专题08 立体几何-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）1 54页

1 易错点 1 对空间几何体的结构认识不准确致错 有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从 3 个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出 骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母 H 对面的字母是 . 【错解】P 【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案. 【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得 H 对面的字母是 O. 【参考答案】O 1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图 形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答. 2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项： (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情 况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 1．一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为_________(只填写序号). 2 【答案】①②③ 【解析】当截面与正方体的某一面平行时,可得①,将截面旋转可得②,继续旋转,过正方体两顶点时可得 ③,即正方体的对角面,不可能得④. 易错点 2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 【错解】A 或 B 或 C 【错因分析】选 A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体； 选 B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体； 选 C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体. 【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D. 【参考答案】D 1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋 转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最 后检查轮廓线的实虚． 2．三视图问题的常见类型及解题策略： (1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结 3 合空间想象将三视图还原为实物图． (2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不 能看到的部分用虚线表示． (3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形 式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部 分三视图是否符合. 2．已知三棱锥的俯视图与侧视图如下图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一直角边为 2 的 直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 【答案】C 【解析】通过对比选项可知，对于选项 A,D，则俯视图应有一条中线，故排除 A,D；从俯视图可以观察 得到该几何体的一条侧棱在正视图中应该看不见，为虚线，故排除 B.所以选 C. 易错点 3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系 如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为 4 A．3 B． 3 2 2 C．6 D．3 2 【错解】B 【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为 1 3 22 3 sin 45 =2 2     .实际上， 题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解. 【试题解析】原平面图形如图，即 Rt △ OAB，其中 OA=O′A′=3，OB=2O′B′=4，故原平面图形的面积为 1 3 4=62   ，选 C. 【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答 关键是牢记原图形与直观图的面积比为 2 2S S  ． 【参考答案】C 1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”： “三变” y    坐标轴的夹角改变 与 轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变 ； “三不变” x z    平行性不改变 与 , 轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变 . 2．原图形与直观图的面积比为 2 2S S  ，即原图面积是直观图面积的 2 2 倍，直观图面积是原图面积的 1 2= 42 2 倍. 5 3．如图所示，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角为 45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的 直观图 O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为 A． 2 2 B． 3 2 C． 2 3 D． 3 【答案】A 【解析】因为 OA=6，CB=2，所以 OD=2.又因为∠COD=45°，所以 CD=2.梯形的直观图如图，则 C′D′=1. 所以梯形的高 C′E′= 2 2 . 本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形 而导致错误． 易错点 4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 6 A．21+ 3 B．18+ 3 C．21 D．18 【错解】B 或 C 或 D 【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B 项计算三角形面积时 出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但 C 项忽略了几何体多了两个等边三角形 面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D 项计算三角形面积 时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面. 【试题解析】由三视图可知原几何体如图所示，是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积 为 S=24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为 1 的等腰直角三 角形，其侧面面积的和为 3，三棱锥的底面是边长为 2 的正三角形，其底面面积的和为 3 ，故所求几何体 的表面积为 24−3+ 3 =21+ 3 .故选 A. 【参考答案】A 1．柱体、锥体、台体的表面积 （1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数 据与几何体的表面积公式，求其表面积． （2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不 7 遗漏. （3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体 展开为平面图形后再求面积. 2．