【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第四章三角函数、解三角形4-6.正弦定理、余弦定理学案 16页

1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝c2＋a2－b2 2ca ； cos C＝a2＋b2－c2 2ab 2.在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S＝1 2a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2)S＝1 2absin C＝1 2acsin B＝1 2bcsin A； (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径). 【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中，A＋B＋C＝π； 变形：A＋B 2 ＝π 2－C 2. 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin A＋B 2 ＝cos C 2； (4)cos A＋B 2 ＝sin C 2. 3.三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　×　) (2)在△ABC 中，若 sin A＞sin B，则 A＞B.(　√　) (3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　×　) (4)当 b2＋c2－a2>0 时，三角形 ABC 为锐角三角形.(　×　) (5)在△ABC 中， a sin A＝ a＋b－c sin A＋sin B－sin C.(　√　) (6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　√　) 1.(教材改编)在△ABC 中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC 的面积 S△ABC＝ . 答案　 3＋1 解析　∵b＝asin B sin A ＝2 × sin 105° sin 30° ＝ 6＋ 2， ∴S△ABC＝1 2absin C＝( 6＋ 2)× 2 2 ＝ 3＋1. 2.(教材改编)在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则 c＝ . 答案　10 6 3 解析　由 A＋B＋C＝180°，知 C＝45°， 由正弦定理得 a sin A＝ c sin C，即10 3 2 ＝ c 2 2 ， ∴c＝10 6 3 . 3.(教材改编)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝ 3，则 AB＝ . 答案　1 解析　方法一　在△ABC 中，根据余弦定理，即 BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos 60°，得( 3)2 ＝AB2＋22－2AB×2×cos 60°，整理得 AB2－2AB＋1＝0，解得 AB＝1. 方法二　在△ABC 中，根据正弦定理， 得 AC sin B＝ BC sin A，即 2 sin B＝ 3 sin 60°，解得 sin B＝1， 因为 B∈(0°，180°)，所以 B＝90°， 所以 AB＝ 22－( 3)2＝1. 4.在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A＝120°，a＝2，b＝2 3 3 ，则 B＝ . 答案　π 6 解析　∵A＝120°，a＝2，b＝2 3 3 ， ∴由正弦定理 a sin A＝ b sin B可得， sin B＝b asin A＝ 2 3 3 2 × 3 2 ＝1 2. ∵A＝120°，∴B＝30°，即 B＝π 6. 5.(教材改编)在△ABC 中，已知 CB＝7，AC＝8，AB＝9，则 AC 边上的中线长为 . 答案　7 解析　由条件知 cos A＝AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ＝ 92＋82－72 2 × 9 × 8＝2 3， 设 AC 边上的中线长为 x，由余弦定理知 x2＝(AC 2 )2＋AB2－2×AC 2 ×ABcos A ＝42＋92－2×4×9×2 3＝49， ∴x＝7，故所求中线长为 7. 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例 1　(1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，设 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若 a＝ 5，A＝π 4，cos B＝3 5，则 c＝ . 答案　7 解析　因为 cos B＝3 5，所以 B∈(0，π 2)， 从而 sin B＝4 5，所以 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 2 2 ×3 5＋ 2 2 ×4 5＝7 2 10 ， 又由正弦定理得 a sin A＝ c sin C，即 5 2 2 ＝ c 7 2 10 ，解得 c＝7. (2)(2016·四川)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c . ①证明：sin Asin B＝sin C； ②若 b2＋c2－a2＝6 5bc，求 tan B. ①证明　根据正弦定理，可设 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝k(k>0)， 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有 cos A ksin A＋cos B ksin B＝ sin C ksin C，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π，有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以 sin Asin B＝sin C. ②解　由已知，b2＋c2－a2＝6 5bc，根据余弦定理，有 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝3 5. 