- 240.00 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
[考纲传真] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:若A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,则AB或BA.
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
(1)A∪B={x|x∈A或x∈B};
(2)A∩B={x|x∈A且x∈B};
(3)∁UA={x|x∈U且x∉A}.
[常用结论]
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
2.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集. ( )
(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}. ( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1. ( )
(4)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤2},a=,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A
D [由题意知A={0,1,2},由a=,知a∉A.]
3.已知集合A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B中的元素个数为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
C [因为B={0,2,4},所以A∪B={0,1,2,4},元素个数为4,故选C.]
4.(教材改编)已知集合A={x|x2-x-6<0},集合B={x|x-1<0},则A∩B=________.
(-2,1) [∵A={x|-2<x<3},B={x|x-1<0}={x|x<1},
∴A∩B={x|-2<x<1}.]
5.已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,则x=________.
-1 [由题意,得或解得x=-1.]
集合的基本概念
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
A [由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为CC=9,故选A.]
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A. B. C.0 D.0或
D [若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,
所以a的取值为0或.]
3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 019+b2 019为( )
A.1 B.0 C.-1 D.±1
C [由已知得a≠0,则=0,
所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019=-1.]
[规律方法](1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.,
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
集合的基本关系
【例1】 (1)(2019·长春质检)已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m
的取值范围为________.
(1)D (2)(-∞,1] [(1)由M∪N=M得N⊆M,即找集合M的子集个数,故满足题意的集合N有:∅,{0},{1},{0,1},共4个.
(2)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A,
当m>0时,B≠∅,因为A={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}.
当B⊆A时,有
所以
所以0<m≤1.
综上所述,m的取值范围为(-∞,1].]
[规律方法] (1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.,
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.AB B.BA
C.A⊆B D.B=A
B [由题意知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},
因此BA.]
集合的基本运算
►考法1 集合的交、并、补运算
【例2】 (1)(2019·陕西模拟)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|2x<4},则A∪B=( )
A.∅ B.{x|x∈R}
C.{x|x≤1} D.{x|x>2}
(2)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁UB)∩A={9},则A=( )
A.{1,3} B.{3,7,9}
C.{3,5,9} D.{3,9}
(1)B (2)D [(1)∵A={x|x2-3x+2≥0}={x|x≥2或x≤1},
B={x|2x<4}={x|x<2}.
∴A∪B=R,故选B.
(2)法一:因为A∩B={3},所以3∈A,又(∁UB)∩A={9},所以9∈A.若5∈A,则5∉B(否则5∈A∩B),从而5∈∁UB,则(∁UB)∩A={5,9},与题中条件矛盾,故5∉A.同理,1∉A,7∉A,故A={3,9}.
法二:本题也可以利用Venn图帮助理解,如图所示.
]
►考法2 利用集合的运算求参数
【例3】 (1)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m等于( )
A.0或 B.0或3
C.1或 D.1或3
(2)已知集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,2) B.(-∞,2]
C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)
(1)B (2)D [(1)由A∪B=A,得B⊆A,所以m∈A.因为A={1,3,},所以m=或m=3,即m=3或m=1或m=0.由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.
(2)M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且M∩N≠∅,结合数轴可得a>-1.
]
[规律方法] 解决集合运算问题需注意以下三点:
(1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)
看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于求解.
(3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,并注意端点值的取舍.
(1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是( )
A.A∪B={x|x<0}
B.(∁RA)∩B={x|x<-1}
C.A∩B={x|-1<x<0}
D.A∪(∁RB)={x|x≥0}
(2)(2019·河北六校联考)设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x<3} B.{x|-3<x≤1}
C.{x|x<2} D.{x|-2<x≤1}
(1)C (2)D [(1)由题知,A=(-1,2],B=(-∞,0),∴A∪B=(-∞,2],A∩B=(-1,0),(∁RA)∩B=(-∞,-1],A∪(∁RB)=(-1,+∞),故选C.
(2)依题意得A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},题图中阴影部分表示的集合为A∩B={x|-2<x≤1},故选D.]
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
B [法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2},故选B.
法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B.]
2.(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=∅
A [∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.
又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.]
3.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3} B.{1,0}
C.{1,3} D.{1,5}
C [∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.
故选C.]
4.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
B [集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,
集合B表示直线y=x上的所有点的集合.
结合图形可知,直线与圆有两个交点,
所以A∩B中元素的个数为2.
故选B.]
5.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z),则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
C [因为B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.]