柱体、锥体、台体的体积 空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易 题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有： （1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． （2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解． （3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. ①等体积法： 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采 用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一 种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. ②割补法： 运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的 线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几 何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的 几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则 的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就 是求体积的“加、减”法． 4．如图所示，已知等腰梯形 ABCD 的上底 AD＝2 cm，下底 BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰 AB 旋 转一周，则所得的旋转体的体积是 8 A．246π B．248π C．249π D．250π 【答案】B 【解析】过 D 作 DE⊥AB 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F，所得旋转体是以 CF 为底面半径的圆锥和圆台， 挖去以 A 为顶点，以 DE 为底面半径的圆锥的组合体． 由于 AD＝2 cm，BC＝10cm，∠ABC＝60°，在 Rt △ BCF 中，BF＝5 cm，FC＝5 3 cm. 由 AD∥BC 得，∠DAE＝∠ABC＝60°.在 Rt △ ADE 中，DE＝ 3 cm，AE＝1 cm. 又在等腰梯形 ABCD 中可求得 AB＝8 cm，AF＝AB－BF＝8－5＝3(cm)，EF＝AE＋AF＝4 cm. 所以旋转后所得几何体的体积为 V＝1 3π·BF·FC2＋1 3π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－1 3π·AE·DE2＝1 3π×5×(5 3)2 ＋1 3π×4×[( 3)2＋(5 3)2＋ 3×5 3]－1 3π×1×( 3)2＝248π(cm3)，即所得的旋转体的体积为 248π cm3. 本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为 1 cm 的圆锥的体积而错选 C. 易错点 5 问题考虑不全面致错 9 已知半径为 10 的球的两个平行截面圆的周长分别是 12π和 16π，则这两个截面圆间的距离 为 . 【错解】2 如图，设球的大圆为圆 O，C，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过点 C，O，D 的直径，由题中条件可得 两截面圆的半径分别为 6 和 8.在 Rt △ COE 中， 2 210 6 8OC    .在 Rt △ DOF 中， 2 210 8 6OD    . 所以 CD=OC−OD=8−6=2，故这两个截面圆间的距离为 2. 【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以 在球心的同侧，也可以在球心的两侧. 【试题解析】如上图，设球的大圆为圆 O，C，D 为两截面圆的圆心，AB 为经过点 C，O，D 的直径，由题 中条件可得两截面圆的半径分别为 6 和 8. 当两截面在球心同侧时， 2 2 2 210 6 10 8 2CD OC OD       ； 当两截面在球心两侧时， 2 2 2 210 6 10 8 14CD OC OD       . 综上可知，两截面圆间的距离为 2 或 14. 【参考答案】2 或 14 1．球的有关问题 （1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已 知球的体积或表面积也可以求其半径. （2）球与几种特殊几何体的关系： ①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； ②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为 3∶1； ③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱 10 的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； ④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． （3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系， 正确建立等量关系. （4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球 心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 之间满足关系式： 2 2d R r  . 2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路： 一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有 关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断； 二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法 解决. 5．如图所示，在长方体中， 14cm, 2cm, 3cm,AB AD AA   则在长方体表面上连接 1A C、 两点的所有 曲线长度的最小值为__________． 【答案】 41 【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形 1 1AA D D 和四边形 1 1DD C C 在同一平面内时，最小距 离为四边形 1 1AAC C 的对角线，长度是 2 23 (4 2) 45   ；当四边形 1 1AA B B 和四边形 1 1BB C C 在 同一平面内时，最小距离为四边形 1 1AAC C 的对角线，长度是 2 23 (4 2) 45   ；四边形 ABCD 和 四边形 1 1CDD C 在同一平面内时，最小距离为四边形 1 1ABC D 的对角线，长度是 2 24 (2 3) 41   ， 所以最小距离是 41 ． 11 将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面 化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点 和线在展开图中的相应关系是解题的关键． 该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体 的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是， 容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误． 易错点 6 应用公理或其推论时出错 已知 A，B，C，D，E 五点中，A，B，C，D 共面，B，C，D，E 共面，则 A，B，C，D，E 五点一 定共面吗？ 【错解】A，B，C，D，E 五点一定共面. 因为 A，B，C，D 共面，所以点 A 在 B，C，D 所确定的平面内， 因为 B，C，D，E 共面，所以点 E 也在 B，C，D 所确定的平面内， 所以点 A，E 都在 B，C，D 所确定的平面内，即 A，B，C，D，E 五点一定共面. 【错因分析】错解忽略了公理 2 中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上 B，C，D 三点有可能共线. 【试题解析】（1）如果 B，C，D 三点不共线，则它们确定一个平面α. 因为 A，B，C，D 共面，所以点 A 在平面α内， 因为 B，C，D，E 共面，所以点 E 在平面α内， 所以点 A，E 都在平面α内，即 A，B，C，D，E 五点一定共面. （2）若 B，C，D 三点共线于 l， 若 Al，El，则 A，B，C，D，E 五点一定共面； 若 A，E 中有且只有一个在 l 上，则 A，B，C，D，E 五点一定共面； 若 A，E 都不在 l 上，则 A，B，C，D，E 五点可能不共面. 