2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 10页

www.ks5u.com ‎11．1.4　棱锥与棱台 ‎[课程目标] 1.了解棱锥的定义，掌握棱锥的结构特征；2.了解棱台的定义，掌握棱台的结构特征以及棱锥、棱台之间的关系．‎ 知识点一　　棱锥 ‎[填一填]‎ ‎(1)有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．‎ ‎(2)棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱．‎ ‎(3)棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥．‎ ‎(4)棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．‎ ‎(5)过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．‎ ‎(6)如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？‎ 提示：‎ 不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．‎ 知识点二　　棱台 ‎[填一填]‎ ‎(1)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．‎ ‎(2)原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．‎ ‎(3)棱台可用上底面与下底面的顶点表示．‎ ‎(4)过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积．‎ ‎(5)棱台可以按底面的形状分类．‎ ‎(6)由正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？‎ 提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．‎ ‎3．观察下面的几何体，思考问题：‎ 图①是棱台吗？用任意一个平面去截棱锥，一定能得到图②中的棱台吗？‎ 提示：题图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，题图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到该棱台．‎ 类型一　　有关概念的考查 ‎[例1]　给出下列几个命题：‎ ‎①棱柱的侧面都是平行四边形；‎ ‎②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；‎ ‎③多面体至少有四个面；‎ ‎④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．‎ 其中，假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎[解析]　显然命题①②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．‎ 对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故命题④为真命题．‎ ‎[答案]　A 解答空间几何体概念辨析题的关注点 (1)认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，采用举反例法排除错误的选项.‎ (2)从底面多边形的形状，侧面形状以及它们之间的位置关系等角度紧扣几何体的结构特征进行判断.‎ ‎[变式训练1]　下列说法中正确的是(　D　)‎ A．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥 B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C．底面是正三角形，并且有一个侧面与底面全等的三棱锥是正三棱锥 D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥 解析：对于A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心，该三角形不一定为正三角形，故A错误；‎ 对于B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，‎ 则△PAB，△PBC，△PAC都为等腰三角形，但它不是正三棱锥，故B错误；‎ 对于C，各侧面不一定全等，故C错误；‎ 对于D，由于各侧棱相等，故顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面三角形为正三角形，因此，外心即中心，选D.‎ 类型二　　多面体中的基本量计算 ‎[例2]　正四棱台ABCDA′B′C′D′的高是‎17 cm，两底面的边长分别是‎4 cm和‎16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．‎ ‎[解]　设棱台两底面的中心分别是O和O′，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，四边形OEE′O′都是直角梯形．‎ 如图，在正方形ABCD中，‎ ‎∵BC＝‎16 cm，‎ ‎∴OB＝‎8 cm，OE＝‎8 cm.‎ 在正方形A′B′C′D′中，‎ ‎∵B′C′＝‎4 cm，∴O′B′＝‎2 cm，O′E′＝‎2 cm.‎ 在直角梯形O′OBB′中，‎ BB′＝＝＝19(cm)．‎ 在直角梯形O′OEE′中，‎ EE′＝＝ ‎＝5(cm)．‎ 故这个棱台的侧棱长为‎19 cm，斜高为‎5 cm.‎ 根据正棱台的定义、特征性质，通过构造直角梯形建立已知量和未知量之间的关系式.‎ ‎[变式训练2]　一个三棱台的上、下底面面积之比为49，若棱台的高是‎4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高．‎ 解：如图所示，将棱台还原为棱锥，设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高．‎ ‎∵棱台的上、下底面面积之比为49，‎ ‎∴它们的底面对应边之比 A1B1AB＝23，‎ ‎∴PA1PA＝23.‎ 由于A1O1∥AO，∴＝，‎ 即＝＝.‎ ‎∴PO＝‎12 cm.‎ 即截得这个棱台的棱锥的高是‎12 cm.‎ 类型三　　棱锥、棱台中的截面问题 ‎[例3]　已知正三棱锥VABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，试求该截面的周长和面积．‎ ‎[分析]　依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．‎ ‎[解]　由题意画出图形，如图所示，其中VO＝4，AB＝BC＝CA＝6，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，O是中心，∴OC＝2，OD＝，CD＝3，在Rt△VOC和Rt△VOD中，由勾股定理，得VC＝ ‎＝2，VD＝＝，∴截面△VCD的周长为VC＋CD＋VD＝2＋3＋，面积为CD·VO＝×3×4＝6.‎ ‎1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB、侧棱长PC、高PO、斜高PD、边心距OD、底面外接圆半径OC等．‎ ‎2．含有这些基本量的直角三角形有Rt△POD、Rt△POC、Rt△PDB、Rt△AOD等．‎ ‎3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题．‎ ‎4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB＝a，则OC＝a，OD＝a，CD＝a等．‎ ‎[变式训练3]　把一个棱台的高分为三等份，过各等分点作平行于底面的截面，已知棱台的两个底面面积分别是P和Q(Q>P)，求两个截面的面积．‎ 解：将棱台补成棱锥，设棱锥顶点为S，S到棱台上底面的距离为x，棱台的高为3h，截面面积分别为M、N，则＝，＝⇒＝1＋，＝1＋，解得M＝(4P＋4＋Q)．‎ 同理可得N＝(P＋4＋4Q)．‎ 类型四　　棱锥、棱台的表面展开图 ‎[例4]　某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为‎10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．‎ ‎(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；‎ ‎(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？‎ ‎[解]　(1)该几何体的表面展开图为 ‎(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为‎20 m.‎ ‎1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.‎ ‎2.若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.‎ ‎3.若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.‎ ‎[变式训练4]　‎ 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？‎ 解：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：‎ 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．‎ ‎1．如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是(　B　)‎ A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 解析：剩余部分是四棱锥A′BB′C′C.‎ ‎2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是(　D　)‎ A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解析：‎ 因为棱锥的各条棱都相等，所以侧面都是正三角形，又因为顶点处的各个面上顶角之和小于360°，从而侧面数小于6，故选D.‎ ‎3．下列命题中正确的是(　D　)‎ A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 解析：A中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面之间的部分只能叫多面体，故A错误；B中，棱台还要求侧棱的延长线交于一点，故B错误；C中，正棱锥还要求底面是正多边形，故C错误；D中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确．‎ ‎4．棱锥的侧棱都相等，所有的侧面上的高也相等，则这个棱锥的底面是正多边形．‎ 解析：由侧棱相等知顶点在底面上的射影为底面多边形的外心，又由侧面上高都相等知顶点在底面上的射影为底面多边形的内心，因此底面为正多边形．‎