所以 sin A＝ 1－cos2A＝4 5. 由①知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以 4 5sin B＝4 5cos B＋3 5sin B. 故 tan B＝sin B cos B＝4. 思维升华　应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式 a＝bsin A sin B ，b＝asin B sin A ，c＝asin C sin A 或其他相应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A＝asin B b ，sin B＝bsin A a ，sin C＝csin A a 或 其他相应变形公式求解. (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化：如出现 a2＋b2－c2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边 或角的正弦的齐次式用正弦定理. 　(1)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A ＝ 2a，则b a＝ . (2)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，已知 a2－c2＝b，且 sin(A－C)＝2cos Asin C，则 b＝ . 答案　(1) 2　(2)2 解析　(1)(边化角) 由 asin Asin B＋bcos2A＝ 2a 及正弦定理，得 sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝ 2sin A， 即 sin B＝ 2sin A，所以b a＝sin B sin A＝ 2. (2)(角化边) 由题意，得 sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C， 即 sin Acos C＝3cos Asin C， 由正弦、余弦定理，得 a·a2＋b2－c2 2ab ＝3c·b2＋c2－a2 2bc ， 整理得 2(a2－c2)＝b2， ① 又 a2－c2＝b， ② 联立①②得 b＝2. 题型二　和三角形面积有关的问题 例 2　(2016·南通模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c) ＝ab. (1)求角 C 的大小； (2)若 c＝2acos B，b＝2，求△ABC 的面积. 解　(1)在△ABC 中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， 得a2＋b2－c2 2ab ＝－1 2，即 cos C＝－1 2. 因为 00，所以 cos B<0， 即 B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由 3sin A＝5sin B 及正弦定理得 3a＝5b， 故 a＝5 3b，c＝7 3b. 所以 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝－1 2，即 C＝2 3π. 从而△ABC 为钝角三角形. 引申探究 1.例 3(2)中，若将条件变为 2sin Acos B＝sin C，判断△ABC 的形状. 解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A， ∴sin(A－B)＝0， 又 A，B 为△ABC 的内角. ∴A＝B，∴△ABC 为等腰三角形. 2.例 3(2)中，若将条件变为 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C，判断△ABC 的形状. 解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝1 2， 又 01. ∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在. 5.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos 2A 2＝b＋c 2c ，则△ABC 的形状是 三角形. 答案　直角 解析　在△ABC 中，∵cos2A 2＝b＋c 2c ， ∴1＋cos A 2 ＝ b 2c＋1 2，∴cos A＝b c， ∴由余弦定理知 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ， ∴b2＋c2－a2 2bc ＝b c，∴b2＋c2－a2＝2b2. 即 a2＋b2＝c2.故△ABC 是直角三角形. 6.(2016·连云港模拟)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b＝2，B＝π 6，C＝ π 4，则△ABC 的面积为 . 答案　 3＋1 解析　∵b＝2，B＝π 6，C＝π 4. 由正弦定理 b sin B＝ c sin C， 得 c＝bsin C sin B ＝ 2 × 2 2 1 2 ＝2 2， A＝π－(π 6＋π 4)＝ 7 12π， ∴sin A＝sin(π 4＋π 3)＝sin π 4cos π 3＋cos π 4sin π 3 ＝ 2＋ 6 4 . 则 S△ABC＝1 2bc·sin A＝1 2×2×2 2× 6＋ 2 4 ＝ 3＋1. 7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝4 5，cos C＝ 5 13， a＝1，则 b＝ . 答案　21 13 解析　在△ABC 中，由 cos A＝4 5，cos C＝ 5 13，可得 sin A＝3 5，sin C＝12 13，sin B＝sin(A＋C)＝ sin Acos C＋cos A·sin C＝63 65，由正弦定理得 b＝asin B sin A ＝21 13. 8.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连结 EC，ED，则 sin∠CED ＝ . 