【参考答案】见试题解析. 12 在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对 于确定平面问题，在应用公理 2 及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件. 1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理 3.常用方法有： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 知这些点都在这两个平面 的交线上； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. 2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明 三线共点. 3．证明点或线共面问题，主要有两种方法： ①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 6．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E 四点共面； （2）若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线． 【解析】（1）如图，连接 B1D1. ∵EF 是△ D1B1C1 的中位线，∴EF∥B1D1. 13 在正方体 AC1 中，B1D1∥BD，∴EF∥BD. ∴EF、BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面． （2）正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为α，又设平面 BDEF 为β. ∵QA1C1，∴Qα.又 QEF，∴Qβ. 则 Q 是α与β的公共点，同理 P 是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴RA1C. ∴Rα，且 Rβ，则 RPQ. 故 P，Q，R 三点共线． 易错点 7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误 如图，已知空间四边形 ABCD 中，AD=BC，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且直线 BC 与 MN 所成 的角为 30°，则 BC 与 AD 所成的角为 . 【错解】120° 如图，连接 BD，并取中点 E，连接 EN，EM，则 EN∥BC，ME∥AD，故 ENM 为 BC 与 MN 所成的角， ∠MEN 为 BC 与 AD 所成的角，∴∠ENM=30°.又由 AD=BC，知 ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°， ∴ 180 30 30 120MEN       ，即 BC 与 AD 所成的角为 120°. 【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角， 14 因为异面直线所成的角α的取值范围是 0 90   ，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线 所成的角. 【试题解析】以上同错解，求得∠MEN=120°，即 BC 与 AD 所成的角为 60°. 【参考答案】60° 求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是 0 90   . 1．求异面直线所成的角的常见策略： （1）求异面直线所成的角常用平移法． 平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用 补形平移． （2）求异面直线所成角的步骤 ①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. （3）判定空间两条直线是异面直线的方法 ①判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．求直线与平面所成的角的方法： （1）求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． （2）求线面角的技巧 在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影 15 的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”． 作平面角时，一定要注意顶点的选择． 7．已知四面体 ABCD中， FE, 分别是 BDAC, 的中点，若 2AB  ， 4CD  ， ABEF  ，则 EF 与 CD 所成角的度数为 A． 90 B． 45 C． 60 D． 30 【答案】D 【解析】如图，取 AD 的中点G ，连接GF GE， ，则GF GE， 分别为 ABD ACD△ ,△ 的中位线．由此 可得 GF AB∥ ，且 1 12GF AB  ，GE CD∥ ，且 1 22GE CD FEG  ， 或其补角即为直线 EF 与 CD 所成的角． 又 ,GF AB EF GEF AB F   ∥ ， ，因此， Rt EFG△ 中， 1 2GF GE ， ， 则sin 1 2 GFGEF GE    ，可得 30GEF   ．∴ EF 与CD 所成的角为 30 .故选 D. 16 易错点 8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断 如果两条平行直线 a，b 中的 a∥α，那么 b∥α.这个命题正确吗？为什么？ 【错解】这个命题正确． ∵a∥α，∴在平面α内一定存在一条直线 c，使 a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 【错因分析】忽略了 b ⊂ α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线 b 与平面α有两种位置关系：b∥α和 b ⊂ α. 【试题解析】这个命题不正确． 若 b ⊄ α，∵a∥α，∴在平面α内必存在一条直线 c，使 a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 若 b ⊂ α，则不满足题意． 综上所述，b 与α的位置关系是 b∥α或 b ⊂ α. 【参考答案】见试题解析. 错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平 面内的一条直线平行． 1．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的 位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． 17 2．熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题. 8．下列命题中，错误的是 A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B．平行于同一直线的两个平面一定平行 C．如果平面 不垂直于平面  ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面  D．若直线l 不平行于平面 ，且 l 不在平面内，则在平面 内不存在与l 平行的直线 【答案】B 【解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交， 故 A 正确；平行于同一直线的两个平面有两种位置关系，可能平行，也可能相交，B 错误；如果一个平 面 内存在直线垂直于平面  ，则平面 一定垂直于平面  ，故 C 正确．若直线l 不平行于平面 ，且 l 不在 内，则l 与 相交，则在平面 内不存在与l 平行的直线.故选 B． 易错点 9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错 如图， a b∥ ，点 P 在 ,a b 所确定的平面γ外， PA a 于点 A ， AB b 于点 B . 求证： PB b . 【错解】因为 PA a ， a b∥ ，所以 PA b . 所以 PA  ，所以 PB b . 【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由 , ,PA a PA b  得 PA  ，而 忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即 a b   . 【试题解析】因为 ,PA a a b ∥ ，所以 PA b . 