取值范围
.
2
.
数列结合法
:
先对
f
(
x
)
的解析式变形
,
将
f
(
x
)
=
0
转化为
h
(
x
)
=g
(
x
)(
h
(
x
),
g
(
x
)
的图象易画出
),
在同一平面直角坐标系中画出函数
h
(
x
),
g
(
x
)
的图象
,
然后利用
数
形
结合
思想求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
3
(2020
福建厦门双十中学高一检测
)
已知函数
f
(
x
)
=
3
ax-
1
-
2
a
在区间
(
-
1,1)
上存在零点
,
则
(
)
答案
:
C
解析
:
∵
f
(
x
)
=
3
ax-
1
-
2
a
在
(
-
1,1)
上单调
,
且存在零点
,
∴
f
(
-
1)·
f
(1)
<
0,
即
(
-
3
a-
1
-
2
a
)·(3
a-
1
-
2
a
)
=
(
-
5
a-
1)·(
a-
1)
<
0
,
∴
a>
1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
二次函数的零点综合问题
典例
已知二次函数
f
(
x
)
=x
2
-
(
k-
2)
x+k
2
+
3
k+
5
.
(1)
当函数
f
(
x
)
有两个不同零点时
,
求
k
的取值范围
;
(2)
若
-
1
和
-
3
是函数的两个零点
,
求
k
的值
;
(3)
若函数的两个不同零点是
α
,
β
,
求
α
2
+
β
2
关于
k
的关系式
h
(
k
)
.
分析
本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质
.
本题中的函数
f
(
x
)
是二次函数
,
因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为
二次方程
解
的
判断
或
解
的
性质
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
规范解答
(1)
令
f
(
x
)
=
0,
得
x
2
-
(
k-
2)
x+k
2
+
3
k+
5
=
0
.
由
Δ=
(
k-
2)
2
-
4(
k
2
+
3
k+
5)
=-
3
k
2
-
16
k-
16
>
0,
知
3
k
2
+
16
k+
16
<
0,
即
(3
k+
4)(
k+
4)
<
0,
(2)
∵
-
1
和
-
3
是函数
f
(
x
)
的两个零点
,
∴
-
1
和
-
3
是方程
x
2
-
(
k-
2)
x+k
2
+
3
k+
5
=
0
的
两
个解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)
∵
α
,
β
是函数
f
(
x
)
的两个不同零点
,
∴
α
,
β
是方程
x
2
-
(
k-
2)
x+k
2
+
3
k+
5
=
0
的
两
个实数
根
,
∴
α
+
β
=k-
2,
αβ
=k
2
+
3
k+
5
.
∴
α
2
+
β
2
=
(
α
+
β
)
2
-
2
αβ
=
(
k-
2)
2
-
2(
k
2
+
3
k+
5)
=-k
2
-
10
k-
6
.
规律总结
1
.
若二次方程
ax
2
+bx+c=
0(
a
≠0)
的
两
个解
是
x
1
,
x
2
,
2
.
本题中如果忽视
Δ
,
将会影响
α
2
+
β
2
的范围而导致出错
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
如下图四个函数图象
,
在区间
(
-∞
,0)
内存在零点的函数是
(
)
答案
:
B
解析
:
只有
选项
B
中的函数图象与
x
轴的负半轴有交点
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
函数
f
(
x
)
=
log
5
(
x-
1)
的零点是
(
)
A.0 B.1 C.2
D.3
3
.
若
x
0
是方程
ln
x+x=
4
的解
,
则
x
0
所在的区间是
(
)
A.(0,1)
B.(
1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案
:
C
解析
:
令
log
5
(
x-
1)
=
0,
解得
x=
2,
所以函数
f
(
x
)
=
log
5
(
x-
1)
的零点是
2,
故选
C
.
答案
:
C
解析
:
设
f
(
x
)
=
ln
x+x-
4,
则
f
(1)
=-
3
<
0,
f
(2)
=
ln
2
-
2
<
0,
f
(3)
=
ln
3
-
1
>
0,
f
(4)
=
ln
4
>
0,
则
x
0
∈
(2,3)
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
已知函数
y=ax
2
-x-
1
只有一个零点
,
则实数
a
的值为
.
解析
:
当
a=
0
时
,
函数为
y=-x-
1,
显然该函数的图象与
x
轴只有一个公共点
,
即函数只有一个零点
.
当
a
≠0
时
,
函数
y=ax
2
-x-
1
为二次函数
.
∵
函数
y=ax
2
-x-
1
只有一个零点
,
∴
方程
ax
2
-x-
1
=
0
有两个相等的实数解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
判断下列函数在给定区间上是否存在零点
,
如果存在
,
求出零点的个数
.
(1)
f
(
x
)
=x
2
-
3
x-
18,
x
∈
[
-
4,7];
解
:
(1)
令
x
2
-
3
x-
18
=
0,
解得
x=-
3
或
x=
6
.
又
-
3
∈
[
-
4,7],6
∈
[
-
4,7],
∴
f
(
x
)
=x
2
-
3
x-
18
在
[
-
4,7]
上有两个零点
.
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