• 279.50 KB
  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第22讲学案

  • 15页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第22讲 三角函数的图象和性质 考试要求 1.y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象及周期性(A级要求);2正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最值及与x轴的交点等)(B级要求);3.正切函数在区间内的单调性(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)由sin=sin 知,是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.(  )‎ ‎(2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(  )‎ ‎(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(  )‎ ‎(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(  )‎ ‎(5)y=sin|x|是偶函数.(  )‎ 解析 (1)函数y=sin x的周期是2kπ(k∈ ).‎ ‎(2)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.‎ ‎(3)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈ )上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.‎ ‎(4)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.(2018·苏北四市一模)函数y=cos的最小正周期为________.‎ 解析 函数y=cos的最小正周期T==4π.‎ 答案 4π ‎3.(必修4P33例4改编)函数y=2tan的定义域为________.‎ 解析 ∵x-≠kπ+,k∈ ,∴x≠kπ+,k∈ ,‎ 即函数的定义域为.‎ 答案  ‎4.(2017·苏州一模)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________.‎ 解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+(k∈ ),即φ=3kπ+(k∈ ),又φ∈[0,2π],‎ 所以φ=.‎ 答案  ‎5.函数f(x)=sin在区间上的最小值为________.‎ 解析 由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.‎ 答案 - 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).‎ ‎(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈ )‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 ‎[2kπ-π,2kπ]‎ 单调减区间 ‎[2kπ,2kπ+π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ,0)‎ 对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无 考点一 三角函数的定义域与值域 ‎【例1】 (1)函数f(x)=-2tan的定义域是________.‎ ‎(2)(2017·泰州模拟)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.‎ ‎(3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.‎ 解析 (1)由正切函数的定义域,‎ 得2x+≠kπ+(k∈ ),‎ 即x≠+(k∈ ).‎ ‎∴函数的定义域为.‎ ‎(2)因为0≤x≤9,所以-≤x-≤,‎ 所以sin∈.‎ 所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.‎ ‎(3)设t=sin x-cos x,‎ 则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,‎ sin xcos x=,且-≤t≤.‎ ‎∴y=-+t+=-(t-1)2+1.‎ 当t=1时,ymax=1;‎ 当t=-时,ymin=--.‎ ‎∴函数的值域为.‎ 答案 (1) (2)2- ‎(3) 规律方法 (1)三角函数定义域的求法,以正切函数为例,应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域.‎ ‎(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:‎ ‎①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);‎ ‎②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);‎ ‎③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).‎ ‎【训练1】 (1)函数y=tan 2x的定义域是________.‎ ‎(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为________.‎ 解析 (1)由2x≠kπ+,k∈ ,得x≠+,k∈ ,‎ ‎∴y=tan 2x的定义域为.‎ ‎(2)由f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x=-2+,所以当sin x=1时函数的最大值为5.‎ 答案 (1) (2)5‎ 考点二 三角函数的单调性 ‎【例2】 (1)函数f(x)=sin的单调递减区间为________.‎ ‎(2)(一题多解)若f(x)=2sin ωx+1(ω>0)在区间上是增函数,则ω的取值范围是________.‎ 解析 (1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈ ,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈ .‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈ ).‎ ‎(2)法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈ ,‎ 得f(x)的增区间是(k∈ ).‎ 因为f(x)在上是增函数,‎ 所以⊆.‎ 所以-≥-且≤,所以ω∈.‎ 法二 因为x∈,ω>0.‎ 所以ωx∈,‎ 又f(x)在区间上是增函数,‎ 所以⊆,‎ 则又ω>0,‎ 得0<ω≤.‎ 法三 因为f(x)在区间上是增函数,故原点到-,的距离不超过,即得T≥,即≥,又ω>0,得0<ω≤.‎ 答案 (1)(k∈ ) (2) 规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.‎ ‎【训练2】 (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.