18 又 ,AB b PA AB A  ，所以 b  平面 PAB . 因为 PB PAB 平面 ，所以 PB b . 【参考答案】见试题解析. 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点. 1．判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)； ②利用线面平行的判定定理( a b a b a    , , ∥ ∥ )； ③利用面面平行的性质( a a    ∥ , ∥ )； ④利用面面平行的性质( a a a a       ∥ , , , ∥ ∥ ). 2．判定面面平行的常见策略： ①利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)． ③利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． ④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 3．证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②判定定理； ③垂直于平面的传递性( a b a b   ∥ , )； ④面面平行的性质( a a     , ∥ )； ⑤面面垂直的性质． 4．判定面面垂直的常见策略： ①利用定义(直二面角)． ②判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直． 19 ③在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一 个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 9．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点 P ，C ），平面 ABE 与 棱 PD 交于点 F . （1）求证： ∥AB EF ； （2）若平面 PAD  平面 ABCD ，求证： AF EF . 【答案】见解析 【解析】（1）因为 ABCD 是矩形，所以 ∥AB CD ． 又因为 AB  平面 PDC ，CD  平面 PDC ，所以 ∥AB 平面 PDC ． 又因为 AB  平面 ABEF ，平面 ABEF  平面 PDC EF ， 所以 ∥AB EF ． （2）因为 ABCD 是矩形，所以 AB AD ． 又因为平面 PAD  平面 ABCD ，平面 PAD  平面 ABCD AD ，AB  平面 ABCD ，所以 AB  平 面 PAD ． 又 AF  平面 PAD ，所以 AB AF ． 又由（1）知 ∥AB EF ，所以 AF EF ． 易错点 10 对空间向量理解不正确致误 已知下列命题： 20 ①若 A，B，C，D 在一条直线上，则 AB  与 CD  是共线向量； ②若 A，B，C，D 不在一条直线上，则 AB  与CD  不是共线向量； ③若向量 AB  与 CD  是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在一条直线上； ④若向量 AB  与 AC  是共线向量，则 A，B，C 三点必在一条直线上． 其中是真命题的有____________（填序号）． 【错解】①②③④ 【错因分析】因为向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不一定重合，也 有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行； 否则，对应的两条直线重合． 【试题解析】①为真命题，若 A，B，C，D 在一条直线上，向量 AB  ，CD  方向相同或相反，因此 AB  与CD  是共线向量； ②为假命题，若 A，B，C，D 不在一条直线上，则 AB  ，CD  方向不确定，所以不能判断 AB  与CD  是否是 共线向量； ③为假命题，因为 AB  ， CD  两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为 AB  ， AC  两个向量所在的直线有公共点 A，所以三点共线． 故填①④． 【参考答案】①④ 平行直线与平行向量的区别与联系： ①平行向量所在的直线既可以平行也可以重合； ②平行直线是指任何不重合的两条平行直线．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平 行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 1．判断两非零向量 ,a b 平行，就是判断 a b 是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线. 21 2．证明空间三点 P、A、B 共线的方法： ① PA PB  (λ∈R)； ②对空间任一点 O，OP OA t AB    (t∈R)； ③对空间任一点 O， ( 1)OP xOA yAB x y      ． 3．证明空间四点 P、M、A、B 共面的方法： ① MP xMA yMB    ； ②对空间任一点 O，OP OM xMA yMB      ； ③对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB      (x＋y＋z＝1)； ④ ∥PM AB   (或 ∥PA MB   或 ∥PB AM   ). 10．已知 (2,4,5)AB  ， (3, , )CD x y ，若 AB CD  ∥ ，则 A． 6x  ， 1y  B． 3x  ， 15 2y  C． 3x  ， 15y  D． 6x  ， 15 2y  【答案】D 【解析】因为 AB CD  ∥ ，所以 2 4 5 3 x y   ，所以 6x  ， 15 2y  ．故选 D． 由于向量可以任意平移，所以有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与 两向量平行也是不等价的．“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．若两向量平行，则两向量可能 同向、也可能反向． 易错点 11 不能正确利用空间向量解决立体几何问题 22 已知四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2PA，E 是线 段 BC 中点． （1）判断 PE 与 AD 的关系； （2）在线段 PD 上是否存在一点 F，使得 CF∥平面 PAE，说明你的理由． 【错解】（1）取 A 为坐标原点，AB、AC、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 PA＝1， 则 P(0，0，1)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(2，1，0)， ∴PE → ＝(2，1，－1)，AD → ＝(0，2，0)，∴PE → ·AD → ＝2≠0， ∴PE 与 AD 不垂直． （2）设PF → ＝λPD → ＝(0，2λ，－λ)，则CF → ＝PF → －PC → ＝(－2，2λ－2，1－λ)． 又AP → ＝(0，0，1)，AE → ＝(2，1，0)． 设CF → ＝mAP → ＋nAE → ，则 2n＝－2 n＝2λ－2 m＝1－λ ，∴ m＝1 2 n＝－1 λ＝1 2 ，即CF → ＝1 2AP → －AE → ， ∴CF → 、AP → 、AE → 共面，∴CF∥平面 PAE， ∴存在点 F 为 PD 中点，使 CF∥平面 PAE. 【错因分析】因为 AB 与 AC 不垂直，故以 AB、AC、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立的坐标系不是直角 坐标系，另外我们建立坐标系应为右手系． 【试题解析】连接 AE. ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，E 为边 BC 的中点， ∴AE⊥BC， 23 ∴AE⊥AD， 又 PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AE，PA⊥AD， 以 AD、AE、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB＝2，则 B(－1，3，0)、E(0，3， 0)、C(1，3，0)、D(2，0，0)、P(0，0，1)． （1）∵PE → ＝(0，3，－1)，AD → ＝(2，0，0)， ∴PE → ·AD → ＝0， ∴PE⊥AD. （2）假设线段 PD 上存在一点 F，使直线 CF∥平面 PAE， ∵AD → 是平面 PAE 的一个法向量， ∴CF → ⊥AD → ， 设PF → ＝λPD → ＝(2λ，0，－λ)(0≤λ≤1)，则CF → ＝PF → －PC → ＝(2λ－1，－ 3，－λ＋1)， ∴CF → ·AD → ＝(2λ－1，－ 3，－λ＋1)·(2，0，0)＝4λ－2＝0，解得λ＝1 2 ， 所以当 F 为线段 PD 的中点时，直线 CF∥平面 PAE. 