【数学】2018届一轮复习北师大版二项式定理学案 13页

第 3 讲　二项式定理 ) 1．二项式定理 (1)定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)． (2)通项 第 k＋1 项为：Tk＋1＝Cknan－kbk． (3)二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k＝0，1，2，…，n)． 2．二项式系数的性质 1．辨明三个易误点 (1)通项 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项，不是第 k 项． (2)(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公 式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒． (3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数 是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k＝0，1，…，n)． 2．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各 项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第 k 项系数最大，应用{Ak ≥ Ak－1， Ak ≥ Ak＋1，从而解出 k 来，即 得． 1．已知(x－ 1 x ) 7 展开式的第 4 项等于 5，则 x 等于(　　) A. 1 7　　　　　　　　 B．－ 1 7 C．7 D．－7 　B　 由 T4＝C37x4(－ 1 x ) 3 ＝5 得 x＝－ 1 7，故选 B． 2.教材习题改编 二项式(2x＋ 1 x2) 6 的展开式中，常数项的值是(　　) A．240　　 B．60 C．192 D．180 　A　 二项式(2x＋ 1 x2) 6 展开式的通 项为 Tr＋1＝Cr6(2x)6－r( 1 x2 ) r ＝26－rCr6x6－3r，令 6－3r＝0，得 r＝2，所以常数项为 26－2C26＝16× 6 × 5 2 × 1＝240. 3．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8 等于(　　) A．180　　 B．－180 C．45 D．－45 　A　 由题意得 a8＝C 81022(－1)8＝180. 4．(2016·高考北京卷)在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为________．(用数字作答) (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6(－2)rxr，当 r＝2 时，T3＝C26(－2)2x2＝60x2，所以 x2 的系数为 60. 60 5．在二项式(x2－ a x) 5 的展开式中，x 的系数是－10，则实数 a 的值为________． Tr＋1＝Cr5(x2)5－r·(－ a x ) r ＝(－a)rCr5·x10－3r. 当 10－3r＝1 时，r＝3，于是 x 的系数为(－a)3C35＝－10a3，从而由已知得 a＝1. 1 　二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点) 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空 题的形式呈现，试题多为容易题或中档题． 高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度： (1)求展开式中的某一项； (2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求 n 的值或参数的值． 　(1)(x2＋2)( 1 x2－1) 5 的展开式的常数项是________． (2)(2016·高考山东卷)若( ax2 ＋ 1 x)5 的展开式中 x5 的系数是－80，则实数 a ＝________． 【 解 析 】 　 (1)(x2 ＋ 2)( 1 x2－1) 5 ＝ (x2 ＋ 2)·(C· 1 x10－C· 1 x8＋C· 1 x6－C· 1 x4＋C· 1 x2－1)，故它的展开式的常数项为 C45－2＝3. (2)(ax2＋ 1 x)5 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r·x－ r 2＝Cr5a5－r ·x10－ 5r 2 ，令 10－ 5 2 r＝5，得 r＝2，所以 C25a3＝－80，解得 a＝－2. 【答案】　(1)3　(2)－2 与二项展开式有关问题的解题策略 (1)求展开式中的第 n 项，可依据二项式的通项直接求出第 n 项． (2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 r＋1 项，再由特定项的特点求出 r 值即 可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数．　 角度一　求展开式中的某一项 1.(x3－ 2 x) 4 ＋(x＋ 1 x ) 8 的展开式中的常数项为(　　) A．32　　　　 B．34　　　　 C．36　　 D．38 　D　 (x3－ 2 x) 4 的展开式的通项为 Tk＋1＝Ck4(x3)4－k·(－ 2 x ) k ＝Ck4(－2)kx12－4k， 令 12－4k＝0，解得 k＝3， (x＋ 1 x ) 8 的展开式的通项为 Tr＋1 ＝Cr8·x8－r·(1 x ) r ＝Cr8·x8－2r， 令 8－2r＝0，得 r＝4， 所以所求常数项为 C34(－2)3＋C48＝38. 角度二　求展开式中的项的系数或二项式系数 2．(2017·湖北枣阳第一中学模拟)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为(　　) A．10　　 B．20 C．30 D．60 　C　 (x2＋x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr，令 r＝2，则 T3＝C25(x2＋ x)3y2，又(x2＋x)3 的展开式的通项为 Ck3(x2)3－k·xk＝Ck3x6－k，令 6－k＝5，则 k＝1，所以(x2 ＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 C25C13＝30，故选 C. 