- 279.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第22讲 三角函数的图象和性质
考试要求 1.y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象及周期性(A级要求);2正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最值及与x轴的交点等)(B级要求);3.正切函数在区间内的单调性(B级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)由sin=sin 知,是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.( )
(2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.( )
(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(5)y=sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)函数y=sin x的周期是2kπ(k∈ ).
(2)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(3)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈ )上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(4)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(2018·苏北四市一模)函数y=cos的最小正周期为________.
解析 函数y=cos的最小正周期T==4π.
答案 4π
3.(必修4P33例4改编)函数y=2tan的定义域为________.
解析 ∵x-≠kπ+,k∈ ,∴x≠kπ+,k∈ ,
即函数的定义域为.
答案
4.(2017·苏州一模)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________.
解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+(k∈ ),即φ=3kπ+(k∈ ),又φ∈[0,2π],
所以φ=.
答案
5.函数f(x)=sin在区间上的最小值为________.
解析 由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.
答案 -
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈ )
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调增区间
[2kπ-π,2kπ]
单调减区间
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
对称轴方程
x=kπ+
x=kπ
无
考点一 三角函数的定义域与值域
【例1】 (1)函数f(x)=-2tan的定义域是________.
(2)(2017·泰州模拟)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.
(3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.
解析 (1)由正切函数的定义域,
得2x+≠kπ+(k∈ ),
即x≠+(k∈ ).
∴函数的定义域为.
(2)因为0≤x≤9,所以-≤x-≤,
所以sin∈.
所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.
(3)设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
sin xcos x=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;
当t=-时,ymin=--.
∴函数的值域为.
答案 (1) (2)2-
(3)
规律方法 (1)三角函数定义域的求法,以正切函数为例,应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练1】 (1)函数y=tan 2x的定义域是________.
(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为________.
解析 (1)由2x≠kπ+,k∈ ,得x≠+,k∈ ,
∴y=tan 2x的定义域为.
(2)由f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x=-2+,所以当sin x=1时函数的最大值为5.
答案 (1) (2)5
考点二 三角函数的单调性
【例2】 (1)函数f(x)=sin的单调递减区间为________.
(2)(一题多解)若f(x)=2sin ωx+1(ω>0)在区间上是增函数,则ω的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈ ,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈ .
故所求函数的单调递减区间为(k∈ ).
(2)法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈ ,
得f(x)的增区间是(k∈ ).
因为f(x)在上是增函数,
所以⊆.
所以-≥-且≤,所以ω∈.
法二 因为x∈,ω>0.
所以ωx∈,
又f(x)在区间上是增函数,
所以⊆,
则又ω>0,
得0<ω≤.
法三 因为f(x)在区间上是增函数,故原点到-,的距离不超过,即得T≥,即≥,又ω>0,得0<ω≤.
答案 (1)(k∈ ) (2)
规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.
【训练2】 (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
解析 (1)由kπ-<2x-0,得
+<ωx+<ωπ+,
又y=sin x的单调递减区间为,k∈ ,
所以
解得4k+≤ω≤2k+,k∈ .
又由4k+-≤0,k∈ 且2k+>0,k∈ ,
得k=0,所以ω∈.
答案 (1)(k∈ ) (2)
考点三 三角函数的奇偶性与对称性(多维探究)
命题角度1 奇偶性
【例3-1】 (1)(2017·常州期末)函数y=2cos2-1是最小正周期为________的________函数(填“奇”或“偶”).
(2)(2018·衡水中 金卷)设函数f(x)=sin-cos的图象关于y轴对称,则θ=________.
解析 (1)y=2cos2-1
=cos2=cos=cos=sin 2x,
则函数为最小正周期为π的奇函数.
(2)f(x)=sin-cos=
2sin,由题意可得f(0)=2sin=±2,即sin=±1,∴θ-=+kπ(k∈ ),∴θ=+kπ(k∈ ),∵|θ|<,∴k=-1时,θ=-.
答案 (1)π 奇 (2)-
命题角度2 轴对称
【例3-2】 (1)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f(x)=2sin(4x+φ)(φ<0)的图象关于直线x=对称,则φ的最大值为________.
(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为________.
解析 (1)由题可得,4×+φ=+kπ,k∈ ,∴=+kπ,k∈ ,∵φ<0,∴φmax=-.
(2)因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,-=+,即==·,解得ω=2k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,令ω=11,∵x=是y=f(x)的对称轴,∴+φ=+kπ(k∈N).又由|φ|≤,解得φ=-,此时f(x)=sin,f(x)在上递增,在上递减,不满足f(x)在上单调;同理令ω=9,则φ=,此时f(x)=sin,满足f(x)在上单减,综上,ω的最大值为9.
答案 (1)- (2)9
命题角度3 中心对称
【例3-3】 (1)已知函数y=2sin的图象关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________.
(2)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________.
解析 (1)由题意可知2x0+=kπ,k∈ ,
故x0=-,k∈ ,
又x0∈,∴-≤k≤,k∈ ,
∴k=0,则x0=-.
(2)由题意知π+=kπ+(k∈ ),
∴ω=6k+2(k∈ ),又ω∈N*,∴ωmin=2.
答案 (1)- (2)2
规律方法 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
② f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈ );
②f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈ ).
(2)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈ ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈ ),求x即可.
(3)对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈ ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈ ),求x即可.
【训练3】 (1)(2017·无锡期末)若函数f(x)=cos的图象关于点(x0,0
)成中心对称,x0∈,则x0=______.
(2)(2018·盐城模拟)当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则下列关于函数y=f的说法正确的是________(填序号).
①是奇函数且图象关于点对称;
②是偶函数且图象关于点(π,0)对称;
③且奇函数且图象关于直线x=对称;
④是偶函数且图象关于直线x=π对称.
解析 (1)因为f(x)=cos=cos=-sin 2x,由2x0=kπ,k∈ 得x0=,k∈ .
由x0∈,故k=0,1时,x0=0,.
(2)∵当x=时,函数f(x)取得最小值,
∴sin=-1,∴φ=2kπ-(k∈ ),
∴f(x)=sin=sin,
∴y=f =sin(-x)=-sin x,
∴y=f 是奇函数,且图象关于直线x=对称.
答案 (1)0或 (2)③
一、必做题
1.(2017·江苏押题卷)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为T=π,则ω=________.
解析 因为T=,所以=π,故ω=3.
答案 3
2.(2017·南京模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是________.
解析 由题意得=π,所以ω=2,f(x)=sin.因此f=sin=sin =.
答案
3.(2018·南京模拟)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.
解析 当kπ-<2x-<kπ+(k∈ )时,函数y=tan单调递增,解得-<x<+(k∈ ),所以函数y=tan的单调递增区间是(k∈ ).
答案 (k∈ )
4.(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y=sin(00,且·ω≤π.所以0<ω≤.当x=时,2cosπ=1,cosπ=.
所以ω=.
答案
12.(2018·南通调研)已知函数f(x)=a+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.
解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin+a+b.
(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈ ),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈ ),
∴f(x)的单调增区间为(k∈ ).
(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,
∴-≤sin≤1,依题意知a≠0.
(ⅰ)当a>0时,∴a=3-3,b=5.
(ⅱ)当a<0时,∴a=3-3,b=8.
综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8