【参考答案】见试题解析. 1．利用向量法证明平行问题 （1）证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行. （2）证明线面平行： 24 ①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. （3）证明面面平行：两个平面的法向量平行. 2．利用向量法证明垂直问题 （1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 3．利用向量法求空间角 （1）用向量法求异面直线所成的角 ①建立空间直角坐标系； ②求出两条直线的方向向量； ③代入公式求解，一般地，异面直线 AC，BD 的夹角β的余弦值为 | |cos | || | AC BD AC BD       . （2）用向量法求直线与平面所成的角 ①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角． （3）用向量法求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的 夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 4．利用向量法求空间距离 （1）空间中两点间的距离的求法 两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模．因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化 为求向量的模. （2）求点 P 到平面α的距离的三个步骤： ①在平面α内取一点 A，确定向量 PA  的坐标． ②确定平面α的法向量 n. 25 ③代入公式 | | | | PAd   n n 求解． 5．利用向量法求立体几何中的探索性问题 （1）通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件 吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结 论，则说明假设不成立，即不存在． （2）探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量． 11．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD  平面 ABCD ，且 1PD AD  ， 2AB  ， 点 E 是 AB 上一点，当二面角 P EC D  为 4  时， AE  A． 2 3 B． 1 2 C． 2 2 D．1 【答案】A 【解析】以 D 为坐标原点，DA  的方向为 x 轴正方向，DC  的方向为 y 轴正方向，建立的空间直角坐标 系 D xyz ， 则 (1,0,0)A ， (1,2,0)B ， (0,2,0)C ， (0,0,1)P ， 设 (1, ,0)E t ，平面 PEC 的一个法向量为 ( , , )x y zn ，由于 (1, , 1)PE t  ， (0,2, 1)PC   ， 所以 20 1 2 0 2 x tx ty z yy z z           ，即 (2 ,1,2)t n ， 又平面 ABCD 的一个法向量是 1 (0,0,1)n ，且 2 1 2 (2 ) 1 4t     n n 2 22   ， 解得 2 3t   ， 故选 A． 26 一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1．空间几何体的结构 （1）多面体 几何体 结构特征 备注 棱柱 ①底面互相平行. ②侧面都是平行四边形. ③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行. 按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱 和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱 柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别 地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 棱锥 ①底面是多边形. ②侧面都是三角形. ③侧面有一个公共顶点. 三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可 以看作底. 三棱锥又称为四面体. 棱台 ①上、下底面互相平行，且是相似图形. ②各侧棱的延长线交于一点. ③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 （2）旋转体 几何体 结构特征 备注 圆柱 ①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底 面是圆面而不是圆. ②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平 行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. ③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截 面(轴截面)是全等的矩形. 圆柱可以由矩形绕其任一边所在 直线旋转得到. 27 圆锥 ①底面是圆面. ②有无数条母线，长度相等且交于顶点. ③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截 面（轴截面）是全等的等腰三角形. 圆锥可以由直角三角形绕其直角 边所在直线旋转得到. 圆台 ①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. ②有无数条母线，等长且延长线交于一点. ③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过 轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形. 圆台可以由直角梯形绕直角腰所 在直线或等腰梯形绕上、下底中点 连线所在直线旋转得到，也可由平 行于底面的平面截圆锥得到. 球 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面. ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 之间满足关系式： 2 2d R r  . 球可以由半圆面或圆面绕直径所 在直线旋转得到. 2．空间几何体的三视图 （1）三视图的概念 ①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图； ②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图； ③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图. （2）三视图的画法规则 ①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图： 正 侧 28 俯 ②画法规则 ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”； ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”. ③线条的规则 ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示； ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示. （3）常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 长方体 矩形 矩形 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画 法规则是： ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′轴， 两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或 135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确 29 定的平面表示水平平面. ③已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段， 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来 的一半. ⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为 2 2S S  ，即原图面积是直观图面积的 2 2 倍， ②直观图面积是原图面积的 1 2= 42 2 倍. 