角度三　由已知条件求 n 的值或参数的值 3．若(ax＋ 1 x)(2x＋ 1 x) 5 展开式中的常数项为－40，则 a＝________． (2x＋ 1 x) 5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1 ＝Cr5(2x)5－ r·(1 x ) r ＝Cr525－ rx5－2 r，因为 (ax＋ 1 x)(2x＋ 1 x) 5 的展开式中的常数项为－40，所以 axC3522x－1＋ 1 xC2523x1＝－40，所以 40a＋ 80＝－40，解得 a＝－3. －3 　二项式系数的性质或各项系数和 　(1)在二项式(x2－ 1 x)11 的展开式中，系数最大的项为第________项． (2)(2017·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋ a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为________． 【解析】　(1)依题意可知 Tr＋1＝C r11(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大 的是 C 511与 C 611.当 r＝6 时，T7＝C 611x4，故系数最大的是第七项． (2)令 x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令 x＝－2，得到 a0－a1＋a2－a3＋…－ a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即 m2＋2m＝3，解得 m＝1 或－3. 【答案】　(1)七　(2)1 或－3 本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋… ＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为________． 令 x＝2，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令 x＝0，得到 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝ (m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即 m2＋6m＋5＝0，解得 m＝－1 或－5. －1 或－5 赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常 用赋值法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即 可． (3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项 系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝ f（1）＋f（－1） 2 ，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ f（1）－f（－1） 2 .　 1．(1－x－5y)5 的展开式中不含 x 的项的系数和为______(结果化成最简形 式)． (1－x－5y)5 的展开式中不含 x 的项的系数和等于(1－5y)5 的展开式的各项系数和，在 (1－5y)5 中，令 y＝1，得展开式的各项系数和为(－4)5＝－1024，所以(1－x－5y)5 的展开 式中不含 x 的项的系数和为－1 024. －1 024 2．在(1－x)3(1＋x)8 的展开式中，含 x2 项的系数是 n，若(8－nx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋… ＋anxn，则 a0＋a1＋a2＋…＋an＝________． (1－x)3 的展开式的前三项为 T1＝C03，T2＝－C13x，T3＝C23x2，(1＋x)8 展开式的前三项 为 P1＝C08，P2＝C18x，P3＝C28x2，所以 x2 的系数为 C03×C28－C13×C18＋C23×C08＝7，所以 n＝7. (8－7x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令 x＝1 得(8－7)7＝1. 1 　二项式定理的应用 　设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 018＋a 能被 13 整除，则 a＝(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．11 D．12 【解析】　512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C2 0172 018×52× (－1)2017＋C2 0182 018×(－1)2018＋a.因为 52 能被 13 整除，所以只需 C2 0182 018×(－1)2018＋a 能被 13 整除，即 a＋1 能被 13 整除，所以 a＝12. 【答案】　D (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要 证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另 一个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式 f(x)与除式 g(x)(g(x)≠0)，商式 q(x)与余式 的关系及余式的范围．　 　求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)． 因为 n∈N*，且 n>2，所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋… ＋Cn－1n ·2＋1≥2n＋n·2n－ 1＋2n＋1>2n＋n·2n－ 1＝(n＋2)·2n－ 1，故 3n>(n＋2)·2n－ 1(n∈N*，n>2)． ) ——与二项式定理有关的交汇问题 　(2017·湖北省黄冈中学调研)设函数 f(x)＝ {(1 x－2x) 6 ，x＜0， － x，x ≥ 0， 则 x＞0 时，f 表达式的展开式中的常数项为________．(用数字作 答) 【解析】　根据题意得：当 x＞0 时，f＝(－ 1 x＋2 x) 6 ，所以其通项为 Tr＋1＝Cr6(－ x－ 1 2)6－r·(2x 1 2 )r＝Cr6(－1)6－r2rxr－3，当 r＝3 时，得到 f 表达式的展开式中的常数项为 C36×(－1)6－3×23＝－160. 