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  • 2021-06-16 发布

山东省烟台市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

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烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎1. 已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形可得阴影部分表示的集合为,求出即可.‎ ‎【详解】根据图形可得阴影部分表示的集合为,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查根据图形判断集合运算,属于基础题.‎ ‎2. 已知,,,则,,的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断出,,的范围即可.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以 - 20 -‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查的是指对数式的大小比较,较简单.‎ ‎3. 函数的定义域为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求使函数有意义的取值范围,即解可得解.‎ ‎【详解】要使函数有意义,只需 得,即或 所以函数定义域为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域的求法,属于基础题.‎ ‎4. 已知函数为偶函数,则在处的切线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是偶函数可得,可求出,求出函数在处的导数值即为切线斜率,即可求出切线方程.‎ ‎【详解】函数为偶函数,‎ - 20 -‎ ‎,即,解得,‎ ‎,则,‎ ‎,且,‎ 切线方程为,整理得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查利用导数求切线方程,属于基础题.‎ ‎5. 根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定,车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在(单位:mg)即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.某人喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到,此时他停止饮酒,其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为避免酒后驾车,他至少经过小时才能开车,则的最小整数值为( )‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数列不等式,解不等式即得结果.‎ ‎【详解】由题意得 故选:C ‎【点睛】本题考查指数函数实际应用、解指数不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎6. 若函数在其定义域上不单调,则实数的取值范围为( )‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可知在其定义域上不单调等价于有两个解,利用即可求解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】可得,‎ 在其定义域上不单调等价于方程有两个解,‎ ‎,解得或.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,属于基础题.‎ ‎7. 函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数奇偶性的概念可判断出函数为奇函数,于是排除选项和;再对比选项和,只需计算时的函数值,并与0比较大小即可作出选择.‎ ‎【详解】解:因为,所以为奇函数,排除选项和;‎ 又因为,所以排除选项,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ - 20 -‎ 本题考查函数的图象与性质,一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.‎ ‎8. 已知函数,若,则的取值范围为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分析可得为奇函数且在上为增函数,据此可得原不等式等价于,则有,解可得的取值范围,即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,,其定义域为,‎ 有,函数为奇函数,‎ 又由,则在上为增函数,‎ ‎,‎ 即的取值范围为;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及函数奇偶性与单调性的判断,属于中档题.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9. 下列四个命题中,为假命题的是( )‎ A. ,‎ B. “,”的否定是“,”‎ C. “函数在内”是“在内单调递增”的充要条件 D. 已知在处存在导数,则“”是“是函数的极值点”‎ - 20 -‎ 的必要不充分条件 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各命题对应的知识逐个判断即可解出.对于,利用导数判断其单调性,再根据零点存在性定理即可判断;对于,由全称命题的否定是特称命题即可判断;对于,根据函数的单调性与导数的关系即可判断;对于,根据极值存在的条件即可判断;‎ ‎【详解】解:对于,设,,因为,所以在上单调递增,而,(1),(1),‎ 即,使得,即,正确;‎ 对于,“,”的否定是“,” 不正确;‎ 对于,“函数在内”是“在内单调递增”的充分条件,不正确;‎ 对于,因为在处存在导数,根据极值点的定义可知,“是函数的极值点”可以推出“”,但是“”不一定可以推出“是函数的极值点”,‎ 比如函数在处有,但是不是函数的极值点,正确.‎ 故选:BC.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点分布判断,全称命题的否定,以及导数与函数单调性,极值的关系应用,属于中档题.