二、空间几何体的表面积与体积 1．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆锥（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆台（上、下底面半径分别为 r′，r，母线长为 l） 侧面展开图 底面面积 2π底S r 2π底S r 2 2,π π上底 下底S r S r   侧面面积 2π侧S rl π侧S rl  π侧S l r r  表面积  2π表S r r l   π表S r r l   2 2π表S r r r l rl      30 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 2．柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 柱体V Sh (S 为底面面积，h 为高) 2π圆柱V r h (r 为底面半径，h 为高) 锥体 1 3锥体V Sh (S 为底面面积，h 为高) 21 3 π圆锥V r h (r 为底面半径，h 为高) 台体 (1 3 )台体V S S S S h    (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，  2 2 3 π1 圆台V h r r r r     (r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高) （1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系 （2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 3．球的表面积和体积公式 31 设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其表面积公式为 24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 34 π3 R . 球的切、接问题（常见结论） （1）若正方体的棱长为 a ，则正方体的内切球半径是 1 2 a ；正方体的外接球半径是 3 2 a ；与正方体所 有棱相切的球的半径是 2 2 a ． （2）若长方体的长、宽、高分别为 a ，b ， h ，则长方体的外接球半径是 2 2 21 2 a b h  ． （3）若正四面体的棱长为 a ，则正四面体的内切球半径是 6 12 a ；正四面体的外接球半径是 6 4 a ；与 正四面体所有棱相切的球的半径是 2 4 a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点在同一个平 面内，那么这条直线在这个平面内 A  l ， B  l ， 且 A  α ， Bα ⇒ l ⊂ α 公理 2 过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面 A，B，C 三点不共线 ⇒ 有且只 有一个平面α，使 Aα，Bα， Cα 公 理 2 推 论 1 经过一条直线和直线外的一点，有 且只有一个平面 若点 A直线 a，则 A 和 a 确 定一个平面 32 的 推 论 推 论 2 经过两条相交直线，有且只有一个 平面 a b P ⇒ 有且只有一个平 面 ，使 a  ，b  推 论 3 经过两条平行直线，有且只有一个 平面 ∥a b ⇒ 有 且只 有一 个平 面  ，使 a  ， b  公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 Pα，且 Pβ ⇒ α∩β=l，Pl， 且 l 是唯一的 公理 4 ———l1 ———l2 ———l 平行于同一直线的两条直线平行 l1∥l，l2∥l ⇒ l1∥l2 2．等角定理 （1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如 图 （ 1）、（ 2） 所 示 ， 在 ∠ AOB 与 ∠ A′O′B′中 ， ,OA O A OB O B   ∥ ∥ ， 则 AOB A O B      或 180AOB A O B        . 图（1） 图（2） 3．空间两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：       两条直线有且仅有一个公共点：相交直线 平行直线两条直线无公共点： 异面直线 直线 （2）从是否共面的角度分类： 33       相交直线共面直线直线 平行直线 不共面直线：异面直线 4．异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的定义 如图，已知两异面直线 a，b，经过空间任一点 O，分别作直线 a′∥a，b′∥b，相交直线 a′，b′所成的锐 角（或直角）叫做异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）. （2）异面直线所成角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是 π(0, ]2 . （3）两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线 a，b， 记作 a⊥b. 5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：    直线和平面相交—有且只有一个公共点 直线和平面平行—没有公共点 直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：      直线与平面平行 直线与平面相交直线与平面不平行 直线在平面内 ③按直线是否在平面内分类：      直线在平面内 直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外) 直线和平面平行 （2）平面和平面位置关系的分类 34 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线. （1）唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （2）异面直线的判定方法 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 四、直线、平面平行的判定及其性质 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行 ⇒ 线面平行 图形语言 符号语言 a ⊄ α，b ⊂ α，且 a∥b ⇒ a∥α 作用 证明直线与平面平行 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行. 简记为：线面平行 ⇒ 线线平行 35 图形语言 符号语言 , ,a a b a b     ∥ ∥ 作用 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 3．平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行 ⇒ 面面平行 图形语言 符号语言 a ⊂ β，b ⊂ β， a b P ，a∥α，b∥α ⇒ α∥β 作用 证明两个平面平行 4．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 简记为：面面平行 ⇒ 线线平行 图形语言 36 符号语言 , ,a b a b        ∥ ∥ 作用 证明线线平行 1．平行问题的转化关系 2．常用结论 （1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． （3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． （4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． （7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． （8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 五、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如 下： 37 定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直 ⇒ 线面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a ⊂ α，b ⊂ α， a b P ⇒ l⊥α 作用 判断直线与平面垂直 在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直， 而不是任意的两条直线. 