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- 2021-06-16 发布
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烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形可得阴影部分表示的集合为,求出即可.
【详解】根据图形可得阴影部分表示的集合为,
.
故选:C.
【点睛】本题考查根据图形判断集合运算,属于基础题.
2. 已知,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别判断出,,的范围即可.
【详解】因为,,
所以
- 20 -
故选:B
【点睛】本题考查的是指对数式的大小比较,较简单.
3. 函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求使函数有意义的取值范围,即解可得解.
【详解】要使函数有意义,只需
得,即或
所以函数定义域为,
故选:D.
【点睛】本题考查函数的定义域的求法,属于基础题.
4. 已知函数为偶函数,则在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数是偶函数可得,可求出,求出函数在处的导数值即为切线斜率,即可求出切线方程.
【详解】函数为偶函数,
- 20 -
,即,解得,
,则,
,且,
切线方程为,整理得.
故选:A.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查利用导数求切线方程,属于基础题.
5. 根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定,车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在(单位:mg)即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.某人喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到,此时他停止饮酒,其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为避免酒后驾车,他至少经过小时才能开车,则的最小整数值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数列不等式,解不等式即得结果.
【详解】由题意得
故选:C
【点睛】本题考查指数函数实际应用、解指数不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.
6. 若函数在其定义域上不单调,则实数的取值范围为( )
A. 或 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可知在其定义域上不单调等价于有两个解,利用即可求解.
- 20 -
【详解】可得,
在其定义域上不单调等价于方程有两个解,
,解得或.
故选:A.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,属于基础题.
7. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据函数奇偶性的概念可判断出函数为奇函数,于是排除选项和;再对比选项和,只需计算时的函数值,并与0比较大小即可作出选择.
【详解】解:因为,所以为奇函数,排除选项和;
又因为,所以排除选项,
故选:.
【点睛】
- 20 -
本题考查函数的图象与性质,一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
8. 已知函数,若,则的取值范围为( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,分析可得为奇函数且在上为增函数,据此可得原不等式等价于,则有,解可得的取值范围,即可得答案.
【详解】解:根据题意,,其定义域为,
有,函数为奇函数,
又由,则在上为增函数,
,
即的取值范围为;
故选:.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及函数奇偶性与单调性的判断,属于中档题.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9. 下列四个命题中,为假命题的是( )
A. ,
B. “,”的否定是“,”
C. “函数在内”是“在内单调递增”的充要条件
D. 已知在处存在导数,则“”是“是函数的极值点”
- 20 -
的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据各命题对应的知识逐个判断即可解出.对于,利用导数判断其单调性,再根据零点存在性定理即可判断;对于,由全称命题的否定是特称命题即可判断;对于,根据函数的单调性与导数的关系即可判断;对于,根据极值存在的条件即可判断;
【详解】解:对于,设,,因为,所以在上单调递增,而,(1),(1),
即,使得,即,正确;
对于,“,”的否定是“,” 不正确;
对于,“函数在内”是“在内单调递增”的充分条件,不正确;
对于,因为在处存在导数,根据极值点的定义可知,“是函数的极值点”可以推出“”,但是“”不一定可以推出“是函数的极值点”,
比如函数在处有,但是不是函数的极值点,正确.
故选:BC.
【点睛】本题主要考查函数零点分布判断,全称命题的否定,以及导数与函数单调性,极值的关系应用,属于中档题.
10. 已知函数,则( )
A. 对于任意实数,在上均单调递减
B. 存在实数,使函数为奇函数
C. 对任意实数,函数在上函数值均大于0
D. 存在实数,使得关于的不等式的解集为
【答案】ABD
- 20 -
【解析】
【分析】
根据各选项条件,逐一判断即可解出.对于,判断函数的导数在上的符号即可;
对于,根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数;对于,赋值即可判断;
对于,根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断.
【详解】解:对于,当,,所以,
对于任意实数,在上均单调递减,正确;
对于,函数定义域为,,,定义域关于原点对称,由可得,
,变形可得,,解得,
即存在实数,使函数为奇函数,正确;
对于,取,(1),不正确;
对于,当时,不等式的解集为,正确.
故选:.