答案　 10 10 解析　由题意得 EB＝EA＋AB＝2，则在 Rt△EBC 中，EC＝ EB2＋BC2＝ 4＋1＝ 5. 在△EDC 中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝π 4＋π 2＝3π 4 ， 由正弦定理得sin∠CED sin∠EDC＝DC EC＝ 1 5 ＝ 5 5 ， 所以 sin∠CED＝ 5 5 ·sin∠EDC＝ 5 5 ·sin3π 4 ＝ 10 10 . 9.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 3 15，b－c＝ 2，cos A＝－1 4，则 a 的值为 . 答案　8 解析　∵cos A＝－1 4，0＜A＜π，∴sin A＝ 15 4 ， S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2bc× 15 4 ＝3 15，∴bc＝24， 又 b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝52－2×24×(－1 4 )＝64， ∴a＝8. *10.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asin B＝ 3bcos A.若 a＝4， 则△ABC 周长的最大值为 . 答案　12 解析　由正弦定理 a sin A＝ b sin B， 可将 asin B＝ 3bcos A 转化为 sin Asin B＝ 3sin Bcos A. 又在△ABC 中，sin B>0，∴sin A＝ 3cos A， 即 tan A＝ 3. ∵0 3 2 × 3＋1 2＝2. 12.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若∠B＝∠C 且 7a2＋b2＋c2＝4 3， 则△ABC 的面积的最大值为 . 答案　 5 5 解析　由∠B＝∠C，得 b＝c，代入 7a2＋b2＋c2＝4 3， 得 7a2＋2b2＝4 3，即 2b2＝4 3－7a2， 由余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ a 2b， 所以 sin C＝ 1－cos2C＝ 4b2－a2 2b ＝ 8 3－15a2 2b ， 则△ABC 的面积 S＝1 2absin C＝1 2ab× 8 3－15a2 2b ＝1 4a 8 3－15a2＝1 4 a2(8 3－15a2) ＝1 4× 1 15 15a2(8 3－15a2) ≤1 4× 1 15 ×15a2＋8 3－15a2 2 ＝1 4× 1 15 ×4 3＝ 5 5 ， 当且仅当 15a2＝8 3－15a2 时取等号，此时 a2＝4 3 15 . 所以△ABC 的面积的最大值为 5 5 . 13.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求 C 和 BD； (2)求四边形 ABCD 的面积． 解　(1)由题设 A 与 C 互补及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C， ① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C． ② 由①②得 cos C＝1 2，BD＝ 7， 因为 C 是三角形内角，故 C＝60°. (2)四边形 ABCD 的面积 S＝1 2AB·DAsin A＋1 2BC·CDsin C ＝(1 2 × 1 × 2＋1 2 × 3 × 2)sin 60° ＝2 3. 14.(2015·湖南)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝btan A. (1)证明：sin B＝cos A； (2)若 sin C－sin Acos B＝3 4，且 B 为钝角，求 A，B，C. (1)证明　由正弦定理知 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R， ∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入 a＝btan A 得 sin A＝sin B· sin A cos A，又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0， ∴1＝sin B cos A，即 sin B＝cos A. (2)解　由 sin C－sin Acos B＝3 4知， sin(A＋B)－sin Acos B＝3 4，∴cos Asin B＝3 4. 由(1)知，sin B＝cos A，∴cos2A＝3 4，由于 B 是钝角， 故 A∈(0，π 2 )，∴cos A＝ 3 2 ，A＝π 6. sin B＝ 3 2 ，B＝2π 3 ，∴C＝π－(A＋B)＝π 6. 15.(2015·陕西)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m＝(a， 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行. (1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积. 解　(1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0， 又 sin B≠0，从而 tan A＝ 3， 由于 0＜A＜π，所以 A＝π 3. (2)方法一　由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 而由 a＝ 7，b＝2，A＝π 3， 得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0， 因为 c＞0，所以 c＝3， 故△ABC 的面积为 S＝1 2bcsin A＝3 3 2 . 方法二　由正弦定理，得 7 sin π 3 ＝ 2 sin B， 从而 sin B＝ 21 7 ， 又由 a＞b，知 A＞B，所以 cos B＝2 7 7 ， 故 sin C＝sin(A＋B)＝sin(B＋π 3 ) ＝sin Bcos π 3＋cos Bsin π 3＝3 21 14 . 所以△ABC 的面积为 S＝1 2absin C＝3 3 2 .