【答案】　－160 　(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当 x>0 时， 将 f 的表达式转化为二项式． (2)二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列、不等式、定积分 交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是 它们的交汇点，注意它们的联系． 　(2017·东北三省三校一联)设二项式(x－ 1 2 ) n (n∈N*)展开式的二项式 系数和与各项系数和分别为 an，bn，则 a1＋a2＋…＋an b1＋b2＋…＋bn＝(　　) A．2n－1＋3　　　　　　　 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1 　C　 二项式(x－ 1 2 ) n (n∈N*)展开式的二项式系数和为 2n，各项系数和为(1－ 1 2 ) n ＝ (1 2 ) n ，所以 an＝2n，bn＝(1 2 ) n ，所以 a1＋a2＋…＋an b1＋b2＋…＋bn＝ 2 × （1－2n） 1－2 1 2 × [1－(1 2 ) n ] 1－ 1 2 ＝ 2n＋1－2 1－ 1 2n ＝2n＋1，故选 C. 1．(2017·广东测试)(x2－ 1 2x) 6 的展开式中，常数项是(　　) A．－ 5 4　　　　　　　　 B． 5 4 C．－ 15 16 D． 15 16 　D　 Tr＋1＝Cr6(x2)6－r(－ 1 2x ) r ＝(－ 1 2 ) r Cr6x12－3r ，令 12－3r＝0，解得 r＝4. 所以常数项为 (－ 1 2 ) 4 C46＝ 15 16.故选 D． 2．(2017·兰州市诊断考试)(m＋x)(x＋1)3 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 16，则 ∫1 －1 xmdx＝(　　) A．1　　 B．－1 C．0 D． 1 4 　C　 (m＋x)(x＋1)3＝(m＋x)(C03x3＋C13x2＋C23x＋C33)，所以 x 的奇数次幂项的系数之和 为 mC03＋mC23＋C13＋C33＝16，解得 m＝3，所以 ∫1 －1 xmdx＝∫1 －1 x3dx＝ 1 4x4|1 －1 ＝0. 3．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)二项式(9x－ 1 33 x) 9 的展开式中 x 的系数等于 (　　) A．84　　 B．24 C．6 D．－24 　A　 根据二项式定理可知，Tr＋1＝Cr9(－ 1 3 )r99－rx9－r－ r 3 ＝Cr9(－ 1 3 ) r 99－rx9－ 4 r 3 ， 令 9－ 4 3r＝1，得 r＝6，所以 x 的系数为 C69(－ 1 3 ) 6 ×93＝84，故选 A. 4．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则 a0＋a2＋a4＋…＋a2n 等于(　　) A．2n　　 B． 3n－1 2 C．2n＋1 D． 3n＋1 2 　D　 设 f(x)＝(1＋x＋x2)n， 则 f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，① f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，② 由① ＋②得 2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)， 所以 a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝ f（1）＋f（－1） 2 ＝ 3n＋1 2 . 5．(2017·海口市调研测试)若(x2－a)(x＋ 1 x )10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于 (　　) A. 1 3　　 B． 1 2 C．1 D．2 　D　 因为(x＋ 1 x )10 展开式的通项为 Tr＋1＝C r10·x10－r(1 x ) r ＝C r10x10－2r，所以(x2－ a)(x＋ 1 x )10 的展开式中含 x6 的项为 x2·C 310x4－aC 210x6＝(C 310－aC 210)·x6，则 C 310－aC 210＝30， 解得 a＝2，故选 D． 6．(2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7 的展开式中，系数最大的项是(　　) A．68y7　　 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5 　C　 设第 r＋1 项系数最大，则有{C·2r ≥ C·2r－1， C·2r ≥ C·2r＋1， 即{ 7！ r！（7－r）！·2r ≥ 7！ （r－1）！（7－r＋1）！·2r－1， 7！ r！（7－r）！·2r ≥ 7！ （r＋1）！（7－r－1）！·2r＋1， 即{2 r ≥ 1 8－r， 1 7－r ≥ 2 r＋1 解得{r ≤ 16 3 ， r ≥ 13 3 . 又因为 r∈Z，所以 r＝5.所以系数最大的项为 T6＝C57x2·25y5＝672x2y5.故选 C. 7．(2016·高考天津卷)(x2－ 1 x) 8 的展开式中 x7 的系数为________．(用数字作答) 二项展开式的通项 Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(－ 1 x ) r ＝(－1)rCr8x16－3r，令 16－3r＝7，得 r＝ 3，故 x7 的系数为－C38＝－56. －56 8．(2017·广州模拟)在(3 x－ 2 x)15 的展开式中，x 的非负整数次幂的项的个 数为________． 展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)rC r15·(3 x)15－r·( 2 x ) r ＝(－1)r2rC r15x 30－5r 6 ，由题 意 5－ 5 6r 为非负整数，得 r＝0 或 6，所以符合要求的项的个数为 2. 2 9．(2017·广州市综合测试(一))已知 (2x－ 1 x) n 的展开式中的二项式系数和为 32， (x＋ a x )(2x－ 1 x) n 的展开式中的各项系数的和为 2，则该展开式中的常数项为________． (2x－ 1 x) n 的展开式中的二项式系数和为 32，所以 2n＝32，所以 n＝5.