【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质,以及导数的应用,属于中档题.
11. 为预防新冠病毒感染,某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量(单位:mg)随时间(单位:h)的变化情况如图所示:在药物释放过程中,与成正比;药物释放完毕后,与的函数关系式为(为常数),则( )
A. 当时,
B. 当时,
C. 小时后,教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
- 20 -
D. 小时后,教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出函数解析式,并根据函数解析式计算药含量变化情况.
【详解】解:当时,设,则,故,即,故正确;
当时,把代入可得:,,即,故错误;
令,即,,解得,故错误,正确.
故选:.
【点睛】本题考查函数图象的意义,函数解析式及不等式解法,属于基础题.
12. 已知函数,下述结论正确的是( )
A. 存在唯一极值点,且
B. 存在实数,使得
C. 方程有且仅有两个实数根,且两根互为倒数
D. 当时,函数与的图象有两个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对进行求导可得,利用导数研究函数的单调性和极值,逐个判断即可得解.
【详解】对进行求导可得:
,显然为减函数,
,
- 20 -
故存在,使得,
并且,,为增函数,
, ,为减函数,
故为极大值点,所以A正确;
所以,
可得:,
因为,所以,故B错误,
若是的一解,即,
则,
故和都是的解,故C正确,
由,可得,
令,
,
令 ,
因为,所以,
故为减函数,
而,
所以当,,即,为增函数
,,即,为减函数,
所以,
- 20 -
故当,有两个解,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,考查了方程双根问题,同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题,是导数作为选择题压轴题的典型题型,对思路要求和计算能力要求非常高,属于难题.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 设集合,,若,则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出数轴图,分析即可得到答案.
【详解】画出数轴图,要使,满足即可.
故答案为:.
【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数,属于基础题.
14. 高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数,其中表示不超过实数的最大整数,当时,函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据高斯函数定义分类讨论求函数值.
【详解】,则,
- 20 -
当时,,
当时,,
当时,,
∴值域为.
故答案为:.
【点睛】本题考查新定义函数,解题关键是理解新函数,利用新函数定义分类讨论求解.
15. 设满足,满足,则________.
【答案】2
【解析】
分析】
令得到,利用函数在上单调递增,可得,即,故可求得答案.
【详解】解:因为满足,即有,
令,则,则可化为,即,
由题知满足,即有,
因为函数在上单调递增,
所以此函数只有一个零点,
又因为,
所以,
即,
所以.
故答案为:2.
【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系,涉及换元思想,转化思想,属于中档题.
- 20 -
16. 已知,函数,当时,不等式的解集是________;若函数恰有2个零点,则的取值范围是________.
【答案】 (1). (2). 或
【解析】
【分析】
(1)分情况解不等式组求出的范围;(2)对的取值范围进行讨论,得出的零点个数,得出答案.
【详解】解:(1)时,由可得:或,解得或,
的解集是.
(2)令可得或,令可得.
①若,则在,上无零点,在上有两个零点0,1,符合题意;
②若,则在,上有1个零点,在上有两个零点0,1,不符合题意;
③若,则在,上有1个零点,在上有1个零点1,符合题意;
④,则在,上有1个零点,在上无零点,不符合题意;
综上,或.
故答案为:,或.
【点睛】本题考查了函数零点个数判断,考查分类讨论思想,属于中档题.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)若,求;
(2)设:,:,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
- 20 -
【分析】
(1)由,分别求出集合,集合,然后求并集即可;
(2)先表示出集合,集合,根据题意判断出集合是集合的真子集,即可求出实数的取值范围.
【详解】(1)若,由,解得,所以,
当时,,所以,
所以.
(2)由,可得,所以集合,由(1)知,因为是的必要不充分条件,则集合是集合的真子集,
所以,解得,所以实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查集合间的基本关系,以及对充分条件,必要条件的理解,属于中档题.
18. 已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若函数有3个零点,求的取值范围.
【答案】(1)极大值,极小值;(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数,令导数值为0,求出,列表分析函数的单调性,即可判断极值点并求出极值;
(2)根据(1)中得到的变化情况列出不等式即可计算.