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直 ⇒ 线线平行 图形语言 符号语言 a b       ⇒ a b∥ 38 作用 ①证明两直线平行； ②构造平行线. 4．平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记 作 ⊥ .图形表示如下： 5．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直 ⇒ 面面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l  ⇒ α⊥β 作用 判断两平面垂直 6．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直 ⇒ 线线平行 图形语言 39 符号语言 =l aa a l             ⊥ ⊥ 作用 证明直线与平面垂直 7．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平 面的交点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90 ；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于 0 .因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．． π[0, ]2 . 8．二面角 （1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发 的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围：[0,π]. 1．垂直问题的转化关系 2．常用结论 40 （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直． （6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． （7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 六、空间向量与立体几何 1．空间直角坐标系 定 义 以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度， 给定正方向，建立两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，建立了一个空间直角坐标系 O xyz 坐标原点 点 O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间一点 M 的坐标 （1）空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( , , )x y z 来表示，记作 ( ), ,M x y z ，其中 x 叫做点 M 的横坐 标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标. （2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点 M 与有序实数组 ( , , )x y z 可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z 为空间两点， 则 ,A B 两点间的距离 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( )AB x x y y z z      . ②设点 ( ), ,P x y z ，则点 ( ), ,P x y z 与坐标原点 O 之间的距离为 2 2 2| |OP x y z   . 41 （2）中点公式 设点 ( ), ,P x y z 为 1 1 1 1, ),(P x y z ， 2 2 2 2, ),(P x y z 的中点，则 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x xx y yy z zz         . 4．共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得 a＝λb. 牢记两个推论： （1）对空间任意一点 O，点 P 在直线 AB 上的充要条件是存在实数 t，使 (1 )OP t OA tOB     或 OP xOA yOB    （其中 1x y  ）. （2）如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上 的充要条件是存在实数 t，使 OP OA t   a ，其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量，该式称为直线方程的 向量表示式. 5．共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 x y p a b . 牢记推论：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 AP xAB yAC    ；或 对空间任意一点 O，有OP OA xAB yAC      . 6．空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量. （1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3） 0 不能作为基向量. 42 7．空间向量的运算 （1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量. （2）空间向量的坐标运算 设 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a b b b a b ，则 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b    a b ， 1 2 3( , , )( )a a a      Ra ， 1 1 2 2 3 3a b a b a b   a b ， 1 1 2 2 3 3, , ( )b a b a b a           Ra b b a ， 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b      a b a b ， 2 2 2 2 1 2 3a a a   a a ， 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , a b a b a b a a a b b b        a ba b a b . 8．直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作 l ，显然一条直线的方向向量可以有 无数个. 43 （2）若直线l  ，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作 ，有无数多个， 任意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为 ( , , )x y z .在平面内找出（或求出）两个不共线的向量 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a b b b a b ，根据定义建立方程组，得到 0 0      a b   ，通过赋值，取其中一组解，得 到平面的法向量. 9．利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线 ,l m 的方向向量分别为 ,l m ，平面 ,  的法向量分别为 ,  . （1）线线平行：若 //l m ，则 ( )   Rl m l m ； 线面平行：若 //l  ，则 0   l l  ； 面面平行：若 //  ，则 ( )   R    . （2）线线垂直：若l m ，则 0   l m l m ； 线面垂直：若 l  ，则 ( )   Rl l   ； 面面垂直：若  ，则 0       . 