令 x＝1，则 (x＋ a x )(2x－ 1 x) n 的展开式中的各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，所以 a＝1，所以(x＋ 1 x ) (2x－ 1 x) 5 的展开式中的常数项为 C35(－1)325－3＋C25(－1)225－2＝40. 40 10．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则 a0＋a1＋2a2＋3a3＝________． 令 x＝－2 得 a0＝－1. 令 x＝0 得 27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3. 因此 a1＋2a2＋4a3＝14. 因为 C03(2x)3·30＝a3·x3. 所以 a3＝8. 所以 a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6. 所以 a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5. 5 11．已知二项式(3 x＋ 1 x) n 的展开式中各项的系数和为 256. (1)求 n； (2)求展开式中的常数项． (1)由题意，得 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝256， 即 2n＝256，解得 n＝8. (2)该二项展开式中的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr8(3 x)8－r·(1 x ) r ＝Cr8·x 8－4r 3 ， 令 8－4r 3 ＝0，得 r＝2， 此时，常数项为 T3＝C28＝28. 12．已知(a2＋1)n 展开式中各项系数之和等于(16 5 x2＋ 1 x) 5 的展开式的常数项，而(a2＋ 1)n 展开式的二项式系数最大的项等于 54，求 a 的值． 由(16 5 x2＋ 1 x) 5 ，得 Tr＋1＝Cr5(16 5 x2 )5－r ( 1 x ) r ＝(16 5 )5－r ·Cr5·x 20－5r 2 . 令 Tr＋1 为常数项，则 20－5r＝0， 所以 r＝4，所以常数项 T5＝C45× 16 5 ＝16. 又(a2＋1)n 展开式的各项系数之和等于 2n. 由题意得 2n＝16，所以 n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)4 展开式中二项式系数最大的项是中间项 T3， 所以 C24a4＝54，所以 a＝± 3. 13．487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7)， 则(x－ a x2) 6 展开式中 x－3 的系数为(　　) A．4 320　　 B．－4 320 C．20 D．－20 　B　 487＝(49－1)7＝C07·497－C17·496＋…＋C67·49－1， 因为 487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7)， 所以 a＝6， 所以(x－ 6 x2) 6 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6·(－6)r·x6－3r， 令 6－3r＝－3，可得 r＝3， 所以(x－ 6 x2) 6 展开式中 x－3 的系数为 C36·(－6)3＝－4 320. 14．已知(xtan θ＋1)5 的展开式中 x2 的系数与(x＋ 5 4 ) 4 的展开式中 x3 的系数相等， 则 tan θ＝________． (x＋ 5 4 ) 4 的通项为 Tr＋1＝Cr4·x4－r·(5 4 ) r ，令 4－r＝3，则 r＝1，所以(x＋ 5 4 ) 4 的展开式中 x3 的系数是 C14· 5 4＝5，(xtan θ＋1)5 的通项为 TR＋1＝CR5·(xtan θ)5－R，令 5－ R＝2，得 R＝3，所以(xtan θ＋1)5 的展开式中 x2 的系数是 C35·tan2θ＝5，所以 tan2θ＝ 1 2，所以 tan θ＝± 2 2 . ± 2 2 15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，求： (1)a8＋a7＋…＋a1； (2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0. 令 x＝0 得 a0＝1. (1)令 x＝1 得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，① 所以 a8＋a7＋…＋a1＝28－a0＝256－1＝255. (2)令 x＝－1 得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0，② 由①＋②得 28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)， 所以 a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝ 1 2(28＋48)＝32 896. 16．若( x＋ 1 24 x) n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中 x 的所有有理项； (2)展开式中系数最大的项． 易求得展开式前三项的系数为 1， 1 2C1n， 1 4C2n. 据题意得 2× 1 2C1n＝1＋ 1 4C2n⇒n＝8. (1)设展开式的通项为 Tr＋1， 由 Tr＋1＝Cr8( x)8－r( 1 24 x ) r ＝(1 2 ) r Cr8x 16－3r 4 ， 所以 r 为 4 的倍数， 又 0≤r≤8，所以 r＝0，4，8. 故有理项为 T1＝(1 2 ) 0 C08x 16－3 × 0 4 ＝x4， T5＝(1 2 ) 4 C48x 16－3 × 4 4 ＝ 35 8 x，T9＝(1 2 ) 8 C88x 16－3 × 8 4 ＝ 1 256x2. (2)设展开式中 Tr＋1 项的系数最大，则：(1 2 ) r Cr8≥(1 2 )r＋1 Cr＋18 且 (1 2 ) r Cr8≥(1 2 )r－1 Cr－18 ⇒r＝2 或 r＝3. 故展开式中系数最大的项为 T3＝(1 2 ) 2 C28x 16－3 × 2 4 ＝7x 5 2 ， T4＝(1 2 ) 3 C38x 16－3 × 3 4 ＝7x 7 4 .