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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版函数的图象与性质学案

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第1讲 小题考法——函数的图象与性质 一、主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性 ‎(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立,则f(x)为偶函数).‎ ‎(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值:若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期.‎ 二、二级结论要用好 ‎1.函数单调性和奇偶性的重要结论 ‎(1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)为增(减)函数.‎ ‎(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. ‎ ‎(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;‎ f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.‎ ‎(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数,奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数,奇函数与偶函数的积、商是奇函数.‎ ‎(5)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图象必过原点,即有f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数:f(x)=0.‎ ‎(6)f(x)+f(-x)=0⇔f(x)为奇函数;f(x)-f(-x)=0⇔f(x)为偶函数.‎ ‎2.抽象函数的周期性与对称性的结论 ‎(1)函数的周期性 ‎①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数,T=‎2a.‎ ‎②若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,T=‎2a.‎ ‎③若函数f(x)满足f(x+a)=,则f(x)是周期函数,T=‎2a.‎ ‎(2)函数图象的对称性 ‎①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(‎2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(‎2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.‎ ‎③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.‎ ‎3.函数图象平移变换的相关结论 ‎(1)把y=f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c>0时向左移,c<0时向右移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数).‎ ‎(2)把y=f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b>0时向上移,b<0时向下移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数).‎ 三、易错易混要明了 ‎1.求函数的定义域时,关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根,被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数.列不等式时,应列出所有的不等式,不能遗漏.‎ ‎2.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“和”连接或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.‎ ‎3.判断函数的奇偶性时,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.‎ ‎4.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题.‎ ‎5.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应法则的函数,它是一个函数,而不是几个函数.‎ 考点一 函数的概念及表示 ‎1.函数定义域的求法 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出解集即可.‎ ‎2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算 求函数最值 分别求出每个区间上的最值,然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提 求参数 ‎“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程 利用函数 性质求值 必须依据条件找到函数满足的性质,利用该性质求解 ‎1.(2018·邵阳模拟)设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为( B )‎ A.(1,2] B.(2,4]‎ C.[1,2] D.[2,4)‎ 解析 f(x)的定义域为⇒1<x≤2, 故1<≤2,2<x≤4, 所以选B.‎ ‎2.(2018·南充三联)已知函数f(x)=则f(2 018)=__1_008__.‎ 解析 函数f(x)=则f(2 018)=f(2 016)+1=f(2 014)+2=…=f(0)+1 009=1-2+1 009=1 008, 故答案为1 008.‎ ‎3.(2018·百校联盟4月联考)已知f(x)=若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为__1__.‎ 解析 ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-‎2a+1=0,所以a=1.‎ 考点二 函数的图象及应用 由函数解析式识别函数图象的策略 ‎1.(2018·郴州二模)函数f(x)=lnx-x2的大致图象是( A )‎ 解析 因为f′(x)=-x=,所以0<x<2,f′(x)>0,x>2,f′(x)<0,函数在(0,2)上是增函数,(2,+∞)上是减函数,故C,D选项错误,又f(2)=ln 2-=ln 2-ln e=ln >ln 1=0,故选A.‎ ‎2.(2018·江门一模)函数y=·sin x的部分图象大致为( A )‎ 解析 设f(x)=·sin x,‎ 由1+ln |x|≠0得x≠±,则函数的定义域为 ∪∪.‎ ‎∵f(-x)=·sin (-x)‎ ‎=-·sin x=-f(x),‎ ‎∴函数f(x)为奇函数,排除D.‎ 又1>,且f(1)=sin 1>0,故可排除B.<,‎ 且f=·sin =·sin =-3·sin <0,故可排除C.选A.‎ ‎3.已知f(x)=则方程‎2f2(x)-‎3f(x)+1=0解的个数是__5__.‎ 解析 方程‎2f2(x)-‎3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图象,由图象知方程解的个数为5.‎ 考点三 函数的性质及应用 函数3个性质的应用 ‎(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).‎ ‎(2)单调性:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.‎ ‎(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.‎ ‎1.(2018·山西联考)若函数f(x)=为奇函数,则f(g(2))=( D )‎ A.-2 B.-1‎ C.0 D.2‎ 解析 设x>0,则-x<0,故f(-x)=2x-2=-f(x),故x>0时,f(x)=2-2x,由g(2)=f(2)=2-4=-2,故f(g(2))= f(-2)=-f(2)=2,故选D.‎ ‎2.(2018·雅安三诊)已知函数f(x)=-x3-7x+sin x,若f(a2)+f(a-2)>0,则实数a的取值范围是( D )‎ A.(-∞,1) B.(-∞,3)‎ C.(-1,2) D.(-2,1)‎ 解析 ∵函数f(x)=-x3-7x+sin x,‎ ‎∴f(-x)=x3+7x-sin x=-f(x),即函数f(x)在R上为奇函数.‎ ‎∵f′(x)=-3x2-7+cos x,‎ ‎∴f′(x)=-3x2-7+cos x<0恒成立,‎ 即函数f(x)在R上为减函数.‎ ‎∵f(a2)+‎ f(a-2)>0,∴f(a2)>‎ ‎-f(a-2)=f(2-a),‎ ‎∴a2<2-a,即a2+a-2<0.‎ ‎∴-2<a<1,故选D.‎ ‎3.(2018·石嘴山二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当0<x<2时,f(x)=2x-1,则f(-21)+f(16)=__-1__.‎ 解析 f(-21)=f(-1)‎ ‎=-f(1)‎ ‎=-1,f(16)‎ ‎=f(0)=0,‎ ‎∴f(-21)+f(16)=-1,故答案为-1.‎ ‎4.(2018·延边模拟)若函数f(x)= ‎(a>0,a≠1),当x1,x2∈R,x1≠x2,时有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则a的取值范围是__(2,3]__.‎ 解析 由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,得函数f(x)是增函数,∴解得2<a≤3.故答案为(2,3].‎