‎ ‎10. 已知函数,则( )‎ A. 对于任意实数,在上均单调递减 B. 存在实数,使函数为奇函数 C. 对任意实数,函数在上函数值均大于0‎ D. 存在实数,使得关于的不等式的解集为 ‎【答案】ABD - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各选项条件,逐一判断即可解出.对于,判断函数的导数在上的符号即可;‎ 对于,根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数;对于,赋值即可判断;‎ 对于,根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断.‎ ‎【详解】解:对于,当,,所以,‎ 对于任意实数,在上均单调递减,正确;‎ 对于,函数定义域为,,,定义域关于原点对称,由可得,‎ ‎,变形可得,,解得,‎ 即存在实数,使函数为奇函数,正确;‎ 对于,取,(1),不正确;‎ 对于,当时,不等式的解集为,正确.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质,以及导数的应用,属于中档题.‎ ‎11. 为预防新冠病毒感染,某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量(单位:mg)随时间(单位:h)的变化情况如图所示:在药物释放过程中,与成正比;药物释放完毕后,与的函数关系式为(为常数),则( )‎ A. 当时,‎ B. 当时,‎ C. 小时后,教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 - 20 -‎ D. 小时后,教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法求出函数解析式,并根据函数解析式计算药含量变化情况.‎ ‎【详解】解:当时,设,则,故,即,故正确;‎ 当时,把代入可得:,,即,故错误;‎ 令,即,,解得,故错误,正确.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的意义,函数解析式及不等式解法,属于基础题.‎ ‎12. 已知函数,下述结论正确的是( )‎ A. 存在唯一极值点,且 B. 存在实数,使得 C. 方程有且仅有两个实数根,且两根互为倒数 D. 当时,函数与的图象有两个交点 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行求导可得,利用导数研究函数的单调性和极值,逐个判断即可得解.‎ ‎【详解】对进行求导可得:‎ ‎,显然为减函数,‎ ‎,‎ - 20 -‎ 故存在,使得,‎ 并且,,为增函数,‎ ‎ , ,为减函数,‎ 故为极大值点,所以A正确;‎ 所以,‎ 可得:,‎ 因为,所以,故B错误,‎ 若是的一解,即,‎ 则,‎ 故和都是的解,故C正确,‎ 由,可得,‎ 令,‎ ‎,‎ 令 ,‎ 因为,所以,‎ 故为减函数,‎ 而,‎ 所以当,,即,为增函数 ‎,,即,为减函数,‎ 所以,‎ - 20 -‎ 故当,有两个解,故D正确.‎ 故选:ACD.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,考查了方程双根问题,同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题,是导数作为选择题压轴题的典型题型,对思路要求和计算能力要求非常高,属于难题.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 设集合,,若,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出数轴图,分析即可得到答案.‎ ‎【详解】画出数轴图,要使,满足即可.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数,属于基础题.‎ ‎14. 高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数,其中表示不超过实数的最大整数,当时,函数的值域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据高斯函数定义分类讨论求函数值.‎ ‎【详解】,则,‎ - 20 -‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ ‎∴值域为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查新定义函数,解题关键是理解新函数,利用新函数定义分类讨论求解.‎ ‎15. 设满足,满足,则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 令得到,利用函数在上单调递增,可得,即,故可求得答案.‎ ‎【详解】解:因为满足,即有,‎ 令,则,则可化为,即,‎ 由题知满足,即有,‎ 因为函数在上单调递增,‎ 所以此函数只有一个零点,‎ 又因为,‎ 所以,‎ 即,‎ 所以.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系,涉及换元思想,转化思想,属于中档题.‎ - 20 -‎ ‎16. 已知,函数,当时,不等式的解集是________;若函数恰有2个零点,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】 (1). (2). 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分情况解不等式组求出的范围;(2)对的取值范围进行讨论,得出的零点个数,得出答案.‎ ‎【详解】解:(1)时,由可得:或,解得或,‎ 的解集是.‎ ‎(2)令可得或,令可得.‎ ‎①若,则在,上无零点,在上有两个零点0,1,符合题意;‎ ‎②若,则在,上有1个零点,在上有两个零点0,1,不符合题意;‎ ‎③若,则在,上有1个零点,在上有1个零点1,符合题意;‎ ‎④,则在,上有1个零点,在上无零点,不符合题意;‎ 综上,或.‎ 故答案为:,或.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点个数判断,考查分类讨论思想,属于中档题.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知集合,.