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- 2021-06-16 发布
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知识点
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不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
基本不等式
≥(a≥0，b≥0)
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
2．不等式中的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)a<0b>0，0；
(4)00且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [解析] ⇒又当ab>0时，a与b同号，由a＋b>0知a>0，且b>0.
3. 下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
D [解析] 对于①，因为a>b，c－d，
所以a－c>b－d.
对于③，a>b>0，则>>0.
4. ________＋1(填“>”或“<”)．
[解析] ＝＋1<＋1.
[答案] <
5．下列不等式中恒成立的是__________．
①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.
[解析] m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；
5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；
5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；
5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．
[答案] ①②
比较两个数(式)的大小[学生用书P117]
[典例引领]
(1)(2016·高考浙江卷节选)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2.
(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．
【解】 (1)证明：因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0，1]，有≤，
即1－x＋x2－x3≤，
所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·
＝＝＝log8 9＞1，
所以a＞b.
比较下列各组中两个代数式的大小．
(1)3m2－m＋1与2m2＋m－3；
(2)＋与a＋b(a＞0，b＞0)．
[解] (1)因为(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3)
＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3＞0，
所以3m2－m＋1＞2m2＋m－3.
(2)因为＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又因为a＞0，b＞0，所以≥0，
故＋≥a＋b.
不等式的性质[学生用书P117]
[典例引领]
(1)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
(2)因为a＞0＞b，c＜d＜0，
所以ad＜0，bc＞0，
所以ad＜bc，故①错误．
因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，
因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以a(－c)＞(－b)(－d)，
所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，故②正确．
因为c＜d，所以－c＞－d，
因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d，故③正确．
因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，
故④正确，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
(1)判断不等式命题真假的方法
①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．
(2)充要条件的判断方法
利用两命题间的关系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性质或特值求解．
[通关练习]
1．(2017·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则ab，c>d，则a－c>b－d
C [解析] 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B：当c<0时，ac>bc⇒a0，所以ab>0，c B.<
C.> D.<
【解析】 法一：因为c－d>0，
所以>>0.
又a>b>0，所以>，
所以<.故选B.
法二：⇒<<0⇒
⇒>⇒<.
法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，所以<，所以选项A错误，选项B正确．故选B.
【答案】 B
本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易出错，而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．
(2017·潍坊模拟)若<<0，则下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，其中正确的不等式是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
C [解析] 因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2，显然②④不成立，排除A、B、D.
[学生用书P353(独立成册)]
1．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是( )
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}
C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
D [解析] 由题意知a＝0时，满足条件．
a≠0时，由
得0＜a≤4，所以0≤a≤4，故选D.
2．(2017·西安质检)设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是( )
A. B.
C．(0，π) D.
D [解析] 由题设得0<2α<π，0≤≤，
所以－≤－≤0，
所以－<2α－<π.
3．如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0
C [解析] 由题意知c＜0，a＞0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．
4．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2，5]
A [解析] x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，
只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.
5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
C [解析] 当c＝0时，可知A不正确；当c＜0时，可知B不正确；由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以＞成立，C正确；当a＜0且b＜0时，可知D不正确．
6．如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
D [解析] (a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立的条件：
当a＝2时，－4＜0恒成立；
当a≠2时，
解得－2＜a＜2.
所以－2＜a≤2，故选D.
7．(2017·扬州模拟)若a10，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
[答案] a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
[解析] 若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，
即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
[答案] a＜0＜b
9．若函数f(x)＝ 的定义域为一切实数，则实数k的取值范围为________．
[解析] 由题意知不等式－kx－2kx2≥0恒成立，
即2kx2＋kx－≤0恒成立．
①当k＝0，－＜0，对于一切x∈R恒成立．
②当，
即－3≤k＜0时对于一切x∈R恒成立．
综上，实数k的取值范围为{k|－3≤k≤0}．
[答案] [－3，0]
10．(2017·盐城一模)若－1
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