【详解】(1),
令,解得或,
则有:
- 20 -
0
0
单增
极大值
单减
极小值
单增
所以,当时,取得极大值,
当时,取得极小值;
(2)要使函数有3个零点,
只需,解得.
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值,以及已知函数零点个数求参数范围,属于中档题.
19. 已知是定义域为的奇函数,当时,.
(1)求的解析式;
(2)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【分析】
(1)根据奇函数的性质即可求出解析式;
(2)根据函数的奇偶性和单调性将不等式化为有解,即可求解.
【详解】(1)当,,又因为是奇函数,
所以,
- 20 -
所以;
(2)当时,,所以在上是增函数.
又是为的奇函数,所以在上是增函数.
于是,
等价于,
即.
于是原问题可化为,存在,使得有解.
只需或,
由得或,
由得或,
故或.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式,属于中档题.
20. 已知函数.
(1)若函数在定义域上单调递增,求实数的取值范围;
(2)当时,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出导函数,由在上恒成立,用分离参数法转化为求函数的最小值,可得结论;
(2)求出,利用(1)中结论得存在唯一解,也是的最小值点,计算并转化为的函数,然后求得这个新函数的单调性,证明结论成立.
【详解】(1)由题意,在上恒成立.
- 20 -
即在上恒成立.
令,则,
所以在上单调递增.
于是,所以.
(2)当时,
由(1)知,函数在单增,且.
因此,存在唯一的满足,
且当时,,即;
当时,,即.
因此为在上的极小值,也是最小值.
下证:.
因为,所以,,
于是
,不等式得证.
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查函数不等式的证明,证明函数不等式关键是问题的转化,由导数得出函数的最小值,这个最小值含有参数,因此利用极值点的定义把转化为关于的函数,再由函数的知识证明结论.考查了转化与化归思想.
21. 某科技公司2019年实现利润8千万元,为提高产品竞争力,公司决定在2020年增加科研投入.假设2020年利润增加值(千万元)与科研经费投入(千万元)之间的关系满足:①
- 20 -
与成正比,其中为常数,且;②当时,;③2020年科研经费投入不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%.
(1)求关于的函数表达式;
(2)求2020年利润增加值的最大值以及相应的的值.
【答案】(1),;(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据已知函数模型求出函数表达式;
(2)利用导数研究函数的单调性,得最大值.注意分类讨论.
【详解】(1)设,
当时,,可得,
所以,
因为不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%;
所以定义域为,
所以关于的函数表达式为,.
(2)令,,.
则.
当时,恒成立,在上单调递增,
此时,.
当时,,
在单调递减,在单调递增,
此时,.
- 20 -
又,,
所以,
当时,,,.
当时,,,.
综上:当时,科研经费投入6千万元,利润增加值的最大值为千万元;
当时,科研经费投入2千万元,利润增加值的最大值为千万元.
【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,利用已知函数模型求出函数表达式,然后用导数求得函数的最值是解此类问题的基本方法.
22. 已知函数,.
(1)讨论函数极值点的个数;
(2)若函数有两个极值点,,证明:.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出导函数,研究在上解个数,由的正负确定的单调性,确定极值点个数;
(2)由(1)知,当时,函数有两个极值点,,且,.计算并转化为关于的函数,然后求出函数的单调性证明结论成立.
详解】解:(1),.
当时,,
在单调递增,没有极值点;
- 20 -
当时,令,时,或,
设当时,方程的两根为,,且.
若,则,注意到,,
知的两根,满足.
当,,,单增;
当,,,单减,
所以只有一个极值点;
若,则,,
即恒成立,
在单调递增,所以没有极值点;
若,则,注意到,,
知的两根,满足.
当,,,单增;
当,,,单减;
当,,,单增;
所以有两个极值点.
综上:当时,有一个极值点;
当时,没有极值点;
当时,有两个极值点.
(2)由(1)知,当时,函数有两个极值点,,
且,.
所以
- 20 -
,,
令,.
则,
所以在单调递减,
所以,所以.
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题,证明有关极值点的不等式,证明有关极值点不等式的关键是问题的转化,利用极值点与题中参数关系,把问题转化为关于参数的函数,转化为确定函数的单调性.
- 20 -
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