10．利用空间向量求空间角 设直线 ,l m 的方向向量分别为 ,l m ，平面 ,  的法向量分别为 1 2,n n . （1）直线 ,l m 所成的角为 ，则 π0 2   ，计算方法： cos  l m l m ； （2）直线l 与平面 所成的角为 ，则 π0 2   ，计算方法： 1 1 sin  l n l n ； （3）平面 ,  所成的二面角为 ，则 0 π  ， 如图①，AB，CD 是二面角α－l－β的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝ ,〈 〉AB CD   ． 44 如图②③， 1 2,n n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝ 1 2 1 2 n n n n ，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)． 11．利用空间向量求距离 （1）两点间的距离 设点 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z 为空间两点， 则 ,A B 两点间的距离 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z       . （2）点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则 B 到平面α的距离为 | || | | | ABBO   n n . 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视 图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路 径中，最短路径的长度为 45 A． 172 B． 52 C．3 D．2 2．（2018 新课标全国Ⅲ理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分 叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 3．（2018 年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2018 年高考新课标Ⅲ理科）设 A B C D， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC△ 为等边三角 形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A．12 3 B．18 3 46 C． 24 3 D．54 3 5．（2018 新课标全国Ⅱ理科）在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC  ， 1 3AA  ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 A． 1 5 B． 5 6 C． 5 5 D． 2 2 6．已知 m ， n 是两条不同直线， ，  是两个不同平面，则下列命题正确的是 A．若 ，  垂直于同一平面，则 与  平行 B．若 m ， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 ，  不平行，则在 内不存在与  平行的直线 D．若 m ， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 7．（2017 新课标全国Ⅰ理科）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 8．（2017 北京理科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 47 A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2 9．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 120ABC   ， 2AB  ， 1 1BC CC  ，则异面直线 1AB 与 1BC 所 成角的余弦值为 A． 3 2 B． 15 5 C． 10 5 D． 3 3 10．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正 方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A． B． C． D． 48 11．现有 2 个正方体，3 个三棱柱，4 个球和 1 个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率 为 A． 1 10 B． 2 5 C． 1 2 D． 7 10 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中面积最大的侧面的面积为 A． 2 2 B． 5 2 C． 6 2 D．3 13．已知 是两条不同直线， 是平面，则下列命题为真命题的是 A．若 ,m m n∥ ∥ ，则 n ∥ B．若 ，则 m n∥ C．若 ,m m n ∥ ，则 n ∥ D．若 ，则 n ∥ 14．已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外 接球的球心到平面 的距离是 A． 3 3 B．1 C． 3 D． 3 3 2 15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 ___________． 16．某几何体的三视图如图所示(单位： )，则该几何体的体积等于__________ 3cm . 49 17．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的一个面 A1B1C1D1 在半径为 的半球底面上，A、B、C、D 四个顶点都 在此半球面上，则正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为__________. 18．（2018 江苏）在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1 1 1,AA AB AB B C  ． 求证：（1） AB∥平面 1 1A B C ； （2）平面 1 1ABB A  平面 1A BC ． 19．（2018 浙江）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°，A1A=4， C1C=1，AB=BC=B1B=2． 50 （1）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （2）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值． 20．（2018 新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形 ABCD 为正方形， ,E F 分别为 ,AD BC 的中点，以 DF 为 折痕把 DFC△ 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF BF . （1）证明：平面 PEF  平面 ABFD ； （2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 51 21．（2018 新课标全国 III 理科）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C ， D 的点． （1）证明：平面 AMD⊥平面 BMC ； （2）当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值． 52 22．如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，将 △ BCD 沿对角线 BD 折起到 BC D△ 的位置，使 平面 BC D ⊥平面 ABD，E 是 BD 的中点，FA⊥平面 ABD，且 FA=2 如图 2. 53 （1）求证：FA∥平面 BC D ； （2）求平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值； （3）在线段 AD 上是否存在一点 M，使得 C M ⊥平面 FBC？若存在，求 AM AD 的值；若不存在，请 说明理由. 54 ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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