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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版集合学案(1)

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第章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 ‎[考纲传真] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.‎ ‎1.元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn图法.‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.‎ ‎(2)真子集:若A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,则AB或BA.‎ ‎(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.‎ ‎(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.‎ ‎3.集合的基本运算 ‎(1)A∪B={x|x∈A或x∈B};‎ ‎(2)A∩B={x|x∈A且x∈B};‎ ‎(3)∁UA={x|x∈U且x∉A}.‎ ‎[常用结论]‎ ‎1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.‎ ‎2.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)任何一个集合都至少有两个子集. (  )‎ ‎(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}. (  )‎ ‎(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1. (  )‎ ‎(4)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤2},a=,则下列结论正确的是(  )‎ A.{a}⊆A   B.a⊆A   C.{a}∈A   D.a∉A D [由题意知A={0,1,2},由a=,知a∉A.]‎ ‎3.已知集合A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B中的元素个数为(  )‎ A.6 B.‎5 C.4 D.3‎ C [因为B={0,2,4},所以A∪B={0,1,2,4},元素个数为4,故选C.]‎ ‎4.(教材改编)已知集合A={x|x2-x-6<0},集合B={x|x-1<0},则A∩B=________.‎ ‎(-2,1) [∵A={x|-2<x<3},B={x|x-1<0}={x|x<1},‎ ‎∴A∩B={x|-2<x<1}.]‎ ‎5.已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,则x=________.‎ ‎-1 [由题意,得或解得x=-1.]‎ 集合的基本概念 ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(  )‎ A.9    B.‎8 ‎   C.5    D.4‎ A [由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为CC=9,故选A.]‎ ‎2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=(  )‎ A. B. C.0 D.0或 D [若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.‎ 当a=0时,x=,符合题意;‎ 当a≠0时,由Δ=(-3)2-‎8a=0得a=,‎ 所以a的取值为0或.]‎ ‎3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 019+b2 019为(  )‎ A.1 B.‎0 C.-1 D.±1‎ C [由已知得a≠0,则=0,‎ 所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019=-1.]‎ ‎[规律方法](1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.,‎ (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.‎ 集合的基本关系 ‎【例1】 (1)(2019·长春质检)已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎(2)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m 的取值范围为________.‎ ‎(1)D (2)(-∞,1] [(1)由M∪N=M得N⊆M,即找集合M的子集个数,故满足题意的集合N有:∅,{0},{1},{0,1},共4个.‎ ‎(2)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A,‎ 当m>0时,B≠∅,因为A={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}.‎ 当B⊆A时,有 所以 所以0<m≤1.‎ 综上所述,m的取值范围为(-∞,1].]‎ ‎[规律方法] (1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.,‎ (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.‎ ‎ 已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则(  )‎ A.AB B.BA C.A⊆B D.B=A B [由题意知A={x|-1≤x≤1},‎ 所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},‎ 因此BA.]‎ 集合的基本运算 ‎►考法1 集合的交、并、补运算 ‎【例2】 (1)(2019·陕西模拟)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|2x<4},则A∪B=(  )‎ A.∅ B.{x|x∈R}‎ C.{x|x≤1} D.{x|x>2}‎ ‎(2)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁UB)∩A={9},则A=(  )‎ A.{1,3} B.{3,7,9}‎ C.{3,5,9} D.{3,9}‎ ‎(1)B (2)D [(1)∵A={x|x2-3x+2≥0}={x|x≥2或x≤1},‎ B={x|2x<4}={x|x<2}.‎ ‎∴A∪B=R,故选B.‎ ‎(2)法一:因为A∩B={3},所以3∈A,又(∁UB)∩A={9},所以9∈A.若5∈A,则5∉B(否则5∈A∩B),从而5∈∁UB,则(∁UB)∩A={5,9},与题中条件矛盾,故5∉A.同理,1∉A,7∉A,故A={3,9}.‎ 法二:本题也可以利用Venn图帮助理解,如图所示.‎ ‎]‎ ‎►考法2 利用集合的运算求参数 ‎【例3】 (1)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m等于(  )‎ A.0或 B.0或3‎ C.1或 D.1或3‎ ‎(2)已知集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-1,2) B.(-∞,2]‎ C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)‎ ‎(1)B (2)D  [(1)由A∪B=A,得B⊆A,所以m∈A.因为A={1,3,},所以m=或m=3,即m=3或m=1或m=0.由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.‎ ‎(2)M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且M∩N≠∅,结合数轴可得a>-1.‎ ‎]‎ ‎[规律方法] 解决集合运算问题需注意以下三点:‎ (1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.‎ (2) 看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于求解.‎ (3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,并注意端点值的取舍.‎ ‎ (1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是(  )‎ A.A∪B={x|x<0}‎ B.(∁RA)∩B={x|x<-1}‎ C.A∩B={x|-1<x<0}‎ D.A∪(∁RB)={x|x≥0}‎ ‎(2)(2019·河北六校联考)设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则图中阴影部分表示的集合为(  )‎ A.{x|x<3} B.{x|-3<x≤1}‎ C.{x|x<2} D.{x|-2<x≤1}‎ ‎(1)C (2)D [(1)由题知,A=(-1,2],B=(-∞,0),∴A∪B=(-∞,2],A∩B=(-1,0),(∁RA)∩B=(-∞,-1],A∪(∁RB)=(-1,+∞),故选C.‎ ‎(2)依题意得A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},题图中阴影部分表示的集合为A∩B={x|-2<x≤1},故选D.]‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=(  )‎ A.{x|-1<x<2}‎ B.{x|-1≤x≤2}‎ C.{x|x<-1}∪{x|x>2}‎ D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}‎ B [法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2},故选B.‎ 法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B.]‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则(  )‎ A.A∩B={x|x<0}      B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=∅‎ A [∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.‎ 又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.]‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=(  )‎ A.{1,-3} B.{1,0}‎ C.{1,3} D.{1,5}‎ C [∵A∩B={1},∴1∈B.‎ ‎∴1-4+m=0,即m=3.‎ ‎∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.‎ 故选C.]‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(  )‎ A.3     B.‎2 C.1     D.0‎ B [集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,‎ 集合B表示直线y=x上的所有点的集合.‎ 结合图形可知,直线与圆有两个交点,‎ 所以A∩B中元素的个数为2.‎ 故选B.]‎ ‎5.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z),则A∪B=(  )‎ A.{1} B.{1,2}‎ C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}‎ C [因为B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.]‎