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)设:,:,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,分别求出集合,集合,然后求并集即可;‎ ‎(2)先表示出集合,集合,根据题意判断出集合是集合的真子集,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)若,由,解得,所以,‎ 当时,,所以,‎ 所以.‎ ‎(2)由,可得,所以集合,由(1)知,因为是的必要不充分条件,则集合是集合的真子集,‎ 所以,解得,所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合间的基本关系,以及对充分条件,必要条件的理解,属于中档题.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若函数有3个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)极大值,极小值;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数,令导数值为0,求出,列表分析函数的单调性,即可判断极值点并求出极值;‎ ‎(2)根据(1)中得到的变化情况列出不等式即可计算.‎ ‎【详解】(1),‎ 令,解得或,‎ 则有:‎ - 20 -‎ ‎0‎ ‎0‎ 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以,当时,取得极大值,‎ 当时,取得极小值;‎ ‎(2)要使函数有3个零点,‎ 只需,解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值,以及已知函数零点个数求参数范围,属于中档题.‎ ‎19. 已知是定义域为的奇函数,当时,.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据奇函数的性质即可求出解析式;‎ ‎(2)根据函数的奇偶性和单调性将不等式化为有解,即可求解.‎ ‎【详解】(1)当,,又因为是奇函数,‎ 所以,‎ - 20 -‎ 所以;‎ ‎(2)当时,,所以在上是增函数.‎ 又是为的奇函数,所以在上是增函数.‎ 于是,‎ 等价于,‎ 即.‎ 于是原问题可化为,存在,使得有解.‎ 只需或,‎ 由得或,‎ 由得或,‎ 故或.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式,属于中档题.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎(1)若函数在定义域上单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导函数,由在上恒成立,用分离参数法转化为求函数的最小值,可得结论;‎ ‎(2)求出,利用(1)中结论得存在唯一解,也是的最小值点,计算并转化为的函数,然后求得这个新函数的单调性,证明结论成立.‎ ‎【详解】(1)由题意,在上恒成立.‎ - 20 -‎ 即在上恒成立.‎ 令,则,‎ 所以在上单调递增.‎ 于是,所以.‎ ‎(2)当时,‎ 由(1)知,函数在单增,且.‎ 因此,存在唯一的满足,‎ 且当时,,即;‎ 当时,,即.‎ 因此为在上的极小值,也是最小值.‎ 下证:.‎ 因为,所以,,‎ 于是 ‎,不等式得证.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查函数不等式的证明,证明函数不等式关键是问题的转化,由导数得出函数的最小值,这个最小值含有参数,因此利用极值点的定义把转化为关于的函数,再由函数的知识证明结论.考查了转化与化归思想.‎ ‎21. 某科技公司2019年实现利润8千万元,为提高产品竞争力,公司决定在2020年增加科研投入.假设2020年利润增加值(千万元)与科研经费投入(千万元)之间的关系满足:①‎ - 20 -‎ 与成正比,其中为常数,且;②当时,;③2020年科研经费投入不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%.‎ ‎(1)求关于的函数表达式;‎ ‎(2)求2020年利润增加值的最大值以及相应的的值.‎ ‎【答案】(1),;(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知函数模型求出函数表达式;‎ ‎(2)利用导数研究函数的单调性,得最大值.注意分类讨论.‎ ‎【详解】(1)设,‎ 当时,,可得,‎ 所以,‎ 因为不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%;‎ 所以定义域为, ‎ 所以关于的函数表达式为,.‎ ‎(2)令,,.‎ 则.‎ 当时,恒成立,在上单调递增,‎ 此时,.‎ 当时,,‎ 在单调递减,在单调递增,‎ 此时,.‎ - 20 -‎ 又,,‎ 所以,‎ 当时,,,.‎ 当时,,,.‎ 综上:当时,科研经费投入6千万元,利润增加值的最大值为千万元;‎ 当时,科研经费投入2千万元,利润增加值的最大值为千万元.‎ ‎【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,利用已知函数模型求出函数表达式,然后用导数求得函数的最值是解此类问题的基本方法.‎ ‎22. 已知函数,.‎ ‎(1)讨论函数极值点的个数;‎ ‎(2)若函数有两个极值点,,证明:.‎ ‎【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导函数,研究在上解个数,由的正负确定的单调性,确定极值点个数;‎ ‎(2)由(1)知,当时,函数有两个极值点,,且,.计算并转化为关于的函数,然后求出函数的单调性证明结论成立.‎ 详解】解:(1),.‎ 当时,,‎ 在单调递增,没有极值点;‎ - 20 -‎ 当时,令,时,或,‎ 设当时,方程的两根为,,且.‎ 若,则,注意到,,‎ 知的两根,满足.‎ 当,,,单增;‎ 当,,,单减,‎ 所以只有一个极值点;‎ 若,则,,‎ 即恒成立,‎ 在单调递增,所以没有极值点;‎ 若,则,注意到,,‎ 知的两根,满足.‎ 当,,,单增;‎ 当,,,单减;‎ 当,,,单增;‎ 所以有两个极值点.‎ 综上:当时,有一个极值点;‎ 当时,没有极值点;‎ 当时,有两个极值点.‎ ‎(2)由(1)知,当时,函数有两个极值点,,‎ 且,.‎ 所以 - 20 -‎ ‎,,‎ 令,.‎ 则,‎ 所以在单调递减,‎ 所以,所以.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题,证明有关极值点的不等式,证明有关极值点不等式的关键是问题的转化,利用极值点与题中参数关系,把问题转化为关于参数的函数,转化为确定函数的单调性.‎ - 20 -‎