‎ ‎(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.‎ 解析 (1)由kπ-<2x-0,得 +<ωx+<ωπ+,‎ 又y=sin x的单调递减区间为,k∈ ,‎ 所以 解得4k+≤ω≤2k+,k∈ .‎ 又由4k+-≤0,k∈ 且2k+>0,k∈ ,‎ 得k=0,所以ω∈.‎ 答案 (1)(k∈ ) (2) 考点三 三角函数的奇偶性与对称性(多维探究)‎ 命题角度1 奇偶性 ‎【例3-1】 (1)(2017·常州期末)函数y=2cos2-1是最小正周期为________的________函数(填“奇”或“偶”).‎ ‎(2)(2018·衡水中 金卷)设函数f(x)=sin-cos的图象关于y轴对称,则θ=________.‎ 解析 (1)y=2cos2-1‎ ‎=cos2=cos=cos=sin 2x,‎ 则函数为最小正周期为π的奇函数.‎ ‎(2)f(x)=sin-cos=‎ ‎2sin,由题意可得f(0)=2sin=±2,即sin=±1,∴θ-=+kπ(k∈ ),∴θ=+kπ(k∈ ),∵|θ|<,∴k=-1时,θ=-.‎ 答案 (1)π 奇 (2)- 命题角度2 轴对称 ‎【例3-2】 (1)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f(x)=2sin(4x+φ)(φ<0)的图象关于直线x=对称,则φ的最大值为________.‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为________.‎ 解析 (1)由题可得,4×+φ=+kπ,k∈ ,∴=+kπ,k∈ ,∵φ<0,∴φmax=-.‎ ‎(2)因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,-=+,即==·,解得ω=2k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,令ω=11,∵x=是y=f(x)的对称轴,∴+φ=+kπ(k∈N).又由|φ|≤,解得φ=-,此时f(x)=sin,f(x)在上递增,在上递减,不满足f(x)在上单调;同理令ω=9,则φ=,此时f(x)=sin,满足f(x)在上单减,综上,ω的最大值为9.‎ 答案 (1)- (2)9‎ 命题角度3 中心对称 ‎【例3-3】 (1)已知函数y=2sin的图象关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________.‎ ‎(2)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________.‎ 解析 (1)由题意可知2x0+=kπ,k∈ ,‎ 故x0=-,k∈ ,‎ 又x0∈,∴-≤k≤,k∈ ,‎ ‎∴k=0,则x0=-.‎ ‎(2)由题意知π+=kπ+(k∈ ),‎ ‎∴ω=6k+2(k∈ ),又ω∈N*,∴ωmin=2.‎ 答案 (1)- (2)2‎ 规律方法 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 ② f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈ );‎ ‎②f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈ ).‎ ‎(2)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈ ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈ ),求x即可.‎ ‎(3)对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈ ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈ ),求x即可.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·无锡期末)若函数f(x)=cos的图象关于点(x0,0‎ ‎)成中心对称,x0∈,则x0=______.‎ ‎(2)(2018·盐城模拟)当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则下列关于函数y=f的说法正确的是________(填序号).‎ ‎①是奇函数且图象关于点对称;‎ ‎②是偶函数且图象关于点(π,0)对称;‎ ‎③且奇函数且图象关于直线x=对称;‎ ‎④是偶函数且图象关于直线x=π对称.‎ 解析 (1)因为f(x)=cos=cos=-sin 2x,由2x0=kπ,k∈ 得x0=,k∈ .‎ 由x0∈,故k=0,1时,x0=0,.‎ ‎(2)∵当x=时,函数f(x)取得最小值,‎ ‎∴sin=-1,∴φ=2kπ-(k∈ ),‎ ‎∴f(x)=sin=sin,‎ ‎∴y=f =sin(-x)=-sin x,‎ ‎∴y=f 是奇函数,且图象关于直线x=对称.‎ 答案 (1)0或 (2)③‎ 一、必做题 ‎1.(2017·江苏押题卷)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为T=π,则ω=________.‎ 解析 因为T=,所以=π,故ω=3.‎ 答案 3‎ ‎2.(2017·南京模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是________.‎ 解析 由题意得=π,所以ω=2,f(x)=sin.因此f=sin=sin =.‎ 答案  ‎3.(2018·南京模拟)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.‎ 解析 当kπ-<2x-<kπ+(k∈ )时,函数y=tan单调递增,解得-<x<+(k∈ ),所以函数y=tan的单调递增区间是(k∈ ).‎ 答案 (k∈ )‎ ‎4.(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y=sin(00,且·ω≤π.所以0<ω≤.当x=时,2cosπ=1,cosπ=.‎ 所以ω=.‎ 答案  ‎12.(2018·南通调研)已知函数f(x)=a+b.‎ ‎(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;‎ ‎(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.‎ 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin+a+b.‎ ‎(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,‎ 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈ ),‎ 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈ ),‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(k∈ ).‎ ‎(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,‎ ‎∴-≤sin≤1,依题意知a≠0.‎ ‎(ⅰ)当a>0时,∴a=3-3,b=5.‎ ‎(ⅱ)当a<0时,∴a=3-